專題05 解析幾何（解答題10種考法）講義（原卷版）

專題05解析幾何（解答題10種考法）考法一定點【例11】（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┮阎c為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【例12】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【例13】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點的直線與拋物線交于兩點，過線段的中點作直線軸，垂足為，且.(1)求拋物線的方程；(2)若為上異于點的任意一點，且直線與直線交于點，證明：以為直徑的圓過定點.【變式】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.(1)求的方程；(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.3（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線、分別與橢圓C交于點A、B，的周長為8．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若，，求證：為定值．【變式】1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．2．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.(1)求橢圓的標準方程；(2)設，，的面積分別為.求證：為定值.3.（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知拋物線T的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過，，，四點中的兩點.(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個點，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.考法三定直線【例3】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【變式】1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．2．（2023·江蘇常州·校考一模）已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．考法四最值【例4】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【變式】1．（2023·浙江·模擬預測）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點滿足.(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點A作直線的垂線，交于兩點，求面積的最小值.2．（2023·浙江·模擬預測）已知橢圓，點，斜率不為0的直線與橢圓交于點，與圓相切且切點為為中點.(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.考法五軌跡問題【例5】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設直線和的交點為，求點的軌跡方程．【變式】1（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知過右焦點的直線交雙曲線于兩點，曲線的左右頂點分別為，虛軸長與實軸長的比值為．(1)求曲線的方程；(2)如圖，點關于原點的對稱點為點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，求的軌跡方程．2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知過曲線上一點作橢圓的切線，則切線的方程為.若為橢圓上的動點，過作的切線交圓于，過分別作的切線，直線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知為定直線上一動點，過的動直線與軌跡交于兩個不同點，在線段上取一點，滿足，試證明動點的軌跡過定點.3．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┮阎獧E圓C：，直線l與橢圓C交于A，B兩點．(1)點為橢圓C上的動點（與點A，B不重合），若直線PA，直線PB的斜率存在且斜率之積為，試探究直線l是否過定點，并說明理由；(2)若．過點O作，垂足為點Q，求點Q的軌跡方程．考法六長度比值【例6】（2023·上海楊浦·復旦附中?？寄M預測）貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據(jù)對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖所示，拋物線，其中為一給定的實數(shù).(1)寫出拋物線的焦點坐標及準線方程；(2)若直線與拋物線只有一個公共點，求實數(shù)k的值；(3)如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F(xiàn)，證明：．【變式】1．（2023·云南·校聯(lián)考三模）如圖，已知橢圓的上、下頂點為，右頂點為，離心率為，直線和相交于點，過作直線交軸的正半軸于點，交橢圓于點，連接交于點.(1)求的方程；(2)求證：.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.考法七存在性【例7】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓經(jīng)過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式】1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關于直線對稱？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．3．（2023·四川成都·模擬預測）已知橢圓的中心為O，左、右焦點分別為，，M為橢圓C上一點，線段與圓相切于該線段的中點N，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在三個點A，B，P，使得直線AB過橢圓C的左焦點，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線AB的方程；若不存在.請說明理由.考法八角度關系轉(zhuǎn)斜率【例8】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【變式】1．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）已知點P是平面直角坐標系異于O的任意一點過點P作直線及的平行線，分別交x軸于M，N兩點，且．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)在x軸正半軸上取兩點，且，過點A作直線l與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，證明：．2．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知橢圓的三個頂點所確定的三角形的面積為，（是的離心率）是上一點.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點，設，直線與分別交于（不同于）兩點，當時，記直線的傾斜角分別為，，求的最大值.考點九三點共線【例9】（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，當平行于軸時，.(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為的中點為，證明：三點共線.【變式】1．（2022秋·云南昆明）過拋物線：上一動點作x軸的垂線，記垂足為，設線段的中點為，動點的軌跡為曲線，設為坐標原點(1)求曲線的方程；(2)過拋物線的焦點作直線與曲線交于兩點，設拋物線的準線為，過點作直線的垂線，記垂足為，證明：、、三點共線，2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點、，其中，且.（1）求該拋物線的方程；（2）設O為坐標原點，過點A作拋物線的準線的垂線，垂足為C，證明：B、O、C三點共線.3．（2023·江蘇南京）在平面直角坐標系中，已知拋物線：的準線方程為：.（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點作直線與拋物線相交于，兩點，過點作直線的垂線，交于點，求證：，，三點共線.考法十三角形類型的轉(zhuǎn)化【例10】（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知橢圓，左焦點為，上頂點為，直線BF與橢圓交于另一點Q，且，且點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)設，，M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點.證明