2022年北京市西城區(qū)高三數(shù)學(xué)一模考試逐題解析

2022年北京市西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)考試逐題解析

局二數(shù)學(xué)2022.4

本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分15。分，考試

時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將

本試卷和答題紙一并交回。

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合4={-2,0,2},3=5,20},則AC|8=

A.{0,2}B.{2}C.{-2,2}D.{-2,0,2}

【答案】A

【解析】vA={-2,0,2},B={x|x>0},

.?.An3={0,2},

故選A

2

2.復(fù)數(shù)z=——的共輾復(fù)數(shù)彳=

l+i

A.l-iB.l+iC.---iD.-+-i

2222

【答案】B

2x(l-i)2-212-21].

【解析】vz=—-2-

l+i(l+i)(l-i)1-i2f'

z=1+i,

故選B

3

3.=\og^A,h=log30.3,c=0.3,則

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cT).b<a<c

【答案】D

【解析】>=log3%在(0,+oo)上為增函數(shù)，

/.log30.3<log30.4<log31=0,:.h<a<0,

y=0.3v在R上為減函數(shù)，.?.0<0.33<0.3°=1,

.\0<c<l,則b<a<c,

故選D

4.在(L-2%T的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

1%)

A.-120B.120C.-160D.160

【答案】C

【解析】J=C；K(一2%)'=(_2)'%，=C：(—2)'%2-6,

令2廠一6=0,:.r=3,

則常數(shù)項(xiàng)為Cl(-2)3=20x(-8)=-160,

故選C

22

5.若雙曲線=1的焦點(diǎn)尸(3,0)到其漸近線的距離為石，則雙曲線的方程為

ab

22222222

AA.—尤—y=i1B.三-匕=1C.三-21=1D.￡-匕=1

45543663

【答案】A

h

【解析】設(shè)漸近線方程為_(kāi)y=2%,即云-oy=0,

a

設(shè)尸到漸近線的距離為d,且。2=/+從=9,

4b^3

/=C?-。2=4,

???雙曲線方程為￡-￡=1,

45

故選A

6.已知向量a,b滿足時(shí)=5,b-(3,4),ab=O.則—4=

A.5B.5>/2

c.ioD.10V2

【答案】B

［解析］|a-Z>|=Ja-bY=yla2-2ab+b2=荷一2而+時(shí)，將同=5,例=732+42=5,

a4=0代入，\a-b\=^52-0+52=5^.

故選B

7.已知點(diǎn)4為圓根y+(y-m一1y=2上一點(diǎn)，點(diǎn)8(3,0),當(dāng)機(jī)變化時(shí)，線段AB

長(zhǎng)度的最小值為

A.lB.2C.V2D.2V2

【答案】C

【解析】由題可知圓。是圓心為C(m,7"+1),半徑r=0的動(dòng)圓，欲求一定點(diǎn)到圓上一

點(diǎn)距離的最小值，需要先判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.因此將3(3,0)代入圓方程的左側(cè),

22

可得到忸C「=(3一根)2+jn-1)=2m-4m+10=2(m-+8>2=/，所以8(3,0)在圓

。外，貝！.=\BC\.-r,即當(dāng)加=1時(shí),\AB\.="-應(yīng)=0.

IIminIlininIlimn

故選c

8.將函數(shù)y=sin(2%+°)的圖象向右平移。個(gè)單位所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，向左平

移〃個(gè)單位所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其中()工/工5，。>°，則夕=

A.-B.-

63

C.-D.-

84

【答案】D

【解析】將函數(shù)y=sin(2x+⑼的圖象向右平移a個(gè)單位可得函數(shù)/(x)=sin[2(x-a)+勿,

將函數(shù)y=sin(2x+夕)的圖象向左平移a個(gè)單位可得函數(shù)g(x)=sin[2(x+1)+/].由題，

/(%)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(幻圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以/(%)應(yīng)為奇函數(shù)，g。)應(yīng)為偶

函數(shù),即存在K&wZ,使得/(%)=sin(2x+匕兀),g(%)=sin(2x+—+3)，所以

(P-2a=k\K,同時(shí)(p+2a=—+k,2n,將兩式相力口，2(p=3+kit,ZeZ,又因?yàn)?。?4萬(wàn)，

所以夕

4

故選D

9.在無(wú)窮等差數(shù)列｛““｝中，公差為d,則“存在"2cN”,使得q+g+%=。"是

“4=kd(左cN*)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

【答案】B

【解析】充分性：在等差數(shù)列｛%｝中，由％+4+/=冊(cè)可得，3q+3d=q+（6-1）1,

§PA]=md,當(dāng)機(jī)=1,2,3,4或大于4的所有奇數(shù)時(shí)，均無(wú)法推出G=以（AwN*）,充分

性不成立；

必要性：由①=依（左cN*）可得，3q+3d=q+（2左+3）d,令機(jī)—1=2左+3,貝lJm=2A+4,

因?yàn)殡秝N*,所以2%+4GN*,所以存在"ZGN”,使得4+%+/=%，必要性成立.

故選B

10.如圖，曲線C為函數(shù)y=sinx（0WxW學(xué)）的圖象，甲粒子沿曲線。從A點(diǎn)向目的地8

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿曲線。從3點(diǎn)向目的地4點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平

速率為甲的2倍，當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子隨之停止運(yùn)動(dòng)。在

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為（九〃），乙粒子的坐標(biāo)為（〃〃）,若記丫=/（加），

則下列說(shuō)法正確的是

A./（㈤在區(qū)間g,兀）上是增函數(shù)

BJ（附恰有2個(gè)零點(diǎn)

CJ（㈤的最小值為-2

D./（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)（二,0）中心對(duì)稱

6

【答案】B

【解析】

由題可得：u---2m,me[0,—J,

24

5兀o

f(m)=n-v=sinm-sin(--2m)=sinm-cos2m=sinm-(\-2sin2m)

=2sin2m+sinm-l,mGL0,—],

4

令f=sin/%,tG

對(duì)于A,當(dāng)me（四,兀）時(shí)，fe（0,l）,

2

r=sin/n單調(diào)遞減，y=2〃+—l單調(diào)遞增，y隨/的增大而增大,

所以/(㈤在區(qū)間4,兀)上為減函數(shù)，故A不正確；

對(duì)于B,令/(/n)=0,nJW(2sinm-l)(sinm+1)=0,所以sinm=；或sin/7i=-l(舍),

此時(shí)機(jī)=巴或2

66

所以恰有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

1Q

對(duì)于C,當(dāng)sinw=-］時(shí)，/O)取得最小值為-W，故C不正確；

對(duì)于D,因/(㈤的定義域［0,2］不關(guān)于m=2對(duì)稱，

46

所以/(⑷的圖象不關(guān)于點(diǎn)(3,0)中心對(duì)稱，故D不正確

第II卷(非選擇題共110分)

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。

11.若拋物線產(chǎn)=2〃%上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線％=-1的距離相等，則〃=

【答案】2

【解析】?.?拋物線定義可知"=1,.??〃=2.

2

12.已知數(shù)列也｝滿足2=九.2,〃GN*),S”為其前〃項(xiàng)和.若%=4,則豈=

an-\2

【答案】124

【解析】?.?等比數(shù)列定義可知公比

?*.=a、q'=4=4,

..q—64,

2

13.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)石為棱C。的中點(diǎn)，點(diǎn)F為底面

ABCD內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個(gè)論斷：

?A,F1BE；

②4/=3;

③S4ADF=2sAABF，

以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出

一個(gè)正確的命題：.

【答案】“若A/，8E,則S△包=2SAABF.”或“若S^ADF=2s△A.則4E_LBE.

【解析】連接。尸和B尸，連接Ab并延長(zhǎng)至，交于G點(diǎn).

由題可知建立以。為原點(diǎn)，。4,。。,。。為瑞y衣軸的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)尸A(2,0,2),E(O,1,O),3(2,2,0),

則平=。一2,--2),BE=(-2,-1,0),

:.A^Fl.BE^-2x(x-2)-y=0,即>=一2%+4,

由此可得G為3c中點(diǎn)，則“軌跡為線段AG.

又；S△皿=^\AD\-y=y,5△業(yè)=；網(wǎng).(2一%)=2-x，

-SXADF~2s4ABF

由此得證“若4/_LBE,則％的.=2s”

同法可證“若S&ADF=2s△w則A.FA.BE.

14.調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來(lái)約0.34元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵(lì)居民垃圾分

類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放1kg積分1分，若一個(gè)家庭一個(gè)

月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于100kg,則額外獎(jiǎng)勵(lì)％分(%為正整數(shù)).月底積分會(huì)按

照0.1元/分進(jìn)行自動(dòng)兌換.

①當(dāng)x=10時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換

元；

②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過(guò)當(dāng)月垃圾分類投放帶來(lái)的收益的

40%,則無(wú)的最大值為.

【答案】①13元；②36.

【解析】①120x1=120分，=分，.?.共計(jì)120分+10分=130分，

所以有130分x0.1=13元；

②設(shè)每個(gè)家庭每月投放mkg垃圾，且加2100kg,

則有(m+x)積分，兌換(m+x)x0.1元；

則有(根+%)x0.14x0.34x0.4

即A:<0.36m

又?.?〃22100,

15.已知函數(shù)/(%)=|2*-a|-辰-3,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若a=l,則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

②存在實(shí)數(shù)3使得函數(shù)"%)無(wú)零點(diǎn)；

③若”>0,則不存在實(shí)數(shù)左，使得函數(shù)/(%)有三個(gè)零點(diǎn)；

④對(duì)任意實(shí)數(shù)。，總存在實(shí)數(shù)攵使得函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

函數(shù)/(%)=|2'-4|-"-3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù))，=|21-4|與直線丁=丘+3的交

點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而作圖，結(jié)合圖像依次判斷即可。

①若”=1，y=|2*-1|與恒過(guò)(0,3)的直線丁=米+3至少有一個(gè)交點(diǎn)，故①正確；

②當(dāng)。=-3,%=0時(shí)，y=|2、+3|與直線)=3沒(méi)有交點(diǎn)，故②正確；

③若”>0，例。=3時(shí)，存在實(shí)數(shù)k<0且足夠大時(shí)，使得y=|2'-3|與>=依+3一定有

三個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；

④對(duì)任意實(shí)數(shù)a,由圖像可知，總存在實(shí)數(shù)上使得y=|2*-a|與丁=履+3有兩個(gè)交點(diǎn)，

故④正確.

三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題滿分13分)

在5c中，QCOSBH———b=c.

2

(□)求A的大小；

(□)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在

且唯一確定，求邊上高線的長(zhǎng).

條件①：cosB-史H,h=\；

14

條件②：a=2,c=2A/3；

條件③：h=3,c=百.

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

【解析】

G

(□)6/COSJBH-----b=c,

2

由正弦定理得sinAcosB+走sinB=sinC.

2

在△ABC中A+B+C=7r,A,B,CE(0,7r),

所以sinC=sin[不一(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

所以'^sinB=cosAsinB.

2

因?yàn)閟inBwO,

所以cosA=—.

2

所以A="

6

(□)

選條件①：

因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB=主包，

14

所以sin8=A/1-COS2B=?

14

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—x+x_2_=立

2142147

設(shè)3c邊上高線的長(zhǎng)為〃，

所以//=hsinC=lx?

77

選條件②：

由正弦定理一J=—J得sinC=且，

sinAsinC2

所以C=工或C=生.

33

所以△ABC不唯一.

所以條件②不能選

選條件③：

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA=9+3-2x3xVScos—=3,

6

所以a=

所以a=c=

所以△ABC為等腰三角形，C=A=工.

6

設(shè)3c邊上高線的長(zhǎng)為/?，

13

所以〃=bsinC=3x—=—.

22

17.(本小題滿分14分)

如圖，四邊形ABCQ是矩形，B4_L平面AfiCQ,O￡J_平面ABC。,

AB=DE=\,AD=PA=2,點(diǎn)尸在棱尸A上.

(I)求證：BF//平面CDE；

(II)求二面角。一夕￡一4的余弦值；

(III)若點(diǎn)尸到平面PCE的距離為L(zhǎng)求線段人廠

3

的長(zhǎng).

【解析】(I)方法一：在矩形ABCD中，AB//CD,

?.?。。＜=平面。。JA3。平面CDE,

，AB〃平面COE,

；PA_L平面ABC。，。石_L平面ABC。，

二.PA//DE,

,：DEu平面CDE,PAcz平面CDE,

：.PA〃平面COE,

VPAp\AB=A,PA,ABu平面R4B,

二.平面尸AB〃平面COE,

,?Bbu平面

BF〃平面CDE.

方法二：在矩形ABC。中，ABIICD,

24_L平面ABC。，。石，平面ABC。,

二.PAIIDE,

又?.?CDu平面COE,￡>￡u平面CD石，CD^DE=D,

B4u平面B43,ABu平面PAB,尸AP|AB=A,

二.平面PAB〃平面COE,

Bbu平面PAB,

〃平面COE.

(H)在矩形ABC。中，ABA.AD,

'：Q4_L平面ABC。，

.二PA±AB,PALAD,

/.AB,AD,PA兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-町z.

則40,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),尸(0,0,2),￡(0,2,1).

APC=(1,2,-2),EC=(l,0,-l).

設(shè)平面尸CE的一個(gè)法向量為〃=(%,y,z),

則R竺=%+2y-2z=o,

n-EC=x-z=0

令尤=2,得y=l,z=2,y

/?n=(2,1,2).

易知，血=(1,0,0)是平面PAE的一個(gè)法向量,

ABn2

cos<AB,n>=

\AB\-\n\3

由圖可知，二面角C-P￡-A為銳角,

7

???二面角c-PE-A的余弦值為4.

3

(III)設(shè)4尸的長(zhǎng)度為a(0WaW2),

則方(0,0M),而=(0,0,2-4),

二點(diǎn)F到平面尸C石的距離為d=絲?

\n\

畛『

解得”5或,W(舍),

3

???”的長(zhǎng)度%.

18.(本小題滿分13分)

2021年是北京城市軌道交通新線開(kāi)通的“大年”，開(kāi)通線路的條、段數(shù)為歷年最

多.12月31日首班車起，地鐵19號(hào)線一期開(kāi)通試運(yùn)營(yíng).地鐵19號(hào)線一期全長(zhǎng)約22

公里，共設(shè)10座車站，此次開(kāi)通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發(fā)地、新宮共6

座車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐19號(hào)線一期的200名乘客，記錄

了他們的乘車情況，得到下表(單位：人)：

上車市\(zhòng)牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)

牡丹園III5642724

積水潭12III20137860

牛街57III38124

草橋1399III1638

新發(fā)地410162III335

新宮25543III19

合計(jì)363656262125200

(I)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下

車的概率；

(II)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街

站下車的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(III)為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用。表示所有在積水潭站上下車的乘客的

上、下車情況，“4=1”表示上車，“。=0”表示下車.相應(yīng)地，用&2，芻分別

表示在牛街，草橋站上、下車情況，直接寫(xiě)出方差?！?,大小關(guān)系.

【解析】

(I)設(shè)“從在積水潭站上車的乘客中任選一人，該乘客在牛街站下車”為事件A,

則Y；

(II)由題意得X的取值范圍是{0,1,2,3}

4

尸(X=0)=嗎。(1)3哈尸(X=l)=

9

171

P(X=3)=^(-)3(-)°=—

分布列為:

X0123

8421

P

279927

vX~B(3,-),E(X)=3x1=l.

(III)>DJi>D或.

19.（本小題滿分15分）

22八

已知橢圓C：?+斗=1（。>〃>0）的離心率為火，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊

crb-2

形周長(zhǎng)為4石.

（I）求橢圓C的方程；

（H）直線y=區(qū)+皿物?。0）與橢圓C交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)尸，線段A3的垂直

平分線與A3交于點(diǎn)“，與y軸交于點(diǎn)N,。為坐標(biāo)原點(diǎn).如果NMOP=2NMN尸成立,

求上的值.

【解析】

(I)由題意可知：

[c73

e—_—___

a2a2=4

<4，a2+/??=4亞,解得，,。2=1,

a2=b2+c2c2=3

r2

所以橢圓C的方程為匕+y2=i.

4-

方法1：(II)設(shè)點(diǎn)A(X1,y),B(x2,y2),M(x0,y0)

，2?,

聯(lián)立了+y=i

y=kx+m

整理得：(1+4K)X2+8A7WC+4//—4=0

由△=(8km)2-4(1+4公)(4m2-4)>0,得4公+1>m2

2

—8km4m-4x,+x9-4bn

%+"2=

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)M

所以直線MN的斜率為kMN=,方程為y-%=-/)

令x=0,解得丁=4+%

k

因此點(diǎn)N坐標(biāo)為N(0,&+%)

k

國(guó)為/MOP=2/MNP,且ZMOP=/MNP+/OMN

所以/MNP=NOMN,即|OM|=|QV|

因?yàn)閨0M|=1%°2+%2，|ON|=2+%

K

即：化+升=2+%

K

代入％=kxQ+m

彳導(dǎo)：小+(kx。+——-+kx°+tn

k

平方整理得：％0=李^

公+1

又因?yàn)殁F點(diǎn)

-2km-4km

即nn：F一=----T

k2+l1+4%2

解得：/6

所以的值為好

方法2：(II)設(shè)點(diǎn)A(』，x),B(x2,y2),

聯(lián)立1y=1

y=kx+m

整理得：(1+422)X2+8^^+4〃—4=。

由△=(8M2-4(1+422)(4M2—4)>0,得4/+1>帆2

-8km4m2-4

-4km,.-4kmm

所以升=與生--------,y=kx+m=k--------+m=--------

1+4攵2為°nn1+4攵21+4左2

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)M

所以直線MN的斜率為%,=」

直線MN的方程為y=-9（x-表）+「黑

K1?^r/v1十^vK

令x=0,解得y=----

-1+48

因此點(diǎn)N坐標(biāo)為姑叫一駕）

設(shè)MN中點(diǎn)為。，則。點(diǎn)坐標(biāo)為。（奇葭匕源）

因?yàn)?MOP=2/MNP,且/MOP=/MNP+ZOMN

所以NMNP=NOMN,^\i\OM\=\ON\,則00，MN

-m

所以KM=K00,即（0=耳忍=」-=2

ABOQ0Q2km2k

1+4公

解得」=±今6所以的值為士?B

20.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=—竺一―1,QW0.

靖+Q

(□)當(dāng)0=1時(shí)，

①求曲線)=/(%)在％=0處的切線方程；

②求證：/(%)在(0,+oo)上有唯一極大值點(diǎn)；

(□)若/(%)沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】

(□)vyu)=-^-i

e+ci

.?.當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=---1,f(x)=---1,xeR

ex+aex+\

①r(o)=1,/(o)=-i

，曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線的方程為y=

②令g(x)=e*+l-xw(O,+oo)

g'(%)=一x"<0恒成立

g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減

???g⑴=l>0,g(2)=-/+1<0

，g(%)一定存在x0e(1,2)使得g(x0)=0

即/”(x)在(1,2)上有唯一零點(diǎn)小,且f'(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減

/./'(%),/(%)隨％變化的情況如下：

X(O,xo)九0(如+oo)

廣⑴+0—

于(X)/極大值

.?./(%)在(0,+00)上有唯一極大值點(diǎn)

ax-e'-a

(口)/(%)

ev+a

7z(x)=ex+a-ax,則〃'(%)="-a

①若a<0,則“(%)〉。，〃(%)在R上是增函數(shù)

11

因?yàn)橐渊D)=e”-l+a<0,/z(l)=e>0

a

所以〃(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)工。

令*+a=0,得/=ln(-a)

代入〃(*0)=0,^-a+a-In(-tz)-0

解得a=—l.

所以當(dāng)a=-1時(shí)，〃(x)的唯一零點(diǎn)為0

此時(shí)/(%)無(wú)零點(diǎn)，符合題意

②若。>0,此時(shí)/(%)的定義域?yàn)镽

當(dāng)x<lna時(shí)，h\x)<0,〃