2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試第一部分專題三立體幾何微中微幾何體的外接球與內(nèi)切球

微中微幾何體的外接球與內(nèi)切球1．(2023·惠州模擬)已知四棱錐S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AD⊥DC，SA＝3eq\r(3)，BC＝4，二面角S-BC-A的大小為eq\f(π,3).若點(diǎn)S，A，B，C，D均在球O的表面上，則該球O的表面積為()A．eq\f(152π,3)B．52πC．eq\f(160π,3)D．54π解析：如右圖所示，由于AD⊥DC，所以∠ADC＝90°，因?yàn)辄c(diǎn)S，A，B，C，D均在球O的表面上，所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥SA.又BC⊥AB，且SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，因?yàn)镾B?平面SAB，所以BC⊥SB，則二面角S-BC-A的平面角為∠ABS，即∠ABS＝eq\f(π,3).在Rt△ABS中，AB＝eq\f(SA,tan∠ABS)＝3.可得SB＝6，所以，直角△ABC的外接圓直徑為AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，即四邊形ABCD的外接圓直徑為AC＝5.因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R＝eq\r(（\f(1,2)AC）2＋（\f(1,2)SA）2)＝eq\r(\f(25,4)＋\f(27,4))＝eq\r(13)，因此該球的表面積為4πR2＝4π×(eq\r(13))2＝52π.故選B.答案：B2．(2023·廣州三模)已知克列爾公式：對(duì)任意四面體，其體積V和外接球半徑R滿足6RV＝eq\r(p（p－aa1）（p－bb1）（p－cc1）)，其中p＝eq\f(1,2)·(aa1＋bb1＋cc1)，a，a1，b，b1，c，c1分別為四面體的三組對(duì)棱的長(zhǎng)．在四面體ABCD中，若AB＝CD＝AC＝BD＝eq\r(2)，AD＝2BC＝1，則該四面體的外接球的表面積為()A．eq\f(5π,2)B．3πC．eq\f(7π,3)D．5π解析：取BC中點(diǎn)N，AD中點(diǎn)H，連接AN，DN，NH，由題意得DN＝eq\r(2－\f(1,16))＝eq\f(\r(31),4)，NH＝eq\r(\f(31,16)－\f(1,4))＝eq\f(3\r(3),4)，所以S△ADN＝eq\f(1,2)AD×HN＝eq\f(1,2)×1×eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(3\r(3),8)，VA-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),8)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3),48)，p＝eq\f(1,2)(2＋2＋eq\f(1,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\r(p（p－aa1）（p－bb1）（p－cc1）)＝eq\f(3\r(7),16)，因?yàn)?RV＝eq\r(p（p－aa1）（p－bb1）（p－cc1）)，所以6×R×eq\f(3\r(3),48)＝eq\f(3\r(7),16)，R＝eq\f(\r(7),2\r(3))，所以4πR2＝eq\f(7π,3).所以該四面體的外接球的表面積為eq\f(7π,3).故選C.答案：C3.(2023·惠州校級(jí)模擬)米斗是我國(guó)古代稱量糧食的量器，是官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具，其外形近似一個(gè)正四棱臺(tái)．米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化的味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品．已知一個(gè)斗型工藝品上下底面邊長(zhǎng)分別為2和4.側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(5).則其外接球的表面積為()A．4eq\r(2)πB．4eq\r(10)πC．32πD．40π解析：由題意，方斗的示意圖如右圖，設(shè)棱臺(tái)上底面中心為O1，下底面中心為O2，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，外接球的球心O落在線段O1O2上，由題意該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(5)，則O1A＝2eq\r(2)，O2B＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(5)，所以O(shè)1O2＝eq\r(AB2－（O1A－O2B）2)＝3eq\r(2)，設(shè)外接球的半徑為R，|OO2|＝h，則|OO1|＝3eq\r(2)－h(huán)，因?yàn)镺1O2垂直于上下底面，所以|OO2|2＋|O2B|2＝R2，即h2＋(eq\r(2))2＝R2，又|OO1|2＋|O1A|2＝R2，即(3eq\r(2)－h(huán))2＋(2eq\r(2))2＝R2，聯(lián)立解得h＝2eq\r(2)，R2＝8＋2＝10，所以該米斗的外接球的表面積為4πR2＝40π.故選D.答案：D4．(2023·廣東模擬)已知四棱錐PABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面O上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，面PAD⊥面ABCD，且PA＝PD＝eq\r(5)，則球面O的表面積為()A．39πB．40πC．41πD．42π解析：如圖，取AD中點(diǎn)為E，三角形PAD外接圓圓心為O1，正方形ABCD外接圓圓心為O2，過O1，O2作平面PAD，底面ABCD垂線，則兩垂線交點(diǎn)為四棱錐外接球球心O，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，O1E⊥AD，O1E?平面PAD，則O1E⊥平面ABCD，又EO2?平面ABCD，則O1E⊥EO2，因?yàn)椤螼O1E＝∠O1EO2＝∠OO2E＝eq\f(π,2)，則四邊形O1EO2O為矩形，設(shè)三角形PAD外接圓半徑為r，則O1P＝O1A＝r，又AE＝2，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝1，則(r－1)2＋4＝r2?r＝eq\f(5,2)，則O1E＝OO2＝eq\f(3,2)，設(shè)外接球半徑為R，則R＝OA＝eq\r(OOeq\o\al(2,2)＋AOeq\o\al(2,2))＝eq\r(O1E2＋AOeq\o\al(2,2))，又AO2＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，則R＝eq\r(\f(9,4)＋8)＝eq\f(\r(41),2)，則球O表面積為4πR2＝41π.故選C.答案：C5．(2023·廣州一模)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PB＝PC＝2eq\r(5)，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，則球O的表面積為()A.eq\f(316π,15)B.eq\f(79π,15)C.eq\f(158π,5)D.eq\f(79π,5)解析：在三棱錐PABC中，如圖，AB2＋PA2＝20＝PB2，則PA⊥AB，而AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，因此PA⊥平面ABC，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，則cos∠ABC＝eq\f(\f(1,2)BC,AB)＝eq\f(1,4)，sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(15),4)，令△ABC的外接圓圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，O1A＝eq\f(1,2)×eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(8,\r(15))，有OO1∥PA，取PA中點(diǎn)D，連接OD，則有OD⊥PA，又O1A?平面ABC，所以O(shè)1A⊥PA，從而O1A∥OD，四邊形ODAO1為平行四邊形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，因此球O的半徑R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝(eq\f(8,\r(15)))2＋12＝eq\f(79,15)，所以球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(316π,15).故選A.答案：C6．(2023·廣州荔灣區(qū)校級(jí)模擬)以ABC為底的兩個(gè)正三棱錐P-ABC和Q-ABC內(nèi)接于同一個(gè)球，并且正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面ABC所成的角為45°，記正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC的體積分別為V1和V2，則eq\f(V1,V2)＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：如圖，正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC內(nèi)接于同一個(gè)球，設(shè)P到底面ABC的距離為h1，Q到底面ABC的距離為h2，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(h1,h2)，取AB的中點(diǎn)M，連接PM，CM，PQ，記PQ與平面ABC的交點(diǎn)為R，由兩個(gè)正三棱錐P-ABC和Q-ABC內(nèi)接于同一個(gè)球，故PQ一定為球O的直徑，記其中點(diǎn)為O，且由題意可知，R為正三角形ABC的中心，因此，PR，QR分別為正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC的高h(yuǎn)1，h2，由PA＝PB，QA＝QB，CA＝CB，且M為AB的中點(diǎn)，可得PM⊥AB，QM⊥AB，CM⊥AB，則∠PMR為正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面ABC所成的角為45°，所以MR＝PR＝h1，RC＝2MR＝2h1，記球的半徑為r，于是OR＝r－h(huán)1，在Rt△ORC中，由勾股定理可得，OC2＝r2＝OR2＋RC2＝(r－h(huán)1)2＋4heq\o\al(2,1)，解得r＝eq\f(5,2)h1，于是QR＝PQ－PR＝2r－h(huán)1＝5h1－h(huán)1＝4h1＝h2，則eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4).故選D.答案：D7．(2023·韶關(guān)二模)將一個(gè)圓心角為eq\f(2π,3)，面積為2π的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為________．解析：設(shè)圓錐底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πRL＝2π，,\f(2πR,L)＝\f(2π,3)，))解得R＝eq\f(\r(6),3)，L＝eq\r(6)，易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中AB＝AC＝eq\r(6)，BC＝eq\f(2\r(6),3)，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，由于AM＝eq\f(4\r(3),3)，故S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(4\r(2),3)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則：S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝eq\f(1,2)AB·r×2＋eq\f(1,2)BC·r，解得r＝eq\f(\r(3),3)，其表面積：S＝4πr2＝4π(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π8.(2023·汕頭濠江區(qū)校級(jí)模擬)已知四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝4，AD＝3，∠BAD＝eq\f(π,3)，現(xiàn)將△ABD沿直線BD翻折，得到三棱錐A′-BCD，若A′C＝eq\r(13)，則三棱錐A′-BCD的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為________．解析：在△ABD中，AB＝4，AD＝3，∠BAD＝eq\f(π,3)，故DB2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝42＋32－2×4×3×eq\f(1,2)＝13，即DB＝eq\r(13)，則折成的三棱錐A′BCD中，A′C＝DB，A′B＝AB＝DC，A′D＝AD＝BC，即此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則a2＋b2＝13a2＋c2＝9b2＋c2＝16，解得a＝eq\r(3)b＝eq\r(10)c＝eq\r(6).此長(zhǎng)方體的外接球是三棱錐A′BCD的外接球，設(shè)外接球的直徑2R外＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(19)，即R外＝eq\f(\r(19),2)，又因?yàn)槿忮FA′BCD是長(zhǎng)方體切掉四個(gè)角，故三棱錐VABCD＝abc－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)abc＝eq\f(1,3)abc＝2eq\r(5)，三棱錐A′-BCD四個(gè)側(cè)面是全等的，S表＝4S△ABD＝4×eq\f(1,2)AB·AD·sineq\f(π,3)＝2×4×3×eq\f(\r(3),2)＝12eq\r(3)，設(shè)內(nèi)切球半徑為R內(nèi)，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，故R內(nèi)＝eq\f(3V,S表)＝eq\f(3×2\r(5),12\r(3))＝eq\f(\r(15),6)，則三棱錐A′-BCD的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為eq\f(4πReq\o\