有限元和邊界元方法VIP

計(jì)算物理3/lesson/ComputationalPhysics有限元和邊界元方法有限元和邊界元方法物理問(wèn)題的變分原理泊松方程的有限元方法擴(kuò)散方程的有限元方法波動(dòng)方程的有限元方法邊界積分方程邊界元近似單一邊界下的邊界元法兩種介質(zhì)的邊界元方法√物理問(wèn)題的變分原理(1/3)有限元方法基于變分原理的離散化方法——部分逼近地離散化劃分整體區(qū)域?yàn)橛邢迋€(gè)基本塊(單元)在單元上插值逼近，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的函數(shù)集(有限元空間，是泛函

J(y)

的定義域的子集)將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函的極值問(wèn)題在有限元空間中尋找泛函

J(y)

的極小值，作為近似解物理中的變分例：力學(xué)體系的最小作用量原理體系的特性可以用拉格朗日函數(shù)L(q,

q',

t)

描寫(xiě)在時(shí)刻t1

和t2

之間體系按照以下積分取最小值的方式運(yùn)動(dòng)(即，運(yùn)動(dòng)軌道由泛函的的極小值決定)√物理問(wèn)題的變分原理(2/3)例：光學(xué)的費(fèi)馬原理光從點(diǎn)A到點(diǎn)B的傳播路徑是使光程L

取極值由d

L=

0

得到幾何光學(xué)的折射定律和反射定律例：電磁學(xué)的麥克斯韋方程組電磁場(chǎng)的拉格朗日函數(shù)L

是空間積分電磁學(xué)的作用量是時(shí)間積分運(yùn)動(dòng)方程由泛函的的極小值決定(即

d

S

=

0

)√物理問(wèn)題的變分原理(3/3)例：靜電場(chǎng)的泊松方程第一類邊界條件等價(jià)的變分問(wèn)題為求解泛函的極值問(wèn)題泛函的求解必須在邊界條件下：條件變分問(wèn)題第二類和第三類邊界條件等價(jià)的變分問(wèn)題為求解泛函的極值問(wèn)題邊界條件包含泛函中：自然邊界條件√泊松方程的有限元方法(1/11)靜電場(chǎng)中二維泊松方程的有限元方法G1G2ABDG1陽(yáng)極G2G1陰極G2例：陰極射線管(如右圖)

，在兩極上(邊界G1)的電勢(shì)u

是已知的，在左右兩側(cè)(邊界G2)的q

是已知的。如果管中的自由電荷密度分布r(x,y)

已知，則以上的泊松方程等價(jià)為求解以下泛函J(u)

的極值問(wèn)題√泊松方程的有限元方法(2/11)有限元方法的具體步驟劃分整體區(qū)域?yàn)橛邢迋€(gè)單元和編號(hào)劃分要點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)相連避免鈍角(因引入較大誤差)每個(gè)三角形不跨越不同的介質(zhì)每個(gè)三角形最多只有一條邊在G2

上(方便計(jì)算)三角形覆蓋盡量多的區(qū)域編號(hào)約定三角形單元的編號(hào)：e

=

①,②,③,…頂點(diǎn)的編號(hào)：按逆時(shí)針為

1,

2,

3頂點(diǎn)的坐標(biāo)：(x1,

y1),

(x2,

y2),

(x3,

y3)單元的泛函：Je(u)③①②e123e整體的泛函：√泊松方程的有限元方法(3/11)3(x3,y3)e1(x1,y1)2(x2,y2)構(gòu)造線性插值函數(shù)假設(shè)每個(gè)單元內(nèi)

u(x,y)

是

x和

y的線性函數(shù)每個(gè)的三個(gè)基函數(shù)u(x,y)

的插值表達(dá)式中，a,

b,

c,

d

可由三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定，只剩余u1,

u2,

u3

未知√泊松方程的有限元方法(4/11)建立單元的矩陣單元的泛函123eG2第一項(xiàng)積分與單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(zij)第二項(xiàng)積分與單元矩陣

(rfj)第三項(xiàng)積分與單元矩陣

(rqj)√泊松方程的有限元方法(5/11)建立頂點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的(V-n)對(duì)應(yīng)關(guān)系單元編號(hào)：有一條邊在

G2

上且

q

0

的單元編號(hào)為

1,

2,…,

e1，其余的單元編號(hào)為e1+1,

e1+2,…,e0G2G1③①②e1e1+1e0頂點(diǎn)編號(hào)：用

V(e,i)

表示，逆時(shí)針?lè)较颍?和

3在

G2

上結(jié)點(diǎn)編號(hào)：內(nèi)部和

G2

上的結(jié)點(diǎn)編號(hào)為

1,

2,…,

n1，G1

上的結(jié)點(diǎn)編號(hào)為

n1+1,

n1+2,…,

n0建立頂點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：V(e,i)

=n集成泛函和建立方程泛函的離散化K為總體剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(zij)

合成Rf

由單元矩陣

(rfj)

合成，Rq

由單元矩陣

(rqj)

合成J(u)

被離散化為二次多元函數(shù)J(u1,

u2,…,

un0)√泊松方程的有限元方法(6/11)有限元方程(關(guān)于

um

的線性方程組)求解方程√泊松方程的有限元方法(7/11)例：如右圖的邊長(zhǎng)為

1

的正方形區(qū)域G1G2G2G2xyO劃分整體區(qū)域?yàn)橛邢迋€(gè)單元和編號(hào)單元：①②③④頂點(diǎn)：123(23在G2上)結(jié)點(diǎn)：⑴⑵⑶⑷⑸(先內(nèi)部和

G2

)③①②④121112223333⑴⑵⑶⑷⑸√泊松方程的有限元方法(8/11)構(gòu)造線性插值函數(shù)G1G2G2G2xyO③①②④121112223333⑴⑵⑶⑷⑸√泊松方程的有限元方法(9/11)建立單元的矩陣建立頂點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

V(e,i)G1G2G2G2xyO③①②④121112223333⑴⑵⑶⑷⑸√泊松方程的有限元方法(10/11)集成泛函和建立方程求解方程√泊松方程的有限元方法(11/11)例：如下圖的環(huán)形均勻帶電板，內(nèi)徑

6，外徑

10，外圈

G1

的電勢(shì)為常數(shù)，內(nèi)圈

G2

的電場(chǎng)為常數(shù)G1G2610考慮對(duì)稱性，取

1/4

環(huán)形區(qū)域以簡(jiǎn)化計(jì)算G2G1①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩123⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂√擴(kuò)散方程的有限元方法(1/1)二維擴(kuò)散方程離散化關(guān)于ai(t)

的常微分方程組初始條件求解方法：二級(jí)歐拉法√波動(dòng)方程的有限元方法(1/1)二維波動(dòng)方程離散化關(guān)于ai(t)

的常微分方程組初始條件求解方法：二級(jí)歐拉法√邊界積分方程(1/2)邊界元方法的特點(diǎn)基于邊界積分方程的近似方法結(jié)點(diǎn)僅分布在區(qū)域的邊界以邊界積分方程為控制方程，將邊界離散插值，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組未知量的個(gè)數(shù)少，求解的計(jì)算量少面積分

邊界積分定理：如果

u(x,

y)

和

v(x,

y)

是定義在平面域

D上的兩個(gè)任意函數(shù)，并且它們?cè)谶吔缤夥ň€上的導(dǎo)數(shù)為xyOdsds√證明：利用格林公式(略)邊界積分方程(2/2)d

函數(shù)定義：性質(zhì)：平面域：邊界積分方程v和p

是已知的，上式給出D+

G

內(nèi)任意一點(diǎn)(等式左邊)與G

上某點(diǎn)(等式右邊)的u

和q

之間的關(guān)系上式稱為邊界積分方程，是邊界元法的基礎(chǔ)√邊界元近似(1/4)邊界元方程當(dāng)定點(diǎn)

i在邊界G

上常數(shù)邊界離散化邊界積分方程的右邊：將邊界G

分成N

段，以每段中點(diǎn)的u

和q

近似該段的函數(shù)值例：泊松方程當(dāng)定點(diǎn)

i不在邊界G

上：利用前面的結(jié)果，代入最上公式√邊界元近似(2/4)對(duì)角元Hii

和Gii

的計(jì)算(定點(diǎn)

i在

Gi

上)非對(duì)角元Hij

和Gij

的計(jì)算(定點(diǎn)

i不在

Gj

上)√邊界元近似(3/4)Bi

的計(jì)算：將區(qū)域

D劃分為有限個(gè)三角形單元例：三角區(qū)域的電勢(shì)和電量xOy11泊松方程的混合邊界問(wèn)題常數(shù)邊界離散化對(duì)角元Hii

和GiiA①G2G1G1②③非對(duì)角元Hij

和Gij①②③①②③A①G2G1G1②③A①G2G1G1②③A①G2G1G1②③A①G2G1G1②③√Bi

：因?yàn)閒

=

0，所以Bi

=

0邊界元近似(4/4)構(gòu)造方程AX

=

R內(nèi)部(三角形中心(1/3,

0))：u

=

0.623√單一邊界下的邊界元法(1/6)例：三角區(qū)域的電勢(shì)和電量主程序xOy11√單一邊界下的邊界元法(2/6)邊界離散化和初始化√單一邊界下的邊界元法(3/6)構(gòu)造矩陣

H、G、A和

R√單一邊界下的邊界元法(4/6)非對(duì)角元Hij

和Gij√單一邊界下的邊界元法(5/6)求解線性方程√單一邊界下的邊界元法(6/6)計(jì)算內(nèi)點(diǎn)作圖√兩種介質(zhì)的邊界元方法(1/1)二維區(qū)域、無(wú)自由電荷的泊松方程G1G2GID1D2區(qū)域拆分和邊界元方程區(qū)域拆分