北京四中學2024屆中考三模數學試題含解析

北京四中學2024學年中考三模數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A在x軸正半軸上，OC是△OAB的中線，點B、C在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，則△OAB的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．62．如圖給定的是紙盒的外表面，下面能由它折疊而成的是（）A． B． C． D．3．如圖1，在矩形ABCD中，動點E從A出發(fā)，沿A→B→C方向運動，當點E到達點C時停止運動，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設點E運動路程為x，CF＝y(tǒng)，如圖2所表示的是y與x的函數關系的大致圖象，給出下列結論：①a＝3；②當CF＝時，點E的運動路程為或或，則下列判斷正確的是()A．①②都對 B．①②都錯 C．①對②錯 D．①錯②對4．下列各數中，相反數等于本身的數是（）A．–1 B．0 C．1 D．25．一次函數y=2x+1的圖像不經過(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD＝2，AB＝8，則△ABD的面積是（）A．6 B．8 C．10 D．127．已知如圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°8．對于不等式組，下列說法正確的是（）A．此不等式組的正整數解為1，2，3B．此不等式組的解集為C．此不等式組有5個整數解D．此不等式組無解9．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側的兩點．下列四個角中，一定與∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD10．為了解某班學生每周做家務勞動的時間，某綜合實踐活動小組對該班9名學生進行了調查，有關數據如下表．則這9名學生每周做家務勞動的時間的眾數及中位數分別是（）每周做家務的時間（小時）01234人數（人）22311A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，211．如圖是小明在物理實驗課上用量筒和水測量鐵塊A的體積實驗，小明在勻速向上將鐵塊提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度的過程中，則下圖能反映液面高度h與鐵塊被提起的時間t之間的函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．12．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉后得到三角形A′B′C，若點B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點O，則∠COA′的度數是（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．數學家吳文俊院士非常重視古代數學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等”這一推論，如圖所示，若SEBMF=1，則SFGDN=_____．14．如圖，某小型水庫欄水壩的橫斷面是四邊形ABCD，DC∥AB，測得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比為1.2：1，壩頂部DC寬為2m，壩高為6m，則壩底AB的長為_____m．15．一組數據1，4，4，3，4，3，4的眾數是_____．16．我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D'處，則點C的對應點C'的坐標為_____．17．對于函數y=，當函數y﹤-3時，自變量x的取值范圍是____________.18．如圖，有一個橫截面邊緣為拋物線的水泥門洞，門洞內的地面寬度為，兩側離地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個門洞的高度為_______.（精確到）三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）兩個全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標系中，OA在x軸上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函數y=的圖象經過點B．求k的值．把△OCD沿射線OB移動，當點D落在y=圖象上時，求點D經過的路徑長．20．（6分）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，求旗桿AB的高度．（參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．（6分）解不等式：3x﹣1＞2（x﹣1），并把它的解集在數軸上表示出來．22．（8分）如圖，數軸上的點A、B、C、D、E表示連續(xù)的五個整數，對應數分別為a、b、c、d、e．（1）若a+e=0，則代數式b+c+d=；（2）若a是最小的正整數，先化簡，再求值：a+1a-2（3）若a+b+c+d=2，數軸上的點M表示的實數為m（m與a、b、c、d、e不同），且滿足MA+MD=3，則m的范圍是．23．（8分）先化簡，再求值：，其中x滿足x2－2x－2=0.24．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點M，點E在邊BC上，且∠DAE=∠DCB，聯結AE，AE與BD交于點F．（1）求證：；（2）連接DE，如果BF=3FM，求證：四邊形ABED是平行四邊形.25．（10分）有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17噸.請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸？目前有33噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車共計10輛，全部貨物一次運完，其中每輛大貨車一次運費花費130元，每輛小貨車一次運貨花費100元，請問貨運公司應如何安排車輛最節(jié)省費用？26．（12分）某農場用2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃.1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？27．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x＝1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式．（2）在圖①中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？（3）在圖②中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、B【解題分析】

作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，∴BD∥CE，∴，∵OC是△OAB的中線，∴，設CE=x，則BD=2x，∴C的橫坐標為，B的橫坐標為，∴OD=，OE=，∴DE=OE-OD=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=OE+AE=，∴S△OAB=OA?BD=×=1．故選B.點睛：本題是反比例函數與幾何的綜合題，熟知反比例函數的圖象上點的特征和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.2、B【解題分析】

將A、B、C、D分別展開，能和原圖相對應的即為正確答案：【題目詳解】A、展開得到，不能和原圖相對應，故本選項錯誤；B、展開得到，能和原圖相對，故本選項正確；C、展開得到，不能和原圖相對應，故本選項錯誤；D、展開得到，不能和原圖相對應，故本選項錯誤.故選B.3、A【解題分析】

由已知，AB=a，AB+BC=5，當E在BC上時，如圖，可得△ABE∽△ECF，繼而根據相似三角形的性質可得y=﹣，根據二次函數的性質可得﹣，由此可得a=3，繼而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得當E在AB上時，y=時，x=，據此即可作出判斷．【題目詳解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，當E在BC上時，如圖，∵E作EF⊥AE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴，∴y=﹣，∴當x=時，﹣，解得a1=3，a2=（舍去），∴y=﹣，當y=時，=﹣，解得x1=，x2=，當E在AB上時，y=時，x=3﹣=，故①②正確，故選A．【題目點撥】本題考查了二次函數的應用，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，弄清題意，正確畫出符合條件的圖形，熟練運用二次函數的性質以及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．4、B【解題分析】

根據相反數的意義，只有符號不同的數為相反數．【題目詳解】解：相反數等于本身的數是1．故選B．【題目點撥】本題考查了相反數的意義．注意掌握只有符號不同的數為相反數，1的相反數是1．5、D【解題分析】

根據一次函數的系數判斷出函數圖象所經過的象限，由k=2＞0，b=1＞0可知，一次函數y=2x+1的圖象過一、二、三象限.另外此題還可以通過直接畫函數圖象來解答.【題目詳解】∵k=2＞0，b=1＞0，∴根據一次函數圖象的性質即可判斷該函數圖象經過一、二、三象限，不經過第四象限.故選D.【題目點撥】本題考查一次函數圖象與系數的關系，解決此類題目的關鍵是確定k、b的正負.6、B【解題分析】分析：過點D作DE⊥AB于E，先求出CD的長，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD=2，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解．詳解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分線,∴DE=CD=2，∴△ABD的面積故選B.點睛：考查角平分線的性質，角平分線上的點到角兩邊的距離相等.7、B【解題分析】

利用三角形內角與外角的關系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和解答．【題目詳解】如圖，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故選B．【題目點撥】此題主要考查了三角形內角與外角的關系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．8、A【解題分析】解：，解①得x≤，解②得x＞﹣1，所以不等式組的解集為﹣1＜x≤，所以不等式組的整數解為1，2，1．故選A．點睛：本題考查了一元一次不等式組的整數解：利用數軸確定不等式組的解（整數解）．解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解．9、D【解題分析】

∵∠ACD對的弧是，對的另一個圓周角是∠ABD，∴∠ABD=∠ACD（同圓中，同弧所對的圓周角相等），又∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，即∠ACD+∠BAD=90°，∴與∠ACD互余的角是∠BAD.故選D.10、D【解題分析】試題解析：表中數據為從小到大排列．數據1小時出現了三次最多為眾數；1處在第5位為中位數．所以本題這組數據的中位數是1，眾數是1．故選D．考點：1.眾數；1.中位數.11、B【解題分析】根據題意，在實驗中有3個階段，①、鐵塊在液面以下，液面得高度不變；②、鐵塊的一部分露出液面，但未完全露出時，液面高度降低；③、鐵塊在液面以上，完全露出時，液面高度又維持不變；分析可得，B符合描述；故選B．12、B【解題分析】試題分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋轉的性質可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故選B．考點：旋轉的性質．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、1【解題分析】

根據從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等得SEBMF=SFGDN，得SFGDN.【題目詳解】∵SEBMF=SFGDN，SEBMF=1，∴SFGDN=1.【題目點撥】本題考查面積的求解，解題的關鍵是讀懂題意.14、（7+6）【解題分析】

過點C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為：E，F，得到兩個直角三角形和一個矩形，在Rt△AEF中利用DF的長，求得線段AF的長；在Rt△BCE中利用CE的長求得線段BE的長，然后與AF、EF相加即可求得AB的長．【題目詳解】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為：E，F，

∵壩頂部寬為2m，壩高為6m，

∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，

∵α=30°，

∴BE=（m），

∵背水坡的坡比為1.2：1，

∴，

解得：AF=5（m），

則AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，

故答案為（7+6）m．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用銳角三角函數的概念和坡度的概念求解．15、1【解題分析】

本題考查了統(tǒng)計的有關知識，眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個．【題目詳解】在這一組數據中1是出現次數最多的，故眾數是1．故答案為1．【題目點撥】本題為統(tǒng)計題，考查了眾數的定義，是基礎題型．16、（2，）【解題分析】過C作CH于H,由題意得2AO=AD’,所以∠D’AO=60°，AO=1，AD’=2，勾股定理知OD’=，BH=AO所以C’(2，).故答案為（2，）.17、-<x<0【解題分析】

根據反比例函數的性質：y隨x的增大而減小去解答.【題目詳解】解：函數y=中，y隨x的增大而減小，當函數y﹤-3時又函數y=中，故答案為：-<x<0.【題目點撥】此題重點考察學生對反比例函數性質的理解，熟練掌握反比例函數性質是解題的關鍵.18、9.1【解題分析】

建立直角坐標系，得到二次函數，門洞高度即為二次函數的頂點的縱坐標【題目詳解】如圖，以地面為x軸，門洞中點為O點，畫出y軸，建立直角坐標系由題意可知各點坐標為A（-4,0）B（4,0）D（-3,4）設拋物線解析式為y=ax2+c（a≠0）把B、D兩點帶入解析式可得解析式為，則C（0，）所以門洞高度為m≈9.1m【題目點撥】本題考查二次函數的簡單應用，能夠建立直角坐標系解出二次函數解析式是本題關鍵三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）k=2；（2）點D經過的路徑長為．【解題分析】

（1）根據題意求得點B的坐標，再代入求得k值即可；（2）設平移后與反比例函數圖象的交點為D′，由平移性質可知DD′∥OB，過D′作D′E⊥x軸于點E，交DC于點F，設CD交y軸于點M（如圖），根據已知條件可求得點D的坐標為（﹣1，1），設D′橫坐標為t，則OE=MF=t，即可得D′（t，t+2），由此可得t（t+2）=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD′的長，即可得點D經過的路徑長．【題目詳解】（1）∵△AOB和△COD為全等三的等腰直角三角形，OC=，∴AB=OA=OC=OD=，∴點B坐標為（，），代入得k=2；（2）設平移后與反比例函數圖象的交點為D′，由平移性質可知DD′∥OB，過D′作D′E⊥x軸于點E，交DC于點F，設CD交y軸于點M，如圖，∵OC=OD=，∠AOB=∠COM=45°，∴OM=MC=MD=1，∴D坐標為（﹣1，1），設D′橫坐標為t，則OE=MF=t，∴D′F=DF=t+1，∴D′E=D′F+EF=t+2，∴D′（t，t+2），∵D′在反比例函數圖象上，∴t（t+2）=2，解得t=或t=﹣﹣1（舍去），∴D′（﹣1，+1），∴DD′=，即點D經過的路徑長為．【題目點撥】本題是反比例函數與幾何的綜合題，求得點D′的坐標是解決第（2）問的關鍵．20、7.6m．【解題分析】

利用CD及正切函數的定義求得BC，AC長，把這兩條線段相減即為AB長【題目詳解】解：由題意，∠BDC＝45°，∠ADC＝50°，∠ACD＝90°，CD＝40m．∵在Rt△BDC中，tan∠BDC＝BCCD∴BC＝CD＝40m．∵在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD∴tan50∴AB≈7.6（m）．答：旗桿AB的高度約為7.6m．【題目點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確應用銳角三角函數關系是解題關鍵．21、【解題分析】試題分析：按照解一元一次不等式的步驟解不等式即可.試題解析：,,.解集在數軸上表示如下點睛：解一元一次不等式一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，把系數化為1.22、(1)0;(1)a+2a+1,3【解題分析】

（1）根據a+e=0，可知a與e互為相反數，則c=0，可得b=-1，d=1，代入可得代數式b+c+d的值；（1）根據題意可得：a=1，將分式計算并代入可得結論即可；（3）先根據A、B、C、D、E為連續(xù)整數，即可求出a的值，再根據MA+MD=3，列不等式可得結論．【題目詳解】解：（1）∵a+e=0，即a、e互為相反數，∴點C表示原點，∴b、d也互為相反數，則a+b+c+d+e=0，故答案為：0；（1）∵a是最小的正整數，∴a=1，則原式=÷[+]=÷=?=，當a=1時，原式==；（3）∵A、B、C、D、E為連續(xù)整數，∴b=a+1，c=a+1，d=a+3，e=a+4，∵a+b+c+d=1，∴a+a+1+a+1+a+3=1，4a=﹣4，a=﹣1，∵MA+MD=3，∴點M再A、D兩點之間，∴﹣1＜x＜1，故答案為：﹣1＜x＜1．【題目點撥】本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練的掌握分式的相關知識點.23、【解題分析】分析：先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整體代入計算可得．詳解：原式===，∵x2-2x-2=0，∴x2=2x+2=2（x+1），則原式=．點睛：本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．24、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）由AD∥BC可得出∠DAE=∠AEB，結合∠DCB=∠DAE可得出∠DCB=∠AEB，進而可得出AE∥DC、△AMF∽△CMD，根據相似三角形的性質可得出=，根據AD∥BC，可得出△AMD∽△CMB，根據相似三角形的性質可得出=，進而可得出=，即MD2=MF?MB；（2）設FM=a，則BF=3a，BM=4a．由（1）的結論可求出MD的長度，代入DF=DM+MF可得出DF的長度，由AD∥BC，可得出△AFD∽△△EFB，根據相似三角形的性質可得出AF=EF，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形ABED是平行四邊形．詳解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∵∠DCB=∠DAE，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴△AMF∽△CMD，∴=．∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴==，即MD2=MF?MB．（2）設FM=a，則BF=3a，BM=4a．由MD2=MF?MB，得：MD2=a?4a，∴MD=2a，∴DF=BF=3a．∵AD∥BC，∴△AFD∽△△EFB，∴==1，∴AF=EF，∴四邊形ABED是平行四邊形．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、平行線的性質以及矩形，解題的關鍵是：（1）利用相似三角形的性質找出=、=；（2）牢記“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”．25、（1）1輛大貨車一次可以運貨4噸，1輛小貨車一次可以運貨噸；（2）貨運公司應安排大貨車8輛時，小貨車2輛時最節(jié)省費用.【解題分析】

（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨噸和噸，根據“3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸、2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17噸”列方程組求解可得；（2）因運輸33噸且用10輛車一次運完，故10輛車所運貨不低于10噸，所以列不等式，大貨車運費高于小貨車，故用大貨車少費用就小進行安排即可．【題目詳解】（1）解：設1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，依題可得：

,

解得：.

答：1輛大貨車一次可以運貨4噸，1輛小貨車一次可以運貨噸.

（2）解：設大貨車有m輛，則小貨車10-m輛，依題可得：

4m+（10-m）≥33

m≥0

10-m≥0

解得：≤m≤10，

∴m=8,9,10；

∴當大貨車8輛時，則小貨車2輛；

當大貨車9輛時，則小貨車1輛；

當大貨車10輛時，則小貨車0輛；

設運費為W=130m+100(10-m）=30m+1000，

∵k=30〉0，

∴W隨x的增大而增大，

∴當m=8時，運費最少，

∴W=130×8+100×2=1240（元），

答：貨運公司應安排大貨車8輛時，小貨車2輛時最節(jié)省費用.【題目點撥】考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，體現了數學建模思想，考查了學生用方程解實際問題的能力，解題的關鍵是根據題意建立方程組，并利用不等式求解大貨車的數量，解題時注意題意中一次運完的含義，此類試題常用的方法為建立方程，利用不等式或者一次函數性質確定方案．26、1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥0.4hm2和0.2hm2.【解題分析】

此題可設1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥x公