平均變異指標

《統(tǒng)計學》課件制作及主講嵇冉2

天道酬勤。世間沒有不經(jīng)過勤勞而成為天才的人。

第五章平均指標和標志變動度3

通過學習，使學生認識到綜合指標所反映現(xiàn)象的規(guī)模、結(jié)構(gòu)、比例、水平、集中、分散等數(shù)量特征。要求學生了解平均指標的概念、作用，掌握幾種平均數(shù)的特點和計算方法，掌握變異指標的概念及計算。教學目的及要求41.平均指標的概念、特點2.平均指標的種類3.平均指標的計算公式4.標志變異指標的概念5.標志變異指標的計算

主要內(nèi)容5第一節(jié)平均指標的概念和特點一、平均指標的概念

1.問題的提出

2.概念將總體各單位標志值之間的差異加以抽象化，所形成的反映總體單位標志值一般水平的指標叫~。

6二、平均指標的特點

①抽象性；②同質(zhì)性；③具體性。

7三、平均指標的基本公式

總體標志總量平均指標=

總體單位總量8

第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)

是各單位標志值通過一定方式匯總，再與全部單位總數(shù)對比的指標。

9

一、簡單算術(shù)平均數(shù)

假設(shè)總體有n個單位，各單位的標志值用表示；標志值一般水平用表示。則：10二、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)1.單項數(shù)列計算平均數(shù)例：某班組有20名工人按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）132144154166174

合計20

計算平均每個工人的日產(chǎn)零件數(shù)？11平均每個工人的日產(chǎn)零件數(shù)：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）132144154166174

合計20x1x2x3x4x5

f1f2f3f4f5Σf權(quán)數(shù)12推導(dǎo)公式：13公式的變形：142.組距數(shù)列計算平均數(shù)按職工工資水平分組（元）職工人數(shù)（人）2500以下102500~3500103500~4800304800~6000406000以上10

合計100計算平均工資？15解：按工資水平分組

組中值職工人數(shù)2500以下

2500~35003500~48004800~60006000以上200030004150540066001010304010

合計—10016

3.根據(jù)組平均數(shù)計算總平均數(shù)例1：某企業(yè)有三個基本車間，各車間職工的工資和人數(shù)資料如下，計算平均工資。車間名稱平均工資（元）

職工人數(shù)

甲4690.00280

乙4360.00420

丙4871.20150

合計

？850解：4558.9217第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)

是標志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。（倒數(shù)平均數(shù)）一、簡單調(diào)和平均數(shù)實例：設(shè)市場上某種蔬菜價格，早市每斤2.50元，中午每斤2.00元，晚市每斤1.00元。⑴早、中、晚各買1斤，問平均每斤價格？18⑵早、中、晚各買1元，問平均每斤價格？解：①2.502.001.00；②早上1元買1/2.50斤，中午買1/2.00斤，晚上買1/1.00斤；③平均每元可以買（1/2.50+1/2.00+1/1.00）/3；④平均每斤價格=3/（1/2.50+1/2.00+1/1.00）。19公式：20二、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品分兩批銷售，資料如下：

批次出廠價格（元/件）銷售收入第一批252000第二批203000

合計

？5000

計算平均出廠價格？解：21公式：

批次出廠價格（元/件）銷售收入第一批第二批252020003000

合計21.745000x1…xn

m1…

mnΣmm—表示權(quán)數(shù)22三、計算和運用平均數(shù)應(yīng)注意的幾個問題計算平均數(shù)必須是在同一個總體中，不同總體計算是沒有意義的;運用平均數(shù)時注意組平均數(shù)來補充說明總平均數(shù);注意運用相對數(shù)計算平均數(shù)。23第四節(jié)幾何平均數(shù)

~是n個變量連乘積的n次方根。應(yīng)用條件

：變量連乘積等于總比率、總速度的現(xiàn)象，計算平均比率或平均速度。一、簡單幾何平均數(shù)公式：24例：某機械廠有毛坯車間、粗加工車間、精加工車間、裝配車間四個流水連續(xù)作業(yè)的車間。本月份第一車間制品合格率為95%，第二車間為92%，第三車間為90%，第四車間為85%。計算平均車間制品合格率？解：25二、加權(quán)幾何平均數(shù)公式：26例：從《中國財政統(tǒng)計》的資料中，對國家歷年財政總支出的增長速度做一下簡單分組，得出結(jié)論：從1973年到1988年的16年中，國家財政總支出的環(huán)比發(fā)展速度（以上年為100）為：98%有2年，96%有1年，92%有1年，104%有5年，112%有4年，120%有2年，130%有1年。則1973—1988年間我國國家財政總支出的年平均發(fā)展速度：27第五節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)

（前三種平均數(shù)——計算平均數(shù)；另有兩種是根據(jù)所處的特殊位置來計算的——位置平均數(shù)。）一、眾數(shù)

總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值。用Mo表示。例：十個學生年齡為：16、17、17、18、18、18、18、19、20、22。則18為眾數(shù)。

上例：16、17、18、19、20、21、22、23、24、25。眾數(shù)不存在281.分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)

例：（美國）調(diào)查300個人的政黨背景形成的數(shù)據(jù)分布如下，試確定眾數(shù)。政黨背景次數(shù)或頻數(shù)民主黨共和黨無黨派人士9070140眾數(shù)為：無黨派人士292.順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意24108934530836311510合計300100.030

例：假定有瓦工砌墻的資料如下，試確定眾數(shù)。每日平均砌墻量（M3）人數(shù)（人）0.800.900.951.001.10203080105

合計145Mo=0.953.數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù)—單項數(shù)列313.數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù)—組距數(shù)列

應(yīng)首先確定次數(shù)最多的一組為眾數(shù)組。例：某村農(nóng)戶月收入額的資料如下，試確定眾數(shù)。月收入額分組（元）

農(nóng)戶數(shù)（戶）500~600600~700700~800√800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030

合計300032有兩個公式：下限公式：上限公式：Ｍo—眾數(shù)；Ｌ—眾數(shù)組下限；Ｕ—眾數(shù)組上限；△1

—眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差；△2

—眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；d—眾數(shù)組的組距。

33

下限公式：上限公式：34二、中位數(shù)

～是將總體各單位的標志值按大小順序排列，處于數(shù)列中點位置的標志值。Me1.未分組資料確定中位數(shù)例：某班組11名工人，日產(chǎn)零件資料：15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30中位數(shù)的位次=（n+1）/2=（11+1）/2=6則第6位為中位數(shù)，Me=22（件）35

如果是偶數(shù)，則：上例：某班組12名工人，日產(chǎn)零件資料：15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30、31。中位數(shù)的位次=（n+1）/2=（12+1）/2=6.5則第6、7位中間的數(shù)值為中位數(shù)，Me=（22+23）/2=22.5（件）362.順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為

300/2＝150

從累計頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中，中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意24108

93453024132225270300合計300—373.數(shù)值型數(shù)據(jù)—分組資料確定中位數(shù)

例：某村農(nóng)戶月收入額資料如下，試確定中位數(shù)。月收入額分組（元）

農(nóng)戶數(shù)（戶）500~600600~700700~800800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030

合計300038月收入額分組

農(nóng)戶數(shù)農(nóng)戶數(shù)向上累計農(nóng)戶數(shù)向下累計500~600600~700700~800√800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030

合計3000——39有兩個公式：下限公式：上限公式：L—中位數(shù)組下限，U—中位數(shù)組上限，fm—中位數(shù)組次數(shù)，Sm-1—

中位數(shù)組以前各組的累計次數(shù)，Sm+1—中位數(shù)組以后各組的累計次數(shù)，∑f—總次數(shù)，d—中位數(shù)組的組距。

40下限公式：上限公式：41第六節(jié)標志變動度一、標志變動度的概念

1.問題的提出在統(tǒng)計研究中，一方面要計算平均數(shù)，用以反映總體各單位標志值的一般水平，另一方面也要測定標志變動度，用以反映總體各單位標志值的差異程度。同時，平均數(shù)的代表性還必須用標志變動度指標來測量，標志變動度大，平均數(shù)的代表性就小，相反，標志變動度小，平均數(shù)的代表性就大，如果標志變動度等于零，則說明平均數(shù)具有完全的代表性。所以，為了全面準確地反映出總體特征，在計算了平均數(shù)之后，還要進一步計算標志變動指標，以便對平均數(shù)作出補充說明。42舉例：甲組5人工資：500、600、700、800、900乙組5人工資：600、650、700、750、800

2.概念：

反映總體單位標志值之間差異程度的指標。即反映標志值的變動范圍或離差程度，也稱標志變異指標。43二、標志變異指標的作用1.衡量平均數(shù)代表性大小。

例如：有兩個鄉(xiāng)的水稻平均單產(chǎn)都是400公斤，甲鄉(xiāng)的水稻單產(chǎn)在350—450公斤之間的地塊，只占播種面積的60％，而乙鄉(xiāng)在350—450之間的地塊，只占播種面積的30％，試問：哪個鄉(xiāng)具有比較穩(wěn)定而又可靠的收獲量？顯然，在這種情況下，甲鄉(xiāng)的收獲量是比較穩(wěn)定可靠的。所以，在計算平均數(shù)之后，還應(yīng)該測定標志的變動度。

442.衡量經(jīng)濟活動過程的節(jié)奏性、均衡性。

資料表明：甲乙兩車間的鋼材月產(chǎn)量計劃都已完成。但甲車間全月均衡完成，各旬計劃完成率變異程度??；而乙車間前松后緊，各旬計劃完成率變異程度大。

計劃數(shù)

實際完成

上旬

中旬

下旬

全月絕對數(shù)占全月%絕對數(shù)占全月%絕對數(shù)占全月%絕對數(shù)占全月%甲車間乙車間120120382031.716.7404033.333.3426035.050.012012010010045三、測定標志變動度的指標（一）分類數(shù)據(jù)——

異眾比率非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率。公式：用于衡量眾數(shù)的代表性解：

在所調(diào)查的50人當中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好。異眾比率(例題分析)不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計501100（二）順序型數(shù)據(jù)

——四分位差（四分互差）

Q=Q3-Q1目的：避免極端數(shù)值的影響。三、測定標志變動度的指標48三、測定標志變動度的指標（三）數(shù)值型數(shù)據(jù)

1．極差（全距）

總體單位標志值中最大值與最小值之差。

R甲

=900–500=400（元）

R乙

=800–600=200（元）雖然兩組平均數(shù)相同，均為700元，但兩組工資變動范圍不一樣。甲組標志變動度遠遠大于乙組。49

極差特點：優(yōu)點:說明總體中兩個極端標志值的變異范圍，其計算方法簡便、易懂、容易被人掌握。

缺點：受極端值影響很大，不能全面反映各單位標志值的差異程度。所以，在實際應(yīng)用上有一定的局限性。

502.平均差

總體各單位標志值與算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù)。⑴簡單平均式51仍以甲、乙兩組工資為例：

甲組

乙組工資離差離差絕對值工資離差離差絕對值

500-200200600-100100600-100100650-505070000700008001001007505050900200200800100100

合計0600

合計030052解：

甲組的平均差比乙組的平均差大，所以甲組的平均數(shù)代表性小。53⑵加權(quán)平均式54例：有200人的工資資料如下：

月工資（元）

人數(shù)（人）xf5006007008009003050703020

合計200計算平均差。55解：月工資（元）

人數(shù)（人）工資總額（元）

離差離差絕對值以人數(shù)加權(quán)的離差絕對值xf

xfx-x

5003015000-18018054006005030000-808040007007049000202014008003024000120120360090020180002202204400

合計200136000——1880056

表明月平均工資與每人的月工資額平均相差94元。3.標準差（也叫均方差）

總體各單位的標志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方平均數(shù)的平方根。

標準差是測定標志變動度最重要的指標，它的意義與平均差的意義基本相同，但在數(shù)學性質(zhì)上比平均差要優(yōu)越，由于各標志值對算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和為最小，所以，在反映標志變動度大小時，一般都采用標準差。標準差是反映標志變動度的最重要的指標。58⑴簡單平均式

仍以甲、乙兩組工資為例：

甲組

乙組工資

離差

離差平方工資

離差

離差平方

500-20040000600-10010000600-10010000650-50250070000700008001001000075050250090020040000800