第09講 分?jǐn)?shù)的大小比較（解析版）

第09講分?jǐn)?shù)的大小比較【知識梳理】分?jǐn)?shù)的大小比較1.分母相同而分子不同的分?jǐn)?shù)分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大．2.分子相同而分母不同的分?jǐn)?shù)分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)較大．3.分母不同且分子也不同的分?jǐn)?shù)（1）利用通分的方法，將異分母的分?jǐn)?shù)化為同分母的分?jǐn)?shù)，再比較大?。唬?）應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子化為相同的，再比較大?。究键c(diǎn)剖析】一、同分母與同分子分?jǐn)?shù)的大小比較例1．比較下列分?jǐn)?shù)的大?。篲___； ____； ____； ____．【難度】★【答案】<，>，>，>．【解析】分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大；分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)較大．故答案是：__<__； __>__； __>__； __>__．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)比較大?。?．已知，試寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)m，則m可以是______；已知，試寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)n，則n可以是______．【難度】★【答案】8（比7大即可，不唯一）；18（比17大即可，不唯一）．【解析】分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大；分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)較大．故答案是：8（比7大即可，不唯一）；18（比17大即可，不唯一）．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)比較大?。惙帜阜?jǐn)?shù)的大小比較例3．把下列每組中的分?jǐn)?shù)通分，并比較大小：（1），； （2），；（3），，； （4），，．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【總結(jié)】本題考查了異分母分?jǐn)?shù)比較大小．例4．?dāng)?shù)軸上表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的______邊（選填“左”或“右”）．【難度】★【答案】左．【解析】方法一：從分?jǐn)?shù)定義看，是分成七份，取六份，是分成八份，取七份，所以，故數(shù)軸上表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊；方法二：通分，所以，故數(shù)軸上表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)比較大小，其中定義法可以簡化運(yùn)算．例5．寫出所有分母為16且比小的最簡分?jǐn)?shù)．【難度】★★【答案】．【解析】通分，，所以符合提議的分?jǐn)?shù)分子<12，且為最簡分?jǐn)?shù)，分子與16互素，不能是偶數(shù)，所以答案是：．【總結(jié)】本題考查了通分、分?jǐn)?shù)比較大小及最簡分?jǐn)?shù)的概念．例6．比較分?jǐn)?shù)和的大?。倦y度】★★【答案】．【解析】方法一：通分，和的最小公分母是，得：，故：；方法二：把和轉(zhuǎn)化為同分子的分?jǐn)?shù)，得：．故：．【總結(jié)】本題兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母較大，分子較小，利用通分比較大小數(shù)值過大，可以直接把它們轉(zhuǎn)化為同分子的分?jǐn)?shù)比較比較簡便；或者通分時(shí)不用計(jì)算出通分后的分母，直接比較分子比較簡便．例7．（1）寫出一個(gè)大于且小于的分?jǐn)?shù)；（2）滿足上述條件的分?jǐn)?shù)只有一個(gè)嗎？如果不止一個(gè)，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)滿足條件的分?jǐn)?shù)．【難度】★★【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】3和5的公倍數(shù)有：15，30，45，60……，大于且小于的分?jǐn)?shù)有同樣的，分母是15，30，60且滿足條件的數(shù)也有很多，故這樣的分?jǐn)?shù)不止一個(gè)．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)比較大小．例8．填空：．【難度】★★【答案】3．【解析】方法一：通分得：，故在之間的分?jǐn)?shù)有：化簡得：故答案是3；方法二：由觀察可得，分子都是7，故在之間的分?jǐn)?shù)有化簡得：且，故答案是3．【總結(jié)】本題考查了通分和分?jǐn)?shù)的比較大?。?．在分?jǐn)?shù)、、、、中，最大的分?jǐn)?shù)是______．【難度】★★【答案】．【解析】比較一下，分子更容易轉(zhuǎn)化，故轉(zhuǎn)化分子后可得：；故最大的分?jǐn)?shù)是．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較．例10．甲、乙兩人加工同一批零件，甲9小時(shí)加工15個(gè)零件，乙12小時(shí)加工20個(gè)零件，甲、乙兩人誰的工作效率高？為什么？【難度】★★【答案】一樣高．【解析】甲的工作效率是：乙的工作效率是：所以：，兩人的工作效率一樣高．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)大小比較的應(yīng)用．例11.圖書館的存書情況如下：社會科學(xué)類占，自然科學(xué)類占，文學(xué)藝術(shù)類占，其他占．（1）把這些分?jǐn)?shù)按從小到大排列；（2）哪一類書最少？【難度】★★【答案】（1）；（2）社會科學(xué)類最少．【解析】通分得：故；社會科學(xué)類最少．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較．例12.已知，則x可以是______，x的取值可以有______個(gè)．【難度】★★【答案】（1）等（答案不唯一）；（2）無數(shù)個(gè)．【解析】通分成分母是10的分?jǐn)?shù)為則x可以是；還可以通分成分母是15，20，25……的分?jǐn)?shù)，故答案有無數(shù)個(gè)，不唯一．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的通分和比較大?。?3.寫出所有介于和之間的分母為44的最簡分?jǐn)?shù)．【難度】★★【答案】．【解析】通分得：故滿足條件的最簡分?jǐn)?shù)有：．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化和最簡分?jǐn)?shù)的概念．例14.在、、、中，最小的一個(gè)分?jǐn)?shù)是______．【難度】★★【答案】．【解析】通過觀察：分子都是9的倍數(shù)，且能約分，故化簡的：故最小的分?jǐn)?shù)是：．【總結(jié)】本題考查了分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化和分?jǐn)?shù)大小的比較【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2020秋?普陀區(qū)期末）分?jǐn)?shù)介于哪兩個(gè)正整數(shù)之間（）A．8和9 B．9和10 C．7和8 D．6和7【分析】把分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)即可求解．【解答】解：＝8，∵8＜8＜9，∴介于8和9兩個(gè)正整數(shù)之間，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)大小比較，關(guān)鍵是熟練掌握假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的互化．2．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）大于而小于的最簡分?jǐn)?shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【分析】先通分，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的大小比較法則和最簡分?jǐn)?shù)的定義得出答案即可．【解答】解：∵＝，＝，∴大于而小于的最簡分?jǐn)?shù)沒有，即0個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較和最簡分?jǐn)?shù)，掌握有理數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵，理數(shù)的大小比較法則是負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)都大于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。?．（2022秋?普陀區(qū)期中）下列分?jǐn)?shù)中，大于但比小的分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)有理數(shù)大小的判斷方法進(jìn)行比較．【解答】解：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可得＝，＝，根據(jù)同分母的分?jǐn)?shù)的大小比較法則，可得＜＜，所以＜＜，故A符合題意；因?yàn)椋?，所以＜，故B不符合題意；因?yàn)椋?，所以＞，故C不符合題意；因?yàn)椋?，所以＞，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是分?jǐn)?shù)大小的比較，熟知正數(shù)比較大小的法則是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）大于且小于且分母為24的最簡分?jǐn)?shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先對兩分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，化為分母為24的分?jǐn)?shù)，由此可得答案．【解答】解：∵＝，＝，∴大于且小于且分母為24的分?jǐn)?shù)有，，，∵＝，＝，∴大于且小于且分母為24的最簡分?jǐn)?shù)有一個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了分?jǐn)?shù)大小的比較以及最簡分?jǐn)?shù)，找出大于且小于且分母為24的分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?楊浦區(qū)校級期中）下面說法中正確的有（）A．兩個(gè)相鄰的偶數(shù)一定互素 B．分子與分母都沒有公因數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù) C．分母是3的最簡分?jǐn)?shù)只有2個(gè) D．大于小于的最簡真分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)【分析】分別根據(jù)偶數(shù)、互素、最簡分?jǐn)?shù)、真分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)的大小比較方法逐一判斷即可．【解答】解：∵兩個(gè)相鄰的偶數(shù)有公因數(shù)2，∴兩個(gè)相鄰的偶數(shù)一定互素的說法錯(cuò)誤，∴A選項(xiàng)不合題意；∵分子與分母都只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)，∴分子與分母都沒有公因數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)的說法錯(cuò)誤，∴B選項(xiàng)不合題意；∵分母是3的最簡分?jǐn)?shù)有，，等無數(shù)個(gè)，∴分母是3的最簡分?jǐn)?shù)只有2個(gè)的說法錯(cuò)誤，∴C選項(xiàng)不合題意；∵大于小于的最簡真分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)，∴大于小于的最簡真分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)的說法正確，∴D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了最簡分?jǐn)?shù)，熟記偶數(shù)、互素、最簡分?jǐn)?shù)、真分?jǐn)?shù)等定義是解答本題的關(guān)鍵．6．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）小明跑50米用了8秒，小杰跑100米用了14秒，下列說法正確的是（）A．小明跑的速度快 B．小杰跑的速度快 C．他們速度一樣快 D．快慢無法確定【分析】先分別求出兩人各自的速度，即可解答．【解答】解：由題意得：小明跑的速度為：50÷8＝（米/秒），小杰跑的速度為：100÷14＝（米/砂），∵＝，∴＜，∴＜，∴小杰跑的速度快，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查分?jǐn)?shù)大小的比較，熟練掌握速度的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共23小題）7．（2022秋?松江區(qū)期中）比較大小：＞．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則判斷即可．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＞0，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙忸}的關(guān)鍵．8．（2022秋?楊浦區(qū)期中）比較大?。海迹ㄌ睢埃尽?、“＜”或“＝”）【分析】先通分，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較大小即可．【解答】解：＝，＝，∵＜，∴＜，故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較，掌握有理數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵，理數(shù)的大小比較法則是負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)都大于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小．9．（2019秋?黃浦區(qū)校級期中）寫出一個(gè)大于且小于1的分?jǐn)?shù)．（只需填寫一個(gè)）【分析】找出大于而小于1的分?jǐn)?shù)即可．【解答】解：或（答案不唯一）．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，熟練掌握分?jǐn)?shù)大小的比較方法是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?青浦區(qū)期中）在＜＜里，括號里應(yīng)填上自然數(shù)是2．【分析】先通分，得出21和28之間的數(shù)有22，23，24，25，26，27，求出84÷7＝12，再得出答案即可．【解答】解：∵＝，＝，∴21和28之間的數(shù)有22，23，24，25，26，27，∵84÷7＝12，∴12的倍數(shù)只有24，即分?jǐn)?shù)為＝，所以在＜＜里，括號里應(yīng)填上自然數(shù)是是2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙忸}的關(guān)鍵．11．（2021秋?嘉定區(qū)期中）把，，從小到大排列：＜＜．【分析】直接利用將已知數(shù)通分運(yùn)算，進(jìn)而比較大小得出答案．【解答】解：∵＝，＝，＝，∴＜＜．故答案為：＜＜．【點(diǎn)評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，正確進(jìn)行通分運(yùn)算是解題關(guān)鍵．12．（2021秋?靜安區(qū)校級期中）分?jǐn)?shù)介于整數(shù)3和4之間．【分析】把化成帶分?jǐn)?shù)后，看其整數(shù)部分找相鄰的兩整數(shù)．【解答】解：把化成帶分?jǐn)?shù)，得＝3，故分?jǐn)?shù)介于整數(shù)3和4之間；故答案為：3、4．【點(diǎn)評】本題主要考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，解答本題的關(guān)鍵是明確問題中的“兩個(gè)相鄰整數(shù)”的含義．13．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）用“＜”號將，，，從小到大排列為．【分析】將給定分?jǐn)?shù)通分，再比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵7，6，5的最小公倍數(shù)為210，∴，，，∵＜＜，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，掌握分?jǐn)?shù)的大小比較方法是解答本題的關(guān)鍵．14．（2020秋?松江區(qū)期中）比分?jǐn)?shù)大的最小整數(shù)是5．【分析】將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)即可求解．【解答】解：＝4，∵4＜45，∴比分?jǐn)?shù)大的最小整數(shù)是5．故答案為：5．【點(diǎn)評】考查了假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是熟練掌握假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)的方法．15．（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）比較大?。海迹痉治觥肯韧ǚ只赏帜阜?jǐn)?shù)，利用同分母分?jǐn)?shù)中分子大的較大即可得出結(jié)論．【解答】解：∵＝，，而1419＜1443，∴＜．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查分?jǐn)?shù)大小比較，能通過觀察找到數(shù)字之間相似的地方是解答本題的關(guān)鍵．16．（2020秋?楊浦區(qū)校級期中）比較大?。海?．【分析】把化為帶分?jǐn)?shù)，通分后比較分子的大小即可得出結(jié)論．【解答】解：∵，3＝＝，又65＞57，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題主要考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，先通分是解題的關(guān)鍵．17．（2020秋?松江區(qū)期中）寫出一個(gè)比小，比大的最簡分?jǐn)?shù)（答案不唯一）．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可得，，再根據(jù)分?jǐn)?shù)大小比較方法解答即可．【解答】解：∵，，又∵16，17，18，19均在15和20之間，∴，，，均符合題意，∴比小，比大的最簡分?jǐn)?shù)可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握分?jǐn)?shù)法基本性質(zhì)．18．（2019秋?浦東新區(qū)期末）請你寫出一個(gè)大于，小于的最簡分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（答案不唯一）．【分析】首先把，通分，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)大小比較的方法，寫出一個(gè)大于，小于的最簡分?jǐn)?shù)即可．【解答】解：把，通分得：＝，＝，∴所求的分?jǐn)?shù)大于，小于，∴寫出一個(gè)大于，小于的最簡分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是．故答案為：．（答案不唯一）【點(diǎn)評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)大小比較的方法，以及最簡分?jǐn)?shù)的含義和判斷，要熟練掌握．19．（2020秋?浦東新區(qū)校級期中）比較大小：＜（填“＞，＜或＝”）．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)通分后，再比較大小即可．【解答】解：∵13，15的最小公倍數(shù)為195，∴，，∵＜，∴＜．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，掌握分?jǐn)?shù)的通分方法是解答本題的關(guān)鍵．20．（2019秋?青浦區(qū)校級期中）寫出一個(gè)比大，但比小的最簡分?jǐn)?shù)：＜（答案不唯一）＜．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，根據(jù)分?jǐn)?shù)的大小比較法則和已知得出即可．【解答】解：＝，＝，＝，∵＜＜，∴＜，∴比大，但比小的最簡分?jǐn)?shù)是．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的大小比較和有理數(shù)的除法，能熟記分?jǐn)?shù)的大小比較法則的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．21．（2020秋?長寧區(qū)期末）寫出一個(gè)分母為8，且比大、比小的最簡分?jǐn)?shù)，這個(gè)最簡分?jǐn)?shù)可以是或．【分析】8、4和6的最小公倍數(shù)是24，都化為分母為24的分?jǐn)?shù)，然后把它們之間的分母是24的所有分?jǐn)?shù)寫出，再約分化成分母是8的最簡分?jǐn)?shù)，即可得解．【解答】解：，，∵24÷8＝3，∴在和之間，是分子3的倍數(shù)的有、，∵＝，＝，＝，＝，∴分母為8，且比大、比小的最簡分?jǐn)?shù)，這個(gè)最簡分?jǐn)?shù)可以是，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查了最簡分?jǐn)?shù)，靈活應(yīng)用約分和通分的知識來求解最簡分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．22．（2019秋?普陀區(qū)期中）比較、、的大?。迹迹ㄓ谩埃肌边B接）．【分析】先利用通分，把它們變成同分母的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行比較即可解答．【解答】解：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＜＜，∴＜＜，故答案為：＜＜．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)大小的比較，熟練掌握分?jǐn)?shù)的通分是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋?嘉定區(qū)期末）寫出一個(gè)比大，但是又比小的最簡分?jǐn)?shù)：（答案不唯一）（寫出符合題意的一個(gè)答案即可）．【分析】因?yàn)椋?，＝，可知＜＜，化簡＝＝即可得出答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＜＜，∴＝＝．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了最簡分?jǐn)?shù)，靈活運(yùn)用通分和約分是關(guān)鍵．24．（2019秋?長寧區(qū)期末）大于且小于的分?jǐn)?shù)中，分子為36的分?jǐn)?shù)有5個(gè)．【分析】把和都化為分子為36的分?jǐn)?shù)即可解答．【解答】解：，∴大于且小于的分?jǐn)?shù)，即大于且小于的分?jǐn)?shù)中，分子為36的分?jǐn)?shù)有、、、、，共5個(gè)．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，掌握分?jǐn)?shù)的通分和大小比較方法是解答本題的關(guān)鍵．25．（2022秋?寶山區(qū)期中）分母為12分?jǐn)?shù)值小于且大