第一章-仿射幾何1解析課件

高等幾何電子教案1§1.1平行射影與仿射對(duì)應(yīng)ABCD且

,一.兩直線間的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)1.平行射影或透視仿射：若直線

，≠2≠,點(diǎn)A,B,C,D…… ,過(guò)點(diǎn)A,B,C,D……作直線的平行線交于……，則可得直線到直線 的一個(gè)映射。稱為平行射影或透視仿射，記為TAB原象點(diǎn)：A,B,C,D……直線a上的點(diǎn)O點(diǎn)

O為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn))映象點(diǎn)：……

直線上的點(diǎn)平行射影的方向：直線記透視仿射T：

………透視仿射與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射DC32.仿射（或仿射變換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射（如圖）………………4仿此，每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都可以這樣表示。注：1.仿射是有限回的平行射影組成的判斷仿射是否是透視仿射的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線是否平行書寫的順序與平行射影的順序是相反的二.

兩平面的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)：1.平行射影：如圖點(diǎn)A,B,C共線a，則共線gABCa5l兩相交平面的交線為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸2仿射：平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，是透視仿射鏈性質(zhì)：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)為直線.2.保留點(diǎn)與直線的結(jié)合性6§1.2仿射不變性與不變量定義1仿射不變性與不變量：經(jīng)過(guò)一切透視仿射不變的性質(zhì)和數(shù)量仿射圖形：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的圖形.仿射性：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的性質(zhì).仿射量：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的數(shù)量.定理1：兩直線間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論定義2平行四邊形是仿射不變的圖形.簡(jiǎn)比：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（ABC）定義為以下有向線段的比：當(dāng)點(diǎn)C

在線段AB上時(shí)，(ABC)<07當(dāng)點(diǎn)C

在線段AB或BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C

與點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=-1則點(diǎn)C稱為分點(diǎn)，A,B

兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)簡(jiǎn)比(ABC)等于點(diǎn)C分割線段AB的分割比的相反數(shù)例1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3, 2)和B(6, 1)兩點(diǎn)直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比（ABP）解:設(shè)(ABC)

08(ABC)=0(ABC)不存在定理2共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射不變量.定理3兩平行線段之比是仿射不變量.∴點(diǎn)P在直線x+3y-6=0上.ABC==要證:9ABCDE證明:

如圖,作DE

AC,==∵簡(jiǎn)比是仿射不變量∴10定理4一直線上兩線段之比是仿射不變量.定理5在透視仿射下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸的距離之比是一個(gè)常數(shù)gABC證明:

設(shè)T為到 的一個(gè)透視仿射,如圖并且則===g ,則顯然成立.若AB

g,若AB

g,==g,過(guò)A, ,

B

,

分別引軸g的垂線垂足分別為由相似三角形得:11定理2證明:任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.分兩種情形AB特殊情形:有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)軸g上并且重合.如圖Cg一般情形:如圖12對(duì)應(yīng)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都不在對(duì)應(yīng)軸上,△ABC與對(duì)應(yīng),三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于對(duì)應(yīng)軸g上.ABCgXYZ由 的證明可得:13推論114在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量§1.3平面內(nèi)的仿射變換及其決定的透視仿射，射影方向?yàn)?的透視仿射，射影方向?yàn)?一.平面內(nèi)的透視仿射設(shè) 為平面 到平面設(shè) 為平面 到平面則∴gAB設(shè)∴T將 上的點(diǎn)A變換為其本身上的點(diǎn)∴T將 上的點(diǎn)B變換為其本身上的點(diǎn)a15上的直線a變換為

上∴T將 上的點(diǎn)變換為 上的點(diǎn),將的直線

,即

T保留同素性和接合性.∴T將 上的相交直線a,b變換為 上的相交直線

.∴T將 上的平行直線

變換為 上的平行直線

.和 的交線g上的每一點(diǎn)經(jīng)過(guò)T不變，且T具有仿射不變性與不變量，稱T為平面 到自身的透視仿射定理1平面內(nèi)的透視仿射由一對(duì)對(duì)應(yīng)軸與一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全決定證明:

設(shè)已知對(duì)應(yīng)軸g與不在其上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 為平面上任一已知點(diǎn)16定理2給定平面內(nèi)的兩個(gè)三角形，至多利用三回透視仿射可使一個(gè)三角形變?yōu)榱硪粋€(gè)三角形BAXg連直線AB,設(shè)與對(duì)應(yīng)軸g相交于X,連X與

,則AX與 是一對(duì)對(duì)應(yīng)直線過(guò)B引 的平行直線,與B對(duì)應(yīng)的.點(diǎn) 就只能是這直線與 的交點(diǎn)∴是唯一確定的.B

A=AB

gggoABC17證明:

把△ABC平移到使頂點(diǎn)A落在上,把平移看作透視仿射的特例.記為ABC∵對(duì)應(yīng)軸不存在,對(duì)應(yīng)邊互相平行再以直線 為透視軸,以作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射.最后以 為對(duì)應(yīng)軸

,以作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射T為仿射變換18定理3若兩三角形有一對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用兩回透視仿射就夠了.若兩三角形有兩對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用一回透視仿射就夠了.仿射等價(jià)圖形:經(jīng)過(guò)仿射變換可以互相轉(zhuǎn)換的圖形.任意三角形是仿射等價(jià)的.證明:原象點(diǎn)不共線，映象點(diǎn)也不共線的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一的仿射變換.存在性:設(shè) 是平面內(nèi)不共線的任意三點(diǎn).也是不共線的任意三點(diǎn).存在一個(gè)仿射變換T使在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè)交于Q.由定理2知.19QP唯一性:

設(shè)存在另一個(gè)仿射

,在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè)于Q為仿射.∴保持接合性且簡(jiǎn)比不變都在直線上.且有:20∴對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P,都有作業(yè):21§1.4仿射變換的代數(shù)表示設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）。一個(gè)仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一點(diǎn) ，求

P的坐標(biāo)（x,y）和的坐標(biāo) 之間的關(guān)系。仿射變換T由三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè) 的坐標(biāo)為X軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為y軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為設(shè)

P在坐標(biāo)軸上

的正射影，且

，

則T將平行四邊形

及 分別變換為平行四邊形及

.由于T保留簡(jiǎn)比.則22xyOP(x,y)∴23或者寫為且三點(diǎn)不共線因?yàn)?三點(diǎn)不共線，所以行列式不為O(1)(2)24定義1叫把笛氏坐標(biāo)系在仿射對(duì)應(yīng)下的象叫仿射坐標(biāo)系，點(diǎn) 的仿射坐標(biāo)，記為例1對(duì)于斜交笛氏坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系，上面的代數(shù)式（1），（2）都成立。求使點(diǎn)（0，0），（1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3）

,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點(diǎn)解:分別代入仿射變換的代數(shù)表示式得:25∴仿射變換式為:例2求仿射變換的不變直線。解:

設(shè)所求的不變直線為:ax+by+c=02627仿射變換的特例:(3)(4)