新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 直線交點(diǎn)系方程及其應(yīng)用（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【解析】【分析】把直線都過一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求直線和直線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】直線方程可化為，則此直線過直線和直線的交點(diǎn)．由解得因此所求定點(diǎn)為．故選：D．2．B【解析】把整理成，根據(jù)方程特點(diǎn)可得答案.【詳解】由得，對于總成立，，所以，即總經(jīng)過點(diǎn)是.故選：B.3．C【解析】根據(jù)題意得直線恒過點(diǎn)，進(jìn)而得直線的斜率的取值范圍為：或，再根據(jù)，解不等式即可得答案.【詳解】直線方程變形得：.由得，∴直線恒過點(diǎn)，，，由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，又，∴或，即或，又時(shí)直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線系方程得直線恒過點(diǎn).考查數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算求解能力，是中檔題.4．B【解析】【分析】根據(jù)條件先判斷出直線所過的定點(diǎn)，此時(shí)到距離的最大值即為的距離.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，所以到直線的距離的最大值為：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)以及直線外一點(diǎn)到動(dòng)直線的距離的最大值，解答本題的關(guān)鍵是能通過分析直線的方程確定出所過的定點(diǎn)，難度一般.5．D【解析】由題意可知點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，由于兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，所以求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，然后利用兩點(diǎn)間線段最短可得答案【詳解】解：由，得，由，得，所以，化簡得，所以點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)共線，且過點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的應(yīng)用，考查距離問題，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，屬于中檔題6．D【解析】【分析】由已知得，，過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線垂直，位于以為直徑的圓上，由此能求出的值即可．【詳解】在平面內(nèi)，過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，，，過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線垂直，位于以為直徑的圓上，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的軌跡方程求解，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．7．B【解析】【分析】找出直線恒過的定點(diǎn)，畫出曲線y＝－2＋，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷.【詳解】整理化簡為：根據(jù)交點(diǎn)直線系方程，該直線恒過直線與直線的交點(diǎn).聯(lián)立方程組，解得直線恒過定點(diǎn)對曲線y＝－2＋整理化簡為：故其為一個(gè)以為圓心，半徑為3的半圓，在同一直角坐標(biāo)系下繪制圖像如下圖所示：由圖可知，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界情況如上圖的和當(dāng)直線為的狀態(tài)時(shí)，斜率為0，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，故不取0；當(dāng)直線為的狀態(tài)時(shí)，斜率為，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故可取.綜上所述：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線恒過定點(diǎn)，圓方程，以及直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，屬綜合中檔題；需要數(shù)形結(jié)合.8．C【解析】【詳解】由，求得，故兩直線和的交點(diǎn)，再根據(jù)，可得過點(diǎn)且與原點(diǎn)的距離等于的直線有兩條，故選C.9．A【解析】【分析】聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線垂直的條件求出斜率，點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】解得因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直所以所求直線方程：4x－3y＋9＝0故選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，確定直線方程一般有兩種途徑：1.確定直線上不同的兩點(diǎn)，通過直線方程的兩點(diǎn)式確定；2.確定直線的斜率和直線上的一點(diǎn)，通過直線方程的點(diǎn)斜式確定.10．C【解析】【分析】設(shè)直線方程為，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)直線方程為，即令，得，令，得.由，得或.所以直線方程為或.故選：C.【點(diǎn)睛】此題是一道中檔題也是一道易錯(cuò)題，要求學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求直線的方程，學(xué)生做題時(shí)往往會(huì)把過原點(diǎn)的情況忽視導(dǎo)致答案不完整.11．A【解析】【分析】直線與直線方程相減可得：，把點(diǎn)代入可得：，進(jìn)而得出線段的中垂線方程．【詳解】解：直線與直線方程相減可得：，把點(diǎn)代入可得：，線段的中垂線方程是，化為：．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．B【解析】【分析】首先求直線恒過的定點(diǎn)，將點(diǎn)到直線的距離的最大值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離.【詳解】直線恒過點(diǎn)，,點(diǎn)到直線距離，即點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B13．B【解析】【分析】根據(jù)兩直線和的交點(diǎn)列方程，對比后求得直線的方程.【詳解】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為，故選：B14．C【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，則可求出原點(diǎn)到直線距離的最大值；【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以直線過直線與直線交點(diǎn)，聯(lián)立可得所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，最大距離即為，此時(shí)最大值為，故選：C.15．C【解析】【詳解】根據(jù)直線系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直線都為圓心為（0，2），半徑為1的圓的切線；可取圓心為（0，2），半徑分別為2，，1得到①②正確；所有的直線與一個(gè)圓相切，沒有過定點(diǎn)，③錯(cuò)；存在（0，2）不在M中的任一條直線上，所以④正確；⑤可取圓的外接正三角形其所有邊均在M中的直線上且面積相等；故選C.16．D【解析】【詳解】試題分析：過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得，故所求直線方程為，即.考點(diǎn)：兩直線的位置關(guān)系、直線方程兩點(diǎn)式．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】過直線交點(diǎn)可以聯(lián)立這兩條直線的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由于所求直線過原點(diǎn)，故由兩點(diǎn)式可以求出直線的方程.由于聯(lián)立方程組來求結(jié)算量較大，我們可以采用直線系方程來做，具體過程是，先設(shè)出直線系方程，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得，即可得到所求，這樣運(yùn)算量非常小.17．D【解析】【分析】直線，可化為：，令可得直線經(jīng)過定點(diǎn),可得點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【詳解】直線，可化為：，令解得：因?yàn)橹本€經(jīng)過定點(diǎn),所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為故選：D18．C【解析】【分析】動(dòng)直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，，所以弦最短為，從而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閯?dòng)直線，所以，所以動(dòng)直線過定點(diǎn)，由可得，所以圓的圓心，半徑，，因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，所以弦最短為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的有關(guān)知識，涉及到的知識點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，點(diǎn)到直線的距離，圓中的特殊三角形，過定點(diǎn)的最短弦，屬于中檔題目.19．B【解析】【分析】將與代入直線方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；【詳解】解：與是直線為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，的斜率存在，即，并且，①②得：，即.方程組有唯—解.故選︰B.20．A【解析】先判斷圓心，半徑，以及直線所過定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，弦長最短，根據(jù)弦長公式求解.【詳解】，圓心，半徑，，所以直線過定點(diǎn)，，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，根據(jù)弦長公式，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，圓心到直線的距離最大，弦長最短，此時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題第二問考查與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值，具體結(jié)論如下：（1）設(shè)為圓的圓心，半徑為，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最小值為，最大值為；（2）過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；（3）記圓的半徑為，圓心到直線的距離為，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，最小值為；21．D【解析】【分析】判斷直線的斜率存在，通過點(diǎn)在直線上，推出a1，b1，P2，a2，b2的關(guān)系，然后求解方程組的解即可．【詳解】解：P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線y＝kx+1的斜率存在，∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程組有唯一解．故選：D．22．B【解析】【分析】根據(jù)直線的方程先確定出直線所過的定點(diǎn)，然后判斷出點(diǎn)到直線的距離的最大值為，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求解出結(jié)果.【詳解】將變形得，所以是經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)的直線系.設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，由得交點(diǎn)，所以直線恒過定點(diǎn)，于是點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：B.23．A【解析】【分析】求得直線恒過的定點(diǎn)，判斷兩直線位置關(guān)系，找到與的關(guān)系，利用均值不等式求最值.【詳解】直線可整理為，故恒過定點(diǎn)，即為A的坐標(biāo)；直線整理為，故恒過定點(diǎn)，即為B坐標(biāo)；又兩條直線垂直，故可得，即整理得解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故選：A.24．A【解析】【詳解】由題意可知直線表示過兩直線交點(diǎn)的直線系方程∴解方程組可得∴直線且不同時(shí)為0)經(jīng)過定點(diǎn)為故選A點(diǎn)睛：直線含參求過定點(diǎn)問題一般是將參數(shù)全部提出來，讓參數(shù)的系數(shù)為零，其余項(xiàng)也為零，列方程(組)即可求解定點(diǎn).25．B【解析】【分析】將，轉(zhuǎn)化為，利用，可以確定直線過定點(diǎn)，再利用定點(diǎn)在圓內(nèi)部即可得出結(jié)論.【詳解】將直線的方程整理為，由得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線和圓恒有個(gè)交點(diǎn)，即直線和圓相交.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查了直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.26．C【解析】【詳解】直線方程變形為，則直線通過定點(diǎn)，故選C．27．ACD【解析】【分析】利用反例判斷A，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系的充要條件判斷B、C，根據(jù)交點(diǎn)直線系方程判斷D；【詳解】解：對于A：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為（為直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）此時(shí)直線或的方程無法表示，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)且時(shí)，兩直線重合，此時(shí)兩直線有無窮多個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對于C：當(dāng)且時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D：記與的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)滿足且滿足，則不表示過點(diǎn)的直線，故D錯(cuò)誤；故選：ACD28．ABC【解析】【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離公式得出直線系：表示的是圓的切線的集合，這樣ABC選項(xiàng)能直接判斷；D選項(xiàng)需要數(shù)形結(jié)合判斷【詳解】點(diǎn)到中的直線的距離設(shè)為d，則為定值，故直線系：表示圓的切線的集合.顯然選項(xiàng)A正確；一定不在中的任意一條直線上，B選項(xiàng)正確；由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，C選項(xiàng)正確；如圖所示，中的直線所能圍成的三角形有兩類，一種是圓的外切三角形，如△ADE，此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如△ABC，這類三角形面積也相等，但兩類三角形面積不等，故D選項(xiàng)不正確.故選：ABC29．BD【解析】【分析】A.直線寫成，判斷直線所過的定點(diǎn)；B.若兩直線平行，則一定有；C.兩直線垂直，根據(jù)公式有；D.根據(jù)直線不經(jīng)過第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，當(dāng)，即，即直線恒過點(diǎn)，故A不正確；若，則有，解得：，故B正確；若，則有，得，故C不正確；若直線不經(jīng)過第三象限，則當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，直線，也不過第三象限，綜上可知：時(shí)，不經(jīng)過第三象限，故D正確.故選：BD30．ACD【解析】利用相交直線系方程和圓系方程可判斷AD的正誤，根據(jù)圓心到直線的距離可判斷B的正誤，根據(jù)兩圓外切可判斷C的正誤.【詳解】直線可化為：，由可得，故直線恒過定點(diǎn)，故A正確.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到該直線的距離為，因?yàn)?，故圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，故B錯(cuò).因?yàn)閳A與曲線恰有三條公切線，故兩圓外切，故，故，故C正確.當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，而圓，故的直線方程為，整理得到，由可得，故直線經(jīng)過點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于含參數(shù)的直線方程，可通過化簡其方程，以便于求出定點(diǎn)坐標(biāo)，而切點(diǎn)弦，則需要利用圓系來求其方程，過圓外一點(diǎn)及兩個(gè)切點(diǎn)的圓的方程可由直徑式方程得到.31．【解析】【分析】首先求直線所過的定點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程.【詳解】由可得，令，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在曲線上，因?yàn)?，所以過點(diǎn)的曲線的切線的斜率，故所求切線的方程為，即．故答案為:．32．.【解析】【分析】先求出定點(diǎn),的坐標(biāo)，再判斷出兩直線互相垂直，從而利用基本不等式求的最大值.【詳解】由題意知，直線過定點(diǎn)，直線可化為，所以過定點(diǎn),因?yàn)?，所以直線與直線互相垂直，所以，且,所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：.33．【解析】【分析】把直線方程變形可得，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，直線，即，變形可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線必過定點(diǎn).故答案為：.34．【解析】【分析】整理直線的方程得令，解方程組即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，原點(diǎn)到直線的距離，，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】直線的方程為，即令，解得：所以直線恒過定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，即到直線的距離的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線過定點(diǎn)問題，考查定點(diǎn)到動(dòng)直線距離最值問題，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.35．【解析】【分析】根據(jù)兩直線和的交點(diǎn)列方程，對比后求得直線的方程.【詳解】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.故答案為：36．x+y+1=0或3x+4y=0【解析】【詳解】由題意可設(shè)所求直線方程為，即令，得令，得∵所求直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距相等∴，即或∴所求直線方程為或故答案為或37．（1）

（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用垂直直線的系數(shù)關(guān)系可求，即得解（2）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用點(diǎn)到直線距離求解，即得解【詳解】（1）由于直線l2：x﹣y+5＝0與直線x﹣4y+4＝0不垂直故設(shè)所求直線為，故，因?yàn)榇酥本€與直線x﹣4y+4＝0垂直，故，故，故所求直線為.（2）由于原點(diǎn)到直線l2：x﹣y+5＝0的距離故設(shè)所求直線為，故，

解得或故直線方程為：或38．(1)(2)(3)①或；②或【解析】【分析】(1)聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)P，根據(jù)兩直線垂直，斜率相乘等于－1得直線斜率，即可根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程求得直線方程；(2)根據(jù)垂徑定理求圓的弦長，列出方程解答；(3)①：用截距式方程求解；②：由直線和圓的位置關(guān)系和圓的弦長公式求解﹒(1)由，解得：，∴，∵與垂直，∴的斜率，故過點(diǎn)P且與直線垂直的直線l的方程為，即；(2)P(3，5)到直線的距離為∴半徑∴圓的方程為(3)①設(shè)過點(diǎn)(1，2)且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形面積為的直線的斜率為k，k＜0，可得它的方程為，即，它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0，2－k)，，由可得，當(dāng)時(shí)，它的方程為；當(dāng)時(shí)，綜上所述，直線l的方程為：或②設(shè)圓心為，與軸相切則，∴圓心到直線的距離為，∴∴，r＝3∴圓心為∴圓的方程為或﹒39．（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）將直線化為，利用，求得直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長最短，根據(jù)直線的斜率為，可得直線的斜率為1，從而求得直線的方程.【詳解】（1）直線可化為：，可得所以直線過定點(diǎn).（2）由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長最短，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為1，此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，