函數(shù)值域求法總結(jié)及練習題

PAGE第3頁共4頁函數(shù)值域求法1．重難點歸納．(1)求函數(shù)的值域．此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖像法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．(2)函數(shù)的綜合性題目．此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強．(3)運用函數(shù)的值域解決實際問題．2．值域的概念和常見函數(shù)的值域．函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用什么方法球函數(shù)的值域均應考慮其定義域．常見函數(shù)的值域：一次函數(shù)的值域為R．二次函數(shù)，當時的值域為，當時的值域為．反比例函數(shù)的值域為．指數(shù)函數(shù)的值域為．對數(shù)函數(shù)的值域為R．正，余弦函數(shù)的值域為，正，余切函數(shù)的值域為R．3．求函數(shù)值域（最值）的常用方法．一、觀察法（根據(jù)函數(shù)圖象、性質(zhì)能較容易得出值域(最值)的簡單函數(shù)）1、求的值域．2、求函數(shù)的值域．二、配方法（當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)時，可利用配方法求值域）1、求函數(shù)的值域．2、若，試求的最大值。三、反表示法（分子、分母只含有一次項的函數(shù)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型）對于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可以利用“原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域”這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。1、求函數(shù)的值域．2、求函數(shù)的值域．四、判別式法（分子、分母中含有二次項的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為的形式，再利用判別式加以判斷）1、求函數(shù)的值域．解：由于本題的分子、分母均為關于x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為：整理得：當時，上式可以看成關于的二次方程，該方程的范圍應該滿足，即此時方程有實根即△，△．注意：判別式法解出值域后一定要將端點值（本題是）代回方程檢驗．將分別代入檢驗得不符合方程，所以．2、求函數(shù)的值域．五、換元法（通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是無理函數(shù)、三角函數(shù)（用三角代換）等）1、求函數(shù)的值域．解：由于題中含有不便于計算，但如果令：注意從而得：變形得即：．注意：在使用換元法換元時一定要注意新變量的范圍，否則將會發(fā)生錯誤．六、數(shù)形結(jié)合法（對于一些能夠準確畫出函數(shù)圖像的函數(shù)來說，可以先畫出其函數(shù)圖像，然后利用函數(shù)圖像求其值域）1、求函數(shù)的值域。分析：此題首先是如何去掉絕對值，將其做成一個分段函數(shù)．在對應的區(qū)間內(nèi)，畫出此函數(shù)的圖像，如圖1所示，易得出函數(shù)的值域為．七、不等式法1、求函數(shù)的值域．解答：，當且僅當時取等號．注意：在使用此法時一定要注意的前提條件是a＞0，b＞0，且能取到a＝b．八、部分分式法（分離常數(shù)法）（分式且分子、分母中有相似的項，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式）1、求函數(shù)的值域．解答：觀察分子、分母中均含有項，可利用部分分式法；則有．不妨令：從而．注意：在本題中應排除，因為作為分母。所以故2、如對于函數(shù)，利用恒等變形，得到：，容易觀察得出此函數(shù)的值域為．九、單調(diào)性法（利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域）練習1．求下列函數(shù)的值域①．②．③y＝．④．⑤．