2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市聯(lián)盟五校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市聯(lián)盟五校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】由拋物線得：焦點(diǎn)在x軸上，開口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0或1 B． C．1 D．0或【答案】C【分析】用兩直線垂直的充要條件得解.【詳解】因?yàn)?，所以，或，又?dāng)時(shí)，不存在故舍，所以.故選：C.3．設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用已知條件，分析橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，列出不等式，求解即可.【詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.故選：D4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由題目條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.【詳解】設(shè){an}首項(xiàng)為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C5．已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.7．已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可得，然后由條件可得的關(guān)系，再由離心率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，可得橢圓的長(zhǎng)半軸為，半焦距為，設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為，且分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，第三象限的交點(diǎn)為，，則，可得，且兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則在以為直徑的圓上，所以，即，所以，則雙曲線的離心率為.故選：D8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是（

）A． B．[0,1]C． D．【答案】A【解析】設(shè)，圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，根據(jù)MA＝2MO，可得點(diǎn)的軌跡是圓：x2＋(y＋1)2＝4，根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)列式可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上，由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，即，由得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了求滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了解一元二次不等式，屬于中檔題.二、多選題9．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為C．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．雙曲線的漸近線方程為【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，對(duì)于A中，雙曲線的離心率為，所以A正確；對(duì)于B中，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，所以B不正確；對(duì)于C中，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以C正確；對(duì)于D中，雙曲線的漸近線方程為，所以D不正確.故選：AC.10．已知直線：，則（

）A．直線的傾斜角為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為C．點(diǎn)到直線的距離為2D．直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為【答案】ACD【分析】由斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷A；求出直線與坐標(biāo)軸的截距可判斷B；由點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C；由點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的特征，代入求解可判斷D【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橹本€：的斜率為，所以直線的傾斜角為，故A正確；對(duì)于B：令，則；令，則；所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)在直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上，則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，則有，即，所以直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為，故D正確；故選：ACD11．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，則下列命題正確的是（

）A． B．該數(shù)列的公差d<0C．a(chǎn)7=0 D．S12>0【答案】BCD【分析】由題意可得，從而得出等差數(shù)列中前6項(xiàng)為正，從第8項(xiàng)起均為負(fù)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和的公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由可得，，可得可得，所以等差數(shù)列的公差，故選項(xiàng)B正確.所以為正，，從第8項(xiàng)起均為負(fù).故選項(xiàng)C正確.所以，故選項(xiàng)A不正確.,故選項(xiàng)D正確.故選：BCD12．已知圓M：，以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．若圓與圓M恰有一條公切線，則m=-8B．圓與圓M的公共弦所在直線為C．直線與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D．點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與MP交于點(diǎn)C，若Q，則CQ的最大值為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，兩圓內(nèi)切，根據(jù)圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，列出方程，求出；B選項(xiàng)，兩圓相減即為兩圓公共弦所在直線方程；C選項(xiàng)，求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，得到定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；D選項(xiàng)，由題意得到四點(diǎn)共圓，且為直徑，從而求出該圓的方程，與相減后得到直線的方程，進(jìn)而求出直線MP的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，消參后得到點(diǎn)的軌跡方程為圓，從而求出CQ的最大值.【詳解】由題意得：與內(nèi)切，其中圓心為，半徑為，則，解得：，A錯(cuò)誤；與相減得：，且兩圓相交，故圓與圓M的公共弦所在直線為，B正確；變形為，令，解得：，所以直線恒過點(diǎn)，由于，點(diǎn)在圓M內(nèi)，故與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；設(shè)，，由題意可知：四點(diǎn)共圓，且為直徑，故圓心為，半徑為，所以此圓的方程為，整理得，與相減得：，即為直線AB的方程，直線MP的方程為，整理得，聯(lián)立與，得到，故，由，解得：，將代入中，得，故，代入中，得到，軌跡為以為圓心，為半徑的圓（不含點(diǎn)M），所以CQ的最大值為，即，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，本題的難點(diǎn)在于求出點(diǎn)C的坐標(biāo)后下一步的處理方法，本題中用到了求軌跡方程的交軌法，屬于較難一些的方法，要結(jié)合交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的特點(diǎn)，整理得到，再代入其中一個(gè)式子中，即可求解.三、填空題13．過點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為．【答案】【分析】設(shè)直線方程為，代入所過點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)值即得．【詳解】由題意設(shè)直線方程為，直線過點(diǎn)，則，，所以直線方程為．故答案為：．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】代入，得出.根據(jù)求出的表達(dá)式，代入檢驗(yàn)，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?故答案為：.15．設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知經(jīng)過點(diǎn)的橢圓與雙曲線有相同的焦距，則．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上先求出橢圓方程及焦距，再由雙曲線的概念計(jì)算即可.【詳解】將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即橢圓的焦距為，因?yàn)楸硎倦p曲線，則或，當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦距為；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦距為；綜上所述：.故答案為：16．若曲線：與曲線：有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】等價(jià)于或，當(dāng)時(shí)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，要使兩曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，只需與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用判別式大于零，列不等式求解即可.【詳解】由，得，則曲線表示圓心為，半徑為1的圓，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，顯然與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示直線，則兩曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，所以要使兩曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，只需與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，由方程組消去，得關(guān)于的一元二次方程，再令，化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)椋?，故答案為?四、解答題17．已知橢圓的焦點(diǎn)為，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（5,2）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿足，求y0的值.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義得a，再根據(jù)c求b（2）由得,再與橢圓方程聯(lián)立解得y0的值.試題解析：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為其半焦距c=6.因?yàn)辄c(diǎn)P（5,2）在橢圓上，所以所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）由得即代入橢圓方程得：故

五、證明題18．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由已知條件求出和，然后求的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，為常數(shù).所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2），，，，.六、解答題19．已知兩直線，(1)求直線和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若過點(diǎn)作圓的切線有兩條，求的取值范圍；(3)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）聯(lián)立直線方程，解方程組，即得答案；（2）根據(jù)點(diǎn)在圓外可得不等式，即求得答案；（3）討論直線與，不能構(gòu)成三角形的情況即為或或過點(diǎn)P，由此可求得a的值.【詳解】（1）聯(lián)立方程組，即直線和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意知點(diǎn)在圓外，，；（3）若直線與，不能構(gòu)成三角形，則或或過點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)P時(shí)，，故實(shí)數(shù)的值為.20．已知圓的圓心在直線上，且圓過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由圓過點(diǎn)，可得圓心在這兩點(diǎn)連線中垂線上，結(jié)合圓心在直線上可得圓心坐標(biāo)與圓的半徑；（2）由結(jié)合垂徑定理可得直線到圓心距離.注意到直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線為：，后由點(diǎn)到直線距離公式可得k.【詳解】（1）點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為：，兩點(diǎn)連線斜率為.則兩點(diǎn)連線中垂線斜率為，故這兩點(diǎn)中垂線方程為：.將中垂線方程與聯(lián)立，，即圓心坐標(biāo)為，則半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)直線到圓心距離為d，由垂徑定理，.則.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，到圓心距離為2，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，由其到圓心距離為2，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，可得.則此時(shí)，直線方程為.故直線方程為：或21．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程，設(shè)直線的方程為(1)若過點(diǎn)的直線與圓相切，求切線的方程；(2)已知直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，求直線l的方程；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上，過作圓的切線，切點(diǎn)為，問經(jīng)過的圓是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)或(2)(3)恒過定點(diǎn)，，【分析】（1）討論切線斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)出切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求得斜率，可得答案；（2）設(shè)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案；（3）由題意可表示出經(jīng)過的圓，分離參數(shù)，結(jié)合解方程組，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為，即，由于直線l與圓相切，故圓心到直線的距離為，，即，，則直線l的方程為，綜上，符合條件的直線有2條，分別為或.（2）設(shè)，則，，解得或，即或即的斜率，則直線l的方程為.（3）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由于過作圓的切線，切點(diǎn)為，故,過P，M，C的圓即為以CP為直徑的圓，其方程為：，即由于，故令，解得或，故經(jīng)過的圓恒過定點(diǎn)，.七、