第03講 正方形的性質(zhì)與判定（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）VIP

第3講正方形的性質(zhì)與判定1.理解正方形的概念；2.探索并證明正方形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；3.通過經(jīng)歷正方形的性質(zhì)定理和判定定理的探索過程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力；4.通過正方形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力．知識(shí)點(diǎn)1：正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：【題型1：正方形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2021秋?蕭縣期末）矩形，菱形，正方形不同時(shí)具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)邊平行且相等 B．對(duì)角相等 C．對(duì)角線互相平分 D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】D【解答】解：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，它們同時(shí)具有平行四邊形的一切性質(zhì)，而備選答案A、B、C具有平行四邊形的性質(zhì)，所以只有備選答案D符合題意．故選：D．【變式1-1】（2022春?雙臺(tái)子區(qū)期末）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線互相平分且相等【答案】B【解答】解：A、對(duì)角線相等，菱形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線互相平分是平行四邊形具有的性質(zhì)，正方形、菱形、矩形都具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)符合題意；C、對(duì)角線互相垂直,矩形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線互相平分且相等,菱形不具有對(duì)角線相等的性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2020秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是（）A．矩形的對(duì)角線相等垂直 B．菱形的對(duì)角線相等 C．正方形的對(duì)角線相等 D．菱形的四個(gè)角都是直角【答案】C【解答】解：A、矩形的對(duì)角線相等且平分，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、菱形的對(duì)角線垂直且平分，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、正方形的對(duì)角線相等，選項(xiàng)正確，符合題意；D、矩形的四個(gè)角都是直角，而菱形的四個(gè)角不是直角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C【典例2】（2022春?溆浦縣期中）一個(gè)正方形的面積為8m2，則它的對(duì)角線長(zhǎng)為（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【答案】C【解答】解：∵正方形的面積為8cm2，∴正方形的邊長(zhǎng)為＝2（cm），∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2×＝4（cm），故選：C．【變式2-1】（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先把活動(dòng)學(xué)具做成圖1所示的菱形，并測(cè)得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝1cm，接著把活動(dòng)學(xué)具做成圖2所示的正方形，則圖2中對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝1cm，如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1cm，∠B＝90°，∴AC＝＝（cm）．故選：A．【變式2-2】（2022春?涿州市期末）如圖，以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【答案】B【解答】解：如圖所示：∵以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故選：B．【變式2-3】（2022春?烏拉特前旗期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為10的正方形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，且AE⊥BE，又BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．76 B．24 C．48 D．88【答案】A【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∴S陰＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝100﹣×8×6＝76．故選：A．【題型2：正方形的判定】【典例3】（2022秋?萊西市期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線相等的菱形是正方形 B．對(duì)角線垂互相平分且垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 D．對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形【答案】D【解答】解：A、對(duì)角線相等的菱形是正方形，不符合題意；B、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；D、對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，符合題意；故選：D．【變式3-1】（2022秋?金水區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（）①當(dāng)AB＝DC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形；③當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AB＝DC時(shí)，不能判斷它是菱形（對(duì)邊相等是平行四邊形的性質(zhì)），故①錯(cuò)誤，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形，故②正確，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形，故③正確，當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是矩形，故④錯(cuò)誤，故選：B．【變式3-2】（2022秋?濟(jì)陽區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：B【變式3-3】（2022春?衛(wèi)輝市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列結(jié)論：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是正方形，你認(rèn)為正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，故①正確；∵四邊形AEDF是平行四邊形，∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，故②正確；∵AD平分∠BAC，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故③正確；∵若AD平分∠BAC，則平行四邊形AEDF是菱形，∴若∠BAC＝90°，則平行四邊形AEDF是正方形，故④正確．故選：A．【典例4】（2021秋?平遠(yuǎn)縣期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)AD，AB滿足什么條件時(shí)，四邊形MENF是正方形．【解答】解：（1）四邊形MENF是菱形．理由如下：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四邊形MENF是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM，∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，∴ME＝MF，∴平行四邊形MENF是菱形．（2）當(dāng)AD＝2AB時(shí)，四邊形MENF是正方形．∵四邊形MENF是正方形，則∠EMF＝90°，又∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM為等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，∴當(dāng)AD＝2AB時(shí)，四邊形MENF是正方形．【變式4-1】（2022秋?鄆城縣期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點(diǎn)G．求證：矩形ABCD為正方形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形．【變式4-2】（2022春?寬城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：△ABF≌△DAE．（2）求證：四邊形ABCD是正方形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形．【變式4-3】（2022秋?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)∠BAC＝°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形，并說明理由．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，∴∠CAD＝∠BAC．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠CAE＝∠CAM．∵∠BAC與∠CAM是鄰補(bǔ)角，∴∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形，證明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE為矩形，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD．∴四邊形ADCE為正方形，故答案為：90【題型3：正方形的性質(zhì)與判定綜合】【典例5】（2022春?臨沭縣期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出正方形DEFG的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）4．（3）10．【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）解：連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中點(diǎn)，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∴正方形DEFG的面積為2×××＝10．【變式5-1】（2022春?贛縣區(qū)校級(jí)期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）20．【解答】（1）證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四邊形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四邊形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周長(zhǎng)＝4×5＝20．【變式5-2】（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明過程見解析；（2）17．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四邊形ABCD是正方形，∴．【變式5-3】（2022春?交口縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點(diǎn)A，E之間的距離．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）5．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，，∴△ADH≌△ABK（SAS），∴AK＝AH；（2）證明：∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK．∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四邊形AKFH是正方形；（3）解：∵四邊形AKFH的面積為10，∴KF＝，∵EF＝CE＝1，∴KE＝，∴AB＝KE＝3，∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK+KE＝4，∴AE＝，故點(diǎn)A，E之間的距離為5．1．（2021?婁底）如圖，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，BE＝DF，則四邊形AECF是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解答】解：A．∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；B．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵四邊形ABCD是矩形，∴不能證明AC⊥BD，∴不能證明AC⊥EF，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（2022秋?漳州期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：B．3．（2022春?東莞市期中）下列給出的條件中，不能判斷?ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90° C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB【答案】D【解答】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；B、根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，且有一組鄰邊相等，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C、對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；D、只能證明四邊形ABCD是菱形，不能判斷四邊形ABCD是正方形．故選：D．4．（2022?什邡市校級(jí)二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)?ABCD是矩形時(shí)，∠ABC＝90° B．當(dāng)?ABCD是菱形時(shí)，AC⊥BD C．當(dāng)?ABCD是正方形時(shí)，AC＝BD D．當(dāng)?ABCD是菱形時(shí)，AB＝AC【答案】D【解答】解：因?yàn)榫匦蔚乃膫€(gè)角是直角，故A正確，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，故B正確，因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線相等，故C正確，菱形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因?yàn)锳B＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此時(shí)AC＞AB，故選：D．5．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．故選：D．6．（2021?玉林）一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形：a．兩組對(duì)邊分別相等b．一組對(duì)邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是（）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故①正確；②由b得到一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；③由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對(duì)邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；故選：C．7.（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．8.（2022?貴陽）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥AD．（1）求證：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，又∵M(jìn)F∥AD，∴四邊形AMFD為矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF，∵BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN（ASA）；（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM：AE＝BO：BA，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM：6＝5：8，∴OM＝，∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10，∴ON＝MN﹣MO＝．9．（2020?湘西州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，CE．（1）求證：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．10．（2022?雅安）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形，∵AB＝3，∴AC＝BD＝6，∵BE＝DF＝2，∴四邊形AECF的面積＝AC?EF＝×6×2＝6．1．（2022春?張家川縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：B．2．（2022春?平南縣期末）下列說法中正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．菱形的面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半【答案】D【解答】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、菱形的面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意；故選：D．3．（2022秋?鐵西區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD的面積為64平方厘米，DE＝10厘米，則CE的長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．2 D．2【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的面積為64平方厘米，∴∠ADC＝90°，DC＝8厘米，∵DE＝10厘米，∴CE＝（厘米），故選：D．4．（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．若BE＝2，DF＝4，則的EF長(zhǎng)為．【答案】6【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵BE⊥l，DF⊥l，∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°，∴∠FDA＝∠EAB，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），即AE＝DF＝4，AF＝BE＝2，∴EF＝AE+AF＝4+2＝6，故答案為：6．5．（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為6cm，則正方形ABCD的面積為cm2．【答案】18【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面積＝×AC×BD＝18cm2，故答案為：18．6．（2022秋?茂南區(qū)期末）正方形的邊長(zhǎng)為5，則它的周長(zhǎng)為．【答案】20【解答】解：∵正方形的四條邊都相等，且正方形的邊長(zhǎng)為5，∴該正方形的周長(zhǎng)為5×4＝20，故答案為：207．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊向外作等邊△CDE，則∠AEC＝°．【答案】45【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．故答案為：45．8.（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，連接CE、DF．求證：CE＝DF．【解答】證明：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF．9．（2022春?尋烏縣期末）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AEDF是菱形；（2）當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EDA＝∠FA