新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講講練學(xué)案 等差數(shù)列的單調(diào)性與最值（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷即可【詳解】，因為,所以,所以錯公差,所以錯因為前7項均為正,從第8項開始為負(fù),所以的最大值為,所以C對，,所以D錯故選：C2．D【解析】【分析】由可得，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)性質(zhì)知，結(jié)合等差中項、等差數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項的正誤.【詳解】由，則，即，又，易知：，C正確；，A正確；，，則，故，B正確；由上知：時，時，且是遞減數(shù)列，故數(shù)列不單調(diào)，D錯誤.故選：D3．C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因為是等差數(shù)列且，，所以，．，.故選：C.4．C【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，且，從而可求得答案【詳解】因為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以該數(shù)列的公差，所以絕對值最小的項在0附近的項中取得，因為，所以，所以絕對值最小的項為，故選：C5．A【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.6．A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷條件.【詳解】①，當(dāng)，，由等差數(shù)列的特征可知，是數(shù)列的最小值，所以對任意正整數(shù)都成立，故①正確；②，所以，即，所以由等差數(shù)列的特征可知，是數(shù)列的最小值，所以對任意正整數(shù)都成立，故②正確；③，，所以，即，所以不成立，，故③不成立.故選：A7．B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，結(jié)合數(shù)列的通項公式的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】①：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此可以把看成關(guān)于的一次函數(shù)，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因此本命題是真命題；②：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此可以把看成關(guān)于的二次函數(shù)，而二次函數(shù)的單調(diào)性與開口和對稱軸有關(guān)，雖然能確定開口方向，但是不能確定對稱軸的位置，故不能判斷數(shù)列的單調(diào)性，故本命題是假命題；③：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，設(shè)，因此數(shù)列的通項公式為：，顯然當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列，故本命題是假命題；④：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，設(shè)，因此數(shù)列的通項公式為，所以可以把看成關(guān)于的一次函數(shù)，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因此本命題是真命題.故選：B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的應(yīng)用，考查了利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8．B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式可得，，可得答案．【詳解】因為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，又，所以，可得公差小于零，所以等差數(shù)列是單調(diào)遞減的，即前10項是正的第11項開始是負(fù)的，所以前10項和最大.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的單調(diào)性，關(guān)鍵點是，得到，.9．C【解析】由，判斷，再依次判斷選項.【詳解】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值．而，所以，所以C選項結(jié)論錯誤．故選:C．10．C【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷A選項；利用可得出、的等量關(guān)系，可判斷B選項；求出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；解不等式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則，A對；對于B選項，因為，即，可得，B對；對于C選項，，所以，當(dāng)或時，最小，C錯；對于D選項，，因為，解得，故時的最小值為，D對.故選：C.11．C【解析】【分析】ABD可以舉反例說明命題是錯誤的，C用基本不等式證明命題的正確的．【詳解】若，則滿足，但，A錯，同樣滿足，但，B錯；是等差數(shù)列，，則，，C正確；，滿足，但此時，D錯．故選：C．12．D【解析】由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，而等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當(dāng)時，如下圖所示，當(dāng)公差時，如下圖所示，如圖可知當(dāng)時，，，，.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項.13．C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.14．A【解析】【分析】①利用正弦函數(shù)為奇函數(shù)可得，再進(jìn)行累加即可得到答案；②是等差數(shù)列，當(dāng)時，對分為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論；【詳解】解：在為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，①所以，且，①正確；②是等差數(shù)列，當(dāng)時，若為偶數(shù)，，，同理，…，，所以若為奇數(shù)，，，，…，所以；同理，當(dāng)時，也有.②正確.故選：A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及正弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，對抽象能力要求較高，屬于難題.15．C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義，通項公式及有界性逐一分析判斷作答.【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列公差為d，則時，，而數(shù)列是等比數(shù)列，則，且，于是得，即是常數(shù)數(shù)列，A正確；對于B，設(shè)等差數(shù)列公差為d，有，若，而是無窮數(shù)列，則當(dāng)n趨近于無窮大時，趨近于正無窮大，若，則當(dāng)n趨近于無窮大時，趨近于負(fù)無窮大，趨近于正無窮大，即，都趨近于正無窮大，因，則，即是常數(shù)數(shù)列，B正確；對于C，等比數(shù)列，令，對于任意的正整數(shù)n，，滿足，不是常數(shù)數(shù)列，C不正確；對于D，設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列公比為q，則，當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)n趨近于無窮大時，趨近于正無窮大，必存在正整數(shù)，有時，，當(dāng)時，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)n趨近于無窮大時，趨近于0，必存在正整數(shù)，有時，，即且時，對于無窮正項等比數(shù)列必存在一個正整數(shù)，當(dāng)n取大于這個正整數(shù)時不可能成立，于是得無窮正項等比數(shù)列滿足：，其公比，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，D正確.故選：C16．A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可得，當(dāng)證得為遞增數(shù)列，反之亦可.【詳解】因為，所以，若，則關(guān)于n的函數(shù)單調(diào)遞增，所以數(shù)列為遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列，則，即，解得.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：A17．A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的單調(diào)性及前n項和的性質(zhì)分析【詳解】∵恒成立，∴，∴遞增；反之，可取，則遞增，但，所以“，”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題以等差數(shù)列的單調(diào)性及前n項和的性質(zhì)為載體，考查充分條件與必要條件的判斷，難度一般.18．B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.19．B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率判斷.【詳解】等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率，則直線呈下降趨勢，故數(shù)列單調(diào)遞減.故選：B.20．B【解析】【分析】根據(jù)P?A?B三點共線，可得，即可判定數(shù)列性質(zhì).【詳解】由題：P?A?B三點共線，根據(jù)共線定理，則，即，所以數(shù)列是一個公差為-1的等差數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.故選：B【點睛】此題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，根據(jù)三點共線結(jié)論得數(shù)列的遞推關(guān)系，判斷數(shù)列的增減性.21．B【解析】【分析】對于①，取，可判斷；對于②，由全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可判斷；對于③，由等差數(shù)列的通項，可得出，可判斷；④中，由兩直線平行的條件可得出，解得或，可判斷得選項.【詳解】對于①，若，則，所以此時不成立，故①不正確；對于②，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，得②是正確的；對于③，由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以設(shè)，則，因為公差，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列成立，故③正確；④中，若直線與直線平行，則，解得或，所以是兩直線平行的充分不必要條件，所以④錯誤的，故正確的命題是②③，故選：B.【點睛】本題考查命題的判斷，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，全稱命題和特稱命題的關(guān)系，等差數(shù)列的通項公式，兩直線平行的條件，以及充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.22．D【解析】【分析】根據(jù)求得，結(jié)合，判斷數(shù)列單減，從而判斷取得最大值時，的值.【詳解】由題知，，則，等差數(shù)列的公差d滿足，數(shù)列單減，且，，則當(dāng)取得最大值時，的值為8或9故選：D23．C【解析】利用等差數(shù)列的前項和公式可得，結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由，可得，整理可得，由所，即，故A錯誤；根據(jù)，則數(shù)列為遞減數(shù)列，，即，則前項或前項的和最大，故B錯誤；C正確；所以，即，解得，滿足的最大自然數(shù)n的值為22，故D錯誤；故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.24．B【解析】【分析】依題意，對任意的，都有成立，即，利用數(shù)列的單調(diào)性可得，即可求解.【詳解】由已知，對任意的，都有成立，即，即，又?jǐn)?shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，，，即，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列通項公式及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合已知條件得到.25．B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，，，可以求出，且，，，從而判斷出，，的正負(fù)，選出正確答案.【詳解】設(shè)公差為，因為，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，故選：B26．D【解析】【分析】將所給條件式變形，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式即可證明數(shù)列的單調(diào)性，從而由可得和的符號，即可判斷的最小值.【詳解】由得：，整理可得：，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，；有最小值，最小值為.故選：D.27．D【解析】【分析】解不等式，可得出取最大值時對應(yīng)的的取值，結(jié)合已知條件可得合適的選項.【詳解】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項為.對于A選項，，當(dāng)時，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時無最大項，A選項不滿足條件；對于B選項，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項不滿足條件；對于C選項，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時，，此時無最大項，C選項不滿足條件；對于D選項，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項滿足條件.故選：D.【點睛】方法點睛：在等差數(shù)列中，求的最?。ù螅┲档姆椒ǎ海?）利用通項公式尋求正、負(fù)項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最?。ù螅?；（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.28．C【解析】【分析】對于A選項，根據(jù)得到判斷；對于C選項，根據(jù)得到判斷；對于D選項，根據(jù)得到，結(jié)合判斷；對于B選項，根據(jù)，，得到時，判斷.【詳解】對于A選項，由可得，A選項正確；對于C選項，由可得，∴，C選項錯誤；對于D選項，由可得，且，，，所以，當(dāng)且時，，且，則與均為的最小值，D選項正確；對于B選項，∵，，當(dāng)時，，所以，，B選項正確．故選：C．29．D【解析】【分析】根據(jù)從第8項起開始為正數(shù)，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解.【詳解】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵從第8項起開始為正數(shù)，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故選：D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的單調(diào)性及通項公式，還考查了分析求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.30．C【解析】【分析】由題意知．由此可知，所以在中最大的是．【詳解】由于，所以可得．這樣，而>0，，所以在中最大的是．故選C．【點睛】本題考查等數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．屬中檔題.31．AD【解析】【分析】對于A，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對于B，不能判斷數(shù)列的單調(diào)性，故B錯誤；對于C，數(shù)列的通項公式為，顯然當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列，故C錯誤；對于D，數(shù)列的通項公式為，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．【詳解】對于A，因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確．對于B，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．因此可以把看成關(guān)于的二次函數(shù)，能確定圖象的開口方向，但是不能確定對稱軸的位置，故不能判斷數(shù)列的單調(diào)性，故B錯誤．對于C，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．因此數(shù)列的通項公式為，顯然當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列，故C錯誤．對于D，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．因此數(shù)列的通項公式為，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：AD．32．ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，可得2a1+29d＝0，根據(jù)a1＞0，可判斷A的正誤；根據(jù)d＜0，可得a15＞a16，可判斷B、C的正誤；分別求得，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S10＝S20，∴10a1+45d＝20a1+190d，∴2a1+29d＝0，∵a1＞0，∴d＜0，故A正確；∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，∵d＜0，∴a15＞a16，∴a15＞0，a16＜0，故B正確；∴Sn≤S15，故C正確；又，，∴當(dāng)且僅當(dāng)Sn＜0時，n≥31，故D錯誤.故選：ABC．33．ABD【解析】【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.【點睛】本題主要考查了通過遞推式得出數(shù)列的通項公式，通過通項公式研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.34．ABD【解析】轉(zhuǎn)化條件為，進(jìn)而可得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因為數(shù)列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD.35．1【解析】【分析】由等差數(shù)列各項均為正數(shù)可判定該數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和前和公式，可判定數(shù)列為遞減數(shù)列，進(jìn)而可得到該數(shù)列的最大項.【詳解】由題，等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，，且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以，即是遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，得到數(shù)列的最大項為，故答案為：136．10【解析】【分析】根據(jù)題意判斷等差數(shù)列{}的，，，由此可判斷數(shù)列的項的增減情況，進(jìn)而確定答案.【詳解】由題意得：，∴，，∴，，∴，故等差數(shù)列{}為遞減數(shù)列，即公差為負(fù)數(shù)，因此的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，由于，∴{||}最小的項是第10項，故答案為：1037．【解析】【分析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項即可求解.【詳解】解：由題意可知，，解得，又，則，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案為：20.38．-1【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列是以首項為31，公差為－4的等差數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式求解.【詳解】數(shù)列是以首項為31，公差為－4的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為an＝35－4n.則當(dāng)n≤8時an>0；當(dāng)n≥9時an<0.又a8＝3，a9＝－1.所以絕對值最小的項為a9＝－1.故答案為：-139．9.【解析】【分析】根據(jù)題意推導(dǎo)出數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可得出結(jié)果.【詳解】，，，，所以，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，取最大值.故答案為：9.【點睛】本題考查利用等差數(shù)列前項和的最值求對應(yīng)的的值，主要分析出數(shù)列的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.40．【解析】【詳解】∵等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查了數(shù)列的通項公式與求和公式、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題；數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，根據(jù)滿足，，可得，，即可得出.41．（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）選擇②③、①②、①③條件中的一組，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及條件，求得的通項公式，利用通項公式的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求得的最小值；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，利用裂項相消求和法，化簡整理，即可得證.【詳解】（1）若選擇②③；由題知：，又因為，解得所以，解得，所以，所以，所以；若選擇①②；由題知：，又因為，解得，所以，解得，所以，所以，所以；若選擇①③；由題知：，所以，由題知：，所以聯(lián)立解得：，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式基本量的求法、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、裂項相消法求數(shù)列的和，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.42．(1)(2)(3)的最小值為1【解析】【分析】（1）根據(jù)無窮等比數(shù)列所有項的和為1，求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得；（2）求