獨立增量過程

獨立增量過程

引言

一、獨立增量過程1．定義

設{X(t),t

0}為一隨機過程,對于0

s<t,稱隨機變量X(t)-X(s)為隨機過程在區(qū)間[s,t]上的增量.

若對于任意的正整數(shù)n及任意的0

t0<t1<t2<…<tn,n個增量

X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互獨立，稱{X(t),t

0}為獨立增量過程。

若對于任意的實數(shù)s,t和0

s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)與X(t)－X(s)具有相同的分布,則稱增量具有平穩(wěn)性,并稱相應的獨立增量過程為齊次的或時齊的。

2．獨立增量過程的性質(zhì)

(1)獨立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的有限維分布函數(shù)可以由增量X(t)－X(s)，0

s＜t的分布確定.證：令Yk=

X(tk

)-X(tk-1),k=1,2,…,n.t0=0.

由條件，增量的分布已知，且具有獨立增量，則(2)獨立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的協(xié)

方差函數(shù)為

Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布即可確定，而X(t1)=Y1，

X(t2)=Y1+Y2，

……

X(tn)=Y1+Y2+…+

Yn，即X(tk)是Y1，…Yn的線性函數(shù)，推廣第二章的結果：Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布確定了{X(t)}的有限維分布函數(shù)。證明:記Y(t)=X(t)-

X(t),當X(t)具有獨立增量時，Y(t)也具有獨立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)].所以，當0

s＜t時，有

于是可知對于任意的s,t≧0,協(xié)方差函數(shù)可表示為：

同理，當0

t＜s時，有二、泊松過程1.定義定義1.

稱隨機過程{N(t),t≧0}為計數(shù)過程,若N(t)表示[0,t]時段內(nèi)“事件A”發(fā)生的次數(shù),且N(t)滿足下列條件(1)N(t)≧0；(2)N(t)取整數(shù)；(3)若0≤s＜t,則N(s)≤N(t)；(4)當s＜t時,N(t)-N(s)等于在間隔(s,t)上“事件A”發(fā)生的次數(shù)。例如：若用N1(t)表某電話交換臺在[0,t]內(nèi)接到的電話呼喚次數(shù)；

若用N2(t)表示[0,t]這段時間內(nèi)到達某商場的顧客數(shù)；若用N3(t)表示時間[0,t]內(nèi)某放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；若用N4(t)表示在時間[0,t]內(nèi)某地段出現(xiàn)的交通事故次數(shù)等,這些Ni(t)均為計數(shù)過程。

為了建模方便，我們把“事件A”發(fā)生一次說成質(zhì)點出現(xiàn)一個，于是計數(shù)過程N(t)看作在時間軸上區(qū)間[0,t]內(nèi)質(zhì)點出現(xiàn)的個數(shù)。定義2:稱計數(shù)過程{N(t),t≧0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程，若它滿足下列條件(1)N(0)=0；(2)N(t)是獨立增量過程；(3)對于任意的s,t≥0,N(t+s)-N(s)服從參數(shù)為

t的泊松分布從條件(3)：泊松過程的均值函數(shù)為

,表示單位時間內(nèi)質(zhì)點出現(xiàn)的平均個數(shù),故稱

為此過程的強度。

令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,給出泊松過程的另一定義:定義3.稱計數(shù)過程{N(t),t≥0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程,若它滿足下列條件(1)N(0)=0；(2)N(t)是獨立增量過程；(3)N(t)滿足:

定理:定義2與定義3是等價的。

2．泊松過程的數(shù)字特征設{N(t),t≥0}是泊松過程,則

E[N(t)]=

t；DN(t)=

t；

3．泊松過程的定理

設{N(t),t≥0}為泊松過程，N(t)表示到t時刻時質(zhì)點出現(xiàn)的個數(shù),W1，W2，...分別表示第一個，第二個，…質(zhì)點出現(xiàn)的時間,Tn(n≥1)表示從第n－1個質(zhì)點出現(xiàn)到第n個質(zhì)點出現(xiàn)的時間間隔.

T1T2Tk0W1

W2Wk-1Wkt

通常稱Wn為第n個質(zhì)點出現(xiàn)的等待時間,Tn為第n個時間間隔,它們都是隨機變量。

定理1.

設{N(t)，t≥0}是具有參數(shù)

的泊松過程,

{Tn,n≥1,2,...}是對應的時間間隔序列,則隨機變量序列Tn,n=1,2,...為獨立的且均服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。證明：(1)先確定T1的分布.

為此首先注意到事件{T1>t}發(fā)生當且僅當在時間間隔[0,t]內(nèi)沒有質(zhì)點出現(xiàn),因而

所以,T1具有參數(shù)為

的指數(shù)分布。

(2)為求T2的分布,先求T1的條件下T2的條件分布,由獨立增量性有

所以,可得T2也是一個具有參數(shù)為

的指數(shù)分布的隨機變

量且T2獨立于T1,重復同樣的推導可得定理。

下面求等待時間Wn分布，注意到第n個質(zhì)點出現(xiàn)在時

間t或之前當且僅當?shù)綍r間t已出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)至少是n，

即

上式對t求得，得Wn的概率密度是定理2.設{Wn,n=1,2,…}是與泊松過程{N(t),t≥0}

對應的一等待時間序列，則Wn服從參數(shù)為n與

的

分布，其概率密度為注意，定理1的逆命題也成立

定理3.

如果相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點的時間間隔是相互獨立，且服從同一指數(shù)分布，則質(zhì)點流構成了強度為

的泊松過程。例.設{X(t)}是強度為

的泊松過程，定義Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L>0為常數(shù)，求

Y(t),RY(s,t).

解：

Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=

(t+L)-

t=

L；

RY(s,t)=CY(s,t)+

Y(s)

Y(t),對任意0≤s<t，有高斯過程（正態(tài)過程）

一、定義：

設{X(t)}為隨機過程，如果對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tn

T，n維隨機變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布，則稱{X(t)}為正態(tài)過程。正態(tài)過程是二階矩過程。記其均值函數(shù)為μX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t)。

二、正態(tài)過程的性質(zhì)：

對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tn

T，n維隨機變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的分布由其相應的均值及協(xié)方差矩陣完全確定，所以μX(t)和CX(s,t)完全確定了{X(t)}的有限維分布，也就確定了它的全部統(tǒng)計特性。因而有：1．{X(t),t

T}為正態(tài)過程，其統(tǒng)計特性由μX(t)和CX(s,t)確定。反之，可以證明，T=[0,+∞],給定μ(t)和非負二元函數(shù)C(s,t)，則存在正態(tài)過程{X(t)}，使μX(t)=μ(t)，CX(s,t)=C(s,t)。

定義：設隨機過程{X(t),t

T}，且對任意正整數(shù)n

2，任意n個不同的t1,t2,…,tn

T，隨機變量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨立，則稱此過程為獨立隨機過程。2．正態(tài)過程{X(t),t

T}為獨立隨機過程

對任意的s,t,s≠t時，協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)=0.證明：“

”

n

2,因為X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨立的正態(tài)隨機變量，而正態(tài)隨機變量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨立

其兩兩互不相關，即：CX(s,t)=0,s≠t.

“

”因(X(t1),X(t2),…,X(tn))為n維正態(tài)隨機變量，于是X(t1),X(t2),…,X(tn)為正態(tài)隨機變量，又CX(s,t)=0,s≠t，所以X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨立。3．

{X(t)}為正態(tài)過程

它的任意有限多個隨機變量的任意線性組合是正態(tài)隨機變量。事實上，由正態(tài)的性質(zhì)，n維正態(tài)隨機變量的充要條件是其任意一維線性組合為一維正態(tài)隨機變量，顯然成立。

4．{X(t)}為正態(tài)過程，則{X(t)}是嚴平穩(wěn)過程

{X(t)}是寬平穩(wěn)過程。證明：“

”因高斯過程是二階矩過程，由嚴平穩(wěn)過程性質(zhì)，顯然成立?！?/p>

”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+

)只與

有關。由嚴平穩(wěn)過程定義，對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tn

T,t1+h,t2+h,…,tn+h

T,要證：（X(t1),X(t2),…,X(tn)）與（X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h)）同分布（*）。而正態(tài)過程的分布由μX及Rx(s,t)決定，μX為常數(shù)。即(*)式成立。

例：設隨機過程X(t)=Ucos

0t+Vsin

0t,t

0.

0為常數(shù)，U,V是兩個相互獨立的正態(tài)隨機變量，且E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=

2.試證：{X(t)}為正態(tài)過程，并求其一、二維概率密度.解：（1）證{X(t)}為正態(tài)過程：只須證{X(t)}的任意有限多個隨機變量的任意線性組合是一維正態(tài)隨機變量。對任意正整數(shù)n，0≤t1<t2<…<tn,及任意a1,a2,…,an

R,

即：W是兩相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合，所

以W是一維正態(tài)隨機變量，于是{X(t)}為正態(tài)過程。

（2）求一維概率密度.

對確定的t

0,X(t)為正態(tài)隨機變量且

E[X(t)]=E(V)cos

0t+E(V)sin

0t=0，

D[X(t)]=D(V)cos

0t+D(V)sin

0t=

2，于是{X(t)}的一維概率密度為：

（3）求二維概率密度.

t1,t2

0,E[X(t1)]=E[X(t2)]=0，

cov(X(t1),X(t2))=E[X(t1),X(t2)]=E[(Ucos

0t1+Vsin

0t2)(Ucos

0t1+Vsin

0t2)]=E(U2cos

0t1cos

0t2)+E(V2sin

0t1sin

0t2)+0=

2cos

0(t1-t2)，

于是,二維正態(tài)隨機變量(X(t1),X(t2))的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

μ=(0,0)

為了以后的需要推廣到：(1)f(t)為[a,b]上的復值函數(shù)，相應極限為

其中Y一般為復值的隨機變量.

(2)兩元普通函數(shù)f(s,t)（亦可為復值）

(3)若為無限區(qū)間：