理想中心勢(shì)場(chǎng)一般態(tài)演化的近似研究 讀書(shū)筆記

《理想中心勢(shì)場(chǎng)一般態(tài)演化的近似研究》讀書(shū)筆記一維諧振子的本征值問(wèn)題屬于定態(tài)問(wèn)題。本文首先給出了一維諧振子本征值問(wèn)題的Heisenberg矩陣力學(xué)解法，Dirac算子代數(shù)解法和Schr?dinger波動(dòng)力學(xué)解法。在此基礎(chǔ)上，給出了一維半壁諧振子勢(shì)阱（壘）問(wèn)題的解法。然后討論了相干態(tài)和壓縮態(tài)，它們是非經(jīng)典量子效應(yīng)，在超標(biāo)準(zhǔn)量子極限的高精度光學(xué)測(cè)量、超低噪光通信及量子通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，是物理學(xué)研究前沿課題之一。最后從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓縮態(tài)。從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓縮態(tài)。與空間有關(guān)的一維定態(tài)Schr?dinger方程為：在量子力學(xué)中，如不作特別說(shuō)明，都假定勢(shì)能V取實(shí)數(shù)，即V=V*。若對(duì)應(yīng)于某個(gè)能量E，方程（2.1）只有一個(gè)解，則稱(chēng)能級(jí)E不簡(jiǎn)并。若對(duì)應(yīng)于某個(gè)能量E，方程（2.1）不只一個(gè)解，則稱(chēng)能級(jí)E是簡(jiǎn)并的。設(shè)是方程（2.1）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值為E，則也是方程（2.1）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值也是E。且總可以找到方程（2.1）的一組實(shí)解，凡是屬于E的任何解，均可表成這組實(shí)解的線(xiàn)性疊加。2.1求解波函數(shù)采用自然單位，則(15)因此H具有相空中的旋轉(zhuǎn)不變性，令(16a)(16b)利用，容易得(17)對(duì)H進(jìn)行因式分解(18)式中(19)則[，]=0(20)因?yàn)?21)(22)所以為正定Hermite算符，亦為正定Hermite算符設(shè)(23)n為正數(shù)，表示的一個(gè)本征態(tài)，由(17)(18)式得(24a)(24b)(25a)(25b)因此可知，若為的本征態(tài)，且本征值為n，則與也是的本征態(tài)，且本征值為n-1，n+1。由(25a)式可知是的本征態(tài)，從的某個(gè)本征態(tài)出發(fā)，逐次用降算符運(yùn)算可得的一系列本征態(tài)，，，，…(26)相應(yīng)的本征值為n，n-1，n-2，…(27)因?yàn)闉檎℉ermite算符，它的所有本征值必須。設(shè)的最小本征值為，本征態(tài)為。故它的必須滿(mǎn)足(28)由此可得(29)即是的本征值，對(duì)應(yīng)本征值為=0，因此可記為。由(25b)式可知，也是的本征態(tài)，從的最小本征值=0對(duì)應(yīng)的本征態(tài)出發(fā)，逐次運(yùn)用算符可得的全部本征態(tài)，，，…(30)相應(yīng)本征值為0，1，2，…(31)可以得的歸一化本征態(tài)(32)它是的本征態(tài)(33)，n=0，1，2…(34)添上能量單位，，n=0，1，2….(35)2.2求解波函數(shù)由(28)式=0即得，，(36)解得(37)由歸一化條件得，(38)由(32)式得，即=(39)令，則(36)式可寫(xiě)成:=(40)=(41)(42)易得=，即n的奇偶性決定諧振子波函數(shù)的奇偶性。2.3Hermite多項(xiàng)式的遞推關(guān)系(43)(44)因此(45)(46)由(45)(46)兩式得(47)即=得(48)由(43)得==(49)而(50)由(49)(50)兩式得(51)線(xiàn)性諧振子彈簧振動(dòng)、單擺是諧振子，它們的位移或角位移滿(mǎn)足方程：諧振子在物理中很重要，很多物理問(wèn)題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個(gè)原子的微振動(dòng)，就可以看成在各自平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。1一維諧振子的定態(tài)本征問(wèn)題1.1經(jīng)典模型經(jīng)典力學(xué)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體在線(xiàn)性回復(fù)力f=kx作用下進(jìn)行的一種運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系可以表示為取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且作為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能可以表示為(1.1)其中k是諧振子的勁度系數(shù)，為諧振子的質(zhì)量，是振動(dòng)角頻率。以此為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)諧振子的能量可表示為.(1.2)1.2量子模型在量子力學(xué)中，作為一個(gè)重要的物理模型，一維諧振子問(wèn)題是許多周期性運(yùn)動(dòng)的代表。原子分子的振動(dòng)、黑體輻射、晶格振動(dòng)以及量子場(chǎng)論中的場(chǎng)量子化等都可以借用諧振子這一物理模型來(lái)處理。這里，我們簡(jiǎn)單回顧一下量子諧振子模型的相關(guān)理論。一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程可以表示為(1.3)將一維諧振子的勢(shì)能(1.1)式代入定態(tài)薛定諤方程(1.3)中，可以得到(1.4)令(1.5)并且作一個(gè)變量代換，令(1.6)方程(1.4)可變?yōu)?1.7)式(1.7)一個(gè)變系數(shù)二級(jí)常微分方程。當(dāng)很大時(shí)，λ與ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞時(shí)該式可寫(xiě)為（1.8）它的解ψ上式即方程(1.7)的漸近解。因?yàn)椴ê瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件要求當(dāng)ξ→±∞時(shí)ψ應(yīng)為有限，所以我們對(duì)波函數(shù)只取指數(shù)上的負(fù)號(hào)，即根據(jù)上面的討論，可以把ψ寫(xiě)成如下形式（1.9）式中的待求函數(shù)H在ξ有限時(shí)應(yīng)為有限，而當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H的行為必須保證為有限，因?yàn)橹挥羞@樣才能滿(mǎn)足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。式(1.9)對(duì)ξ求二階微商有將上式代入(1.7)后，可得到H滿(mǎn)足的方程為（1.10）采用級(jí)數(shù)解法，把H展成ζ的冪級(jí)數(shù)來(lái)求方程的解時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)必須含有限項(xiàng)，才能在ξ→±∞時(shí)使為有限，而級(jí)數(shù)只含有限項(xiàng)的條件是λ為奇數(shù)，即n=0,1,2,…由此可求得一維諧振子的能量本征值En，即其量子化能級(jí)為n=0,1,2…（1.11）這表示一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級(jí)間距相等，均為。對(duì)于（1.11）式中不同的n值，方程（1.10）有不同的解。這里的稱(chēng)為厄密（HermitIan）多項(xiàng)式,可以表示為（1.12）此外，由（1.9）式可得，對(duì)應(yīng)能量的相應(yīng)波函數(shù)是（1.13）式中是歸一化常數(shù)，它由歸一化條件可確定為一個(gè)量子系統(tǒng)，若其哈密頓量可標(biāo)記為，則該系統(tǒng)的演化算符可用表示。這里，哈密頓量算符出現(xiàn)在指數(shù)上，因此演化算符無(wú)法直接作用在相應(yīng)的初態(tài)上，為利用這個(gè)演化算符考慮某態(tài)隨時(shí)間的演化，我們采取兩套方案進(jìn)行討論。用Fourier變換求一維線(xiàn)諧振子的波函數(shù)和能量本征值用Fourier變換把一維線(xiàn)諧振子的薛定諤方程化為比較容易求解的一階微分方程，解出一階微分方程后再利用Fourier逆變換得到薛定諤方程的級(jí)數(shù)解，最后利用波函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)處等于0的邊條件確定能量本征值和本征函數(shù)．以一維諧振子為研究對(duì)象,討論了一維諧振子初態(tài)隨時(shí)間的演化問(wèn)題,采用了常用的精確求解法并發(fā)展了近似求解法。最后對(duì)兩種方法所得結(jié)果進(jìn)行分析比較,得到其結(jié)果一致的結(jié)論,從而為確定的哈密頓量系統(tǒng)的態(tài)演化問(wèn)題提供了一套理論處理方案。一維諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型，在理論上及實(shí)際應(yīng)用中，它往往能使復(fù)雜的問(wèn)題大大地簡(jiǎn)化。目前對(duì)于一維諧振子的