第2章第07講 解題技巧專題：二次根式中的化簡求值(6類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第2章第07講解題技巧專題：二次根式中的化簡求值(6類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一利用二次根式的非負(fù)性求值】 1【類型二利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算】 4【類型三整體代入求值】 6【類型四新定義型運(yùn)算】 9【類型五二次根式的分母有理化】 12【類型六復(fù)合二次根式的化簡】 18【類型一利用二次根式的非負(fù)性求值】例題：（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）若直角三角形兩直角邊長分別為a，b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）已知?jiǎng)t的值是．2．（2023春·廣東肇慶·七年級?？计谥校┮阎?，則的算術(shù)平方根是．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如果實(shí)數(shù)、滿足，則的平方根為．4．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．5．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式．(1)求a，b的值；(2)求的算術(shù)平方根．6．（2023春·江西南昌·七年級?？计谀┮阎猘、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【類型二利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算】例題：（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．2．（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┯?jì)算：．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：4．（2023春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【類型三整體代入求值】例題：（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．3．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┮阎?，求代數(shù)式的值．4．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求的值．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，求下列式子的值：(1)；(2)【類型四新定義型運(yùn)算】例題：（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運(yùn)算“*”：，則計(jì)算的結(jié)果為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么．2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取，第三次“F運(yùn)算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；（2）照這樣運(yùn)算下去，第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為．3．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實(shí)數(shù)和，我們定義新運(yùn)算：，如：，求：的值．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學(xué)校考期中）定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因?yàn)?，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因?yàn)椋裕?1)已知：，求：①________；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計(jì)算：．【類型五二次根式的分母有理化】例題：（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？计谥校╅喿x材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運(yùn)用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計(jì)算的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計(jì)算：；(3)比較與的大小，并說明理由．2．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）3．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小誠和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值他是這樣解答的：，．，．．．請你根據(jù)小誠的解題過程，解決如下問題：(1)______；(2)化簡；(3)若，求的值．4．（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）【閱讀材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個(gè)二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個(gè)二次根式，進(jìn)行分母有理化（通過分子、分母同乘一個(gè)式子，把分母中的根號轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結(jié)果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計(jì)算：．【類型六復(fù)合二次根式的化簡】例題：（2023春·湖南郴州·八年級?？奸_學(xué)考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個(gè)數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)2．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①___