2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題一三角函數(shù)與平面向量微專題1三角函數(shù)與解三角形小題考法5正余弦定理及其應(yīng)用

小題考法5正、余弦定理及其應(yīng)用(1)(2023·深圳福田區(qū)校級模擬)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝2B.若b＝2，c＝1，則a＝__________；若b＋c＝a，則B＝________．(2)(2023·山東模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝3，若b2＝2a2＋c2，則△ABC面積的最大值為()A．2B．eq\f(3,4)C．1D．eq\f(3,2)解析：(1)△ABC中，A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理、余弦定理得a＝2b×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，化簡得a2－b2＝bc，因為b＝2，c＝1，所以a＝eq\r(6)；若b＋c＝eq\r(3)a，A＝2B，顯然B為銳角，由正弦定理得sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA，所以sinB＋sin(π－3B)＝eq\r(3)sin2B，所以sinB＋sin3B＝eq\r(3)sin2B，即sinB＋sin(B＋2B)＝eq\r(3)sin2B，所以sinB＋sinBcos2B＋sin2BcosB＝eq\r(3)sin2B，即sinB＋sinB(2cos2B－1)＋2sinBcos2B＝2eq\r(3)sinBcosB，所以4cos2B＝2eq\r(3)cosB，因為cosB>0，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,6).(2)因為b2＝2a2＋c2，所以在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(a,2c)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq\r(1－\f(a2,4c2))＝eq\f(\r(4c2－a2),2c)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a\r(4c2－a2),4)＝eq\f(\r(9a2（4c2－a2）),12)≤eq\f(1,12)×eq\f(9a2＋4c2－a2,2)＝eq\f(1,12)×eq\f(4（2a2＋c2）,2)＝eq\f(3,2)，當且僅當4c2－a2＝9a2，即a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5)時等號成立，故△ABC面積的最大值為eq\f(3,2).故選D.答案：(1)eq\r(6)eq\f(π,6)(2)D1．正(余)弦定理是角邊互化的橋梁，同時注意等式(不等式)兩邊須齊次．2．三角形面積公式常常選擇與已知角相關(guān)的公式代入．3．最值問題常常和三角函數(shù)或基本不等式相結(jié)合．1．(2023·廣州天河區(qū)三模)在△ABC中，點D在邊BC上，AB＝eq\r(6)，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，則AC的長為________．解析：作AE⊥BD交BD于E，因為AB＝eq\r(6)，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，所以AE＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(3)，則AD＝eq\f(AE,sin60°)＝2，所以AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19，所以AC＝eq\r(19).答案：eq\r(19)2．(2023·濟南三模)山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學符號“∞”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新．如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi))，則A，B兩點之間的距離為________米．解析：由題意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝eq\f(1,2)CD＝300，BC＝eq\f(\r(3),2)CD＝300eq\r(3)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(CD,sin60°)，所以AC＝eq\f(600,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝200eq\r(6)，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200eq\r(6