N-P準(zhǔn)則教學(xué)課件

第八講假設(shè)檢驗一、基本概念二、Neyman-Pearson引理三、一致最優(yōu)勢檢驗N-P準(zhǔn)則一、基本概念在自然科學(xué)和社會科學(xué)等中，常常要對某些重要問題做出回答：是或否。如月球比地球早形成嗎？一種新藥對某種病有效嗎？某種股票會張嗎？新推出的電視節(jié)目收視率高嗎？等等。為了回答這些問題，我們需要對感興趣的問題進行試驗或觀察獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)決定是或否的過程稱為假設(shè)檢驗。(HypothesisTesting)N-P準(zhǔn)則在這節(jié)，給出一般的Neyman-Pearson假設(shè)檢驗構(gòu)架。原假設(shè)和備擇假設(shè)布或關(guān)于參數(shù)的推測，稱為假設(shè)，其中是的非空真子集。在一個假設(shè)檢驗中，常涉及兩個假設(shè)。所要檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為。N-P準(zhǔn)則而與不相容的假設(shè)，稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為。對參數(shù)統(tǒng)計模型而言，原假設(shè)和備擇假設(shè)這對矛盾的統(tǒng)一體稱為假設(shè)檢驗問題。在假設(shè)檢驗問題中，不相交的非空子集，一定成立。保留這個的靈活性，不僅是理論的需要，也有其實際意義。N-P準(zhǔn)則則稱為簡單假設(shè)(SimpleHypothesis)，否則稱為復(fù)合假設(shè)(CompositeHypothesis)，對備擇假設(shè)也有簡單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)。拒絕域、接受域、檢驗統(tǒng)計量和檢驗函數(shù)檢驗一個假設(shè)，就是根據(jù)某一法則在原假設(shè)和備擇假設(shè)之間做出選擇，而基于樣本做出拒絕或接受所依賴的法則稱為檢驗。N-P準(zhǔn)則這樣一個檢驗就等同于將樣本空間分成兩個互不相交的子集和，絕，稱為拒絕域，(RejectionRegion)稱為接受域(AcceptanceRegion)。這樣檢驗和拒絕域就建立起一一對應(yīng)關(guān)系。為了確定拒絕域，往往根據(jù)問題的直觀背景，尋找合適的統(tǒng)計量，要N-P準(zhǔn)則能由統(tǒng)計量確定出拒絕域，這樣的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量(TestStatistic)。為了便于描述拒絕域及數(shù)學(xué)理論上的需要，有必要引入函數(shù)它是拒絕于上的示性函數(shù)，稱其為檢驗函數(shù)。種檢驗函數(shù)也稱為非隨機化的，而隨機化的檢驗函數(shù)的定義是：這N-P準(zhǔn)則在隨機化檢驗時，有了樣本后，計算若兩類錯誤、功效和功效函數(shù)由于樣本時隨機的，進行檢驗時可能犯兩類錯誤，其一是當(dāng)為真時，卻拒絕，稱為第一類錯誤，其概率為其二是當(dāng)為假時，卻接受，稱為第二類錯誤，其概率為N-P準(zhǔn)則定義8.1一個檢驗的功效(Power)定義為當(dāng)假時拒絕的概率，即而第一類錯誤和功效可以看成函數(shù)的不同取值，這個函數(shù)稱為功效函數(shù)。(PowerFunction)N-P準(zhǔn)則檢驗的水平當(dāng)樣本容量固定時，要減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率；反之，若要減少犯第二類錯誤的概率，就會增大犯第一類錯誤的概率。即就是說當(dāng)樣本容量固定時，不可能同時減少犯兩類錯誤的概率，這是一對不可調(diào)和的矛盾。Neyman-Pearson檢驗原理就是控制犯第一N-P準(zhǔn)則類錯誤的概率在給定的范圍內(nèi)，尋找檢驗使得犯第二類錯誤的概率盡可能的小，即就是使檢驗的功效盡可能的大。這樣就是在給定一個較小的數(shù)(一般取為0.01,0.05,0.1等)，在滿足的檢驗函數(shù)類中，尋找使得功效盡可能大的檢驗函數(shù)。N-P準(zhǔn)則則稱是一個水平(Level)為的檢驗。根據(jù)這個定義，水平不唯一。若是水平為的檢驗，則對任何滿足的，也是水平為的檢驗。稱為檢驗的大小(Size)或真實水平。實用上當(dāng)提到一個檢驗的水平時，一般是指它的真實水平。N-P準(zhǔn)則二、Neyman-Pearson引理設(shè)統(tǒng)計模型為，考慮檢驗問題比檢驗(LikelihoodRatioTest)。對較大拒絕原假設(shè)的檢驗稱為似然定義似然比(LikelihoodRatio)為是統(tǒng)計量。N-P準(zhǔn)則在這節(jié)，我們先討論簡單原假設(shè)對簡單備擇假設(shè)的檢驗問題，設(shè)統(tǒng)計模型為，下節(jié)討論較復(fù)雜的檢驗問題。即參數(shù)空間僅包含兩個參數(shù)，所考慮的檢驗問題為比較兩個檢驗的優(yōu)劣的一個自然（1）的準(zhǔn)則就是比較它們功效的大小。N-P準(zhǔn)則若根據(jù)這點我們有所謂最優(yōu)的檢驗定義如下。定義8.2在檢驗問題(1)中，的檢驗，有成立，(MostPowerfulTest)最優(yōu)功效檢驗，簡記為MPT。N-P準(zhǔn)則對于檢驗問題(1)，下面的N-P引理不但徹底解決了檢驗問題(1)的而且還給出了構(gòu)造MPT檢驗的方法。雖然這個引理僅針對檢驗問題(1)，但它對解決復(fù)合假設(shè)檢驗問題最優(yōu)檢驗的存在起到非常重要的作用。似然比為MPT的存在問題，規(guī)定：N-P準(zhǔn)則就檢驗問題(1)，(1)滿足（2）（3）(2)引理8.1(Neyman-Pearson引理)N-P準(zhǔn)則注:（1）MPT的檢驗統(tǒng)計量可取為非隨機化的形式這說明此種情形下引理的證明可參看《高等統(tǒng)計學(xué)》(鄭忠國)。N-P準(zhǔn)則（2）MPT的檢驗統(tǒng)計量具有形式由于沒有給出N-P引理的證明，關(guān)于具有這種形式的原因解釋如下：（5）N-P準(zhǔn)則MPT的檢驗統(tǒng)計量未必具有形式如果對給定的，存在k恰有（6）則MPT的檢驗統(tǒng)計量具有形式(6)，即具有形為的拒絕域。的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，但由于故可能不存在k使得N-P準(zhǔn)則成立，卻只能找到k有就有必要改變可令注意這樣的做法是合適的，仍具有N-P引N-P準(zhǔn)則理中MPT的形式。從而可得所待定的r為由于即因此此時的水平為的MPT是隨機檢驗，檢驗統(tǒng)計量具有式(5)。由于當(dāng)時，所以式(5)更具一般性，包括了式(6)。N-P準(zhǔn)則例8.1的簡單樣本。求檢驗問題解由N-P引理知，MPT的拒絕域具有形式似然比統(tǒng)計量為N-P準(zhǔn)則由于故～有這樣拒絕域為。N-P準(zhǔn)則注意這個例子的MPT僅與水平有關(guān)，而與備擇假設(shè)中的具體取值無關(guān)，只要。作為課后練習(xí)，試求原假設(shè)不變而備擇假設(shè)改為時的MPT。例8.2樣本，試求檢驗問題N-P準(zhǔn)則解似然比統(tǒng)計量為調(diào)減函數(shù)。根據(jù)N-P引理，水平為的MPT為N-P準(zhǔn)則例如取，若給定則由Poisson分布表，有從而可取k=5，因此有N-P準(zhǔn)則故水平為的MPT