（人教A版）2021年新高二數學暑假講義-第三講 基本不等式（教師版）

第三講基本不等式

【基礎知識】

1.不等式的性質

(1)對稱性：a>b<=^b<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：〃>b=a+c>〃+c；a>b,c>d=>a+c>b~\-d；

(4)可乘性：a>h,c>O^ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；a>b>Ofc>d>O^ac>bd；

(5)可乘方：二〃(〃￡N,〃21)；

(6)可開方：a>b>()^y[a>y[h(nE：^f〃22).

2.均值不等式：JBW空

(1)均值不等式成立的條件：。20,b20.

⑵等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號.

⑶其中號稱為正數。，〃的算術平均數，潼稱為正數a,〃的幾何平均數.

3.兩個重要的不等式

(1)a2+b2^2ab(a,bGR),當且僅當a=b時取等號.

(2)a"W(W)(a,Z?ER),當且僅當a=人時取等號.

4.利用均值不等式求最值

已知x20,y20,則

(1)如果積孫是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值是2g(簡記：積定和最小).

v2

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當尤=定寸,孫有最大值是彳(簡記：和定積最大).

5.一元二次不等式

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

6.三個“二次”間的關系

判別式4=從一4ac/>0J=0J<0

二次函數1/\|7

a工

y=ax1+bx+coh=X-TJ—J

(a>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實根加，有兩相等實根Xl=

2

ax+/?x+c=0b沒有實數根

X2(X1<X2)X2=~2a

(a>0)的根

2

ax+Z?x+c>0叵胤

R

(a>0)的解集或xVxi}

a^+bx+c<Q

{x|xi<xVX2}00

色>0)的解集

7.(x—a)(x—與〉0或(x—cz)(x—8)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ha>b

(x—〃)?(％—b)>0(x|xWa)或x>a)

(x-d)-(x—b)<G0

8.分式不等式與整式不等式

(1),;>0(<0)=心)女x)>0(<0).

(2)110(W0)o/U>&(x)N0(W0)Il包x)WO

g(x)

［方法技巧］

1.有關分數的性質

,,zbb+mbb-m

⑴右。乂>0,初>0,則不立肅/廠蕭一2"

⑵若ab>Q,且a>b^>~<^.

2.，+圻2(a,/?同號)，當且僅當時取等號.

手■),以)).

ab

4.連續(xù)使用均值不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.

1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-8,-a)U(a,+°°)；b|<a(a>0)的解集為(一a,a).

記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.

5.解不等式加+&+<:>0(<0)時不要忘記當a=0時的情形.

6.不等式加+&+c>0(<0)恒成立的條件要結合其對應的函數圖象決定.

.-_,[a=b=O,fa>0,

(1)不等式ax2+/?x+c>0對任息實數工怛成立或<

lc>0U<0.

(2)不等式加+—+(?<0對任意實數x恒成立'或，

lc<0U<0.

【考點剖析】

考點一不等式的性質

【典例1]已知Z?<a<0,則下列不等式一定成立的是()

A.同>例B.h2<abC.D-a1<b1

ab

【答案】D

【詳解】

\-b<a<0/.-h>-a>0^>\-b\>\-ct\=網>\a\故A錯誤；

b2-ab=h\b-a)?.-h<a<0:.b-a<0/.Z?2-ab>0b2>ab故B錯誤;

---：b<a<G:.b-a<G,ab>Q故C錯誤；

ahahcibah

?.?a2-b2=(a+b)(a-b)\,b<a<0,\a+b<0,a-b>0

:.a2-b2<0:.a2<b2故D正確.

故選:D

【典例2】對于任意實數〃，b,c,d,下列命題正確的是()

A.若a>b,貝B.若a>b,則

ab

C.若則D.若。>人>0,c>d,則

【答案】C

【詳解】

A：若。=0,則戊^二^^二。，故A錯誤；

B：若a=l,b=-l,則,=/,,=_/,則故B錯誤；

abab

C：因為ac?>4*，則c?>0，兩邊同除以c,2,得a>6,故C正確；

D：若a=2,〃=l,c=-l,d=-2,則ac=-2,/?4=—2,故D錯誤.

故選：C.

【跟蹤訓練1】實數。力滿足a>Z>,則下列不等式成立的是（）

A.a+b<abB.a2>b2C.o'>Z?3D.+土？<a+.

【答案】C

【詳解】

A,若a=l,b=O,則a+b>a/?，故A錯誤；

B,若a=l,b=—2，則/〈/，故B錯誤；

C,若a>匕,則fip—=（a—匕）（“2+）=（“-6）H—>0,

所以d〉/,故C正確；

D,若Cl—\,b-—2，則Jq2+）2>a+.,故D錯誤.

故選：C

【跟蹤訓練2】已知a>c,h>d,則下列結論正確的是（）

A.ah>cdB.a-b>c—d

C.ah+cd>ad+bcD.|?+Z?|>|c+J|

【答案】C

【詳解】

若。=2,C=1,6=-1,。=一2.此時他=4=一2,a-b-c-d=3>|a+@=|c+d[=1.A、B、D錯誤.

因為b>d,所以匕一4>0,乂因為”>c,所以a（b-d）>c（b-d）=ab+cd>ad+bc,C正確.

故選C.

【跟蹤訓練3]若a<b<0,則下列不等式中，不能成立的是（）

A.->-B.---->-C.D.a2>b2

aba-ba

【答案】B

【詳解】

若a<0,

11b-a八g11

則Ml-----=----->0,即一>一,A成乂;

abahab

11_a-(a-b)b<0,即_L-<L

B不成立;

a-baa(a-b)a(a-b)a-ba

C成立；a2>b2'D成立:

故選：B

考點二利用均值不等式

【典例1]已知5x2y2+y4=](x,yeR),則x~+y1的最小值是

4

【答案】y

【詳解】

?；5x2y2+y4=\

,1-y4

yH0且廠=———

當且僅當親=字，即父=得,產=(時取等號

Ax2+/

二f+y2的最小值為；

八c“(x+l)(2y+l)

【跟蹤訓練1】設x>0,y〉0,x+2y=4,則^一?~的最小值為.

孫

9

【答案】

2

【詳解】

由x+2y=4,得x+2y=422j^,得盯W2

(x+l)(2y+l)2孫+x+2y+l2xy+5c5c59

=2H---->2H—=—,

孫孫xy22

等號當且僅當x=2y,即x=2,y=l時成立.

(x+l)(2y+l)

【跟蹤訓練2】設x>0,y>0,x+2y=5,則-----尸----的最小值為

1xy

【答案】4百

【詳解】

(x+l)(2y4-1)_2孫+x+2y+l

而而

x>0,y>0,x+2y=5用>0,「.

券型/2仲=4技

Jxyy/xy

當且僅當移=3,即x=3,y=l時成立,

故所求的最小值為4G.

考點三一元二次不等式的解法

【典例1】已知p：(a+1)2<1；q：VxeR,ax2-ax-1<0,則夕是g的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

因為(a+l)2<ln—2Wa<0，

又因為VxGR,ax2-ax-]<0,

當a=0時，—1<0滿足題意；

fn<0

當a#()時，《，、2,、即-4<a<(),綜上-4<a?0；

[A=(-a)-4x?x(-l)<0

所以。=4,但p/q,故0是g的充分不必要條件.

故選：A.

【典例2】已知函數/(x)=x2+(a+i)x+a/,,若不等式/(x)WO的解為一1則。+2〃的值為

()

A.-2B.3C.-3D.2

【答案】A

【詳解】

由題知，-1,4為方程/(%)=0的兩個根，

-1+4=—3+1),

則｛,,,，解得a=-4,b=l,

-1x4=。/7

故。+2/?=-4+2=-2,

故選：A

【跟蹤訓練1】不等式2/-1一3>0的解為()

333…3

A.-1<x<—B.x>—或％V—1C.—<x<1D.x>l或x<——

2222

【答案】B

【詳解】

3

2x2一%—3=(2元一3)(x+l)>0,解得或x<-l

故選：B

【跟蹤訓練2】“國<6”是“％2+2工一3<0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【詳解】

因為丁+2%-340解得—3WxWl,

而國<6,解得-6?xW6,

所以若—6<x<6,則—3K%41不一定成立；

反之，若—則—6?xK6一定成立；

所以兇W6”是“/+2%—3?0”的必要不充分條件,

故選：C

【跟蹤訓練3】設xwR,則“2、<4”是“爐7-2<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】

由2*<4可得x<2,由工2—％—2<0可得一l<x<2

所以“2、<4”是“x2-x-2<0”的必要而不充分條件

故選：B

【真題演練】

1.下列函數中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+——

,4

C.y=2'+21'D.y=InxH----

■Inx

【答案】C

【詳解】

對于A,^=X2+2X+4=（X+1）2+3>3.當且僅當x=—l時取等號，所以其最小值為3,A不符合題意;

因為0<kinx|wi,y=|sinx|+j-^

對于B,224=4,當且僅當卜in^=2時取等號，等號取不到,

所以其最小值不為4,B不符合題意;

對于C,因為函數定義域為R,而2“>0,y=2'+22T=2'+：224=4,當且僅當2*=2,即％=1

時取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=\nx+—,函數定義域為（0,1）U。，”），而InxeE且lnx00,如當lnx=-l,y=-5,

Inx

D不符合題意.

x+y>4,

2.若滿足約束條件<x—y<2,則z=3x+y的最小值為（）

J43,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【詳解】

由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，

由，可得點A（l,3）,

轉換目標函數z=3x+y為y=_3x+z,

上下平移直線y=-3%+z,數形結合可得當直線過點A時,z取最小值，

此時Zmin=3xl+3=6.

故選：C.

22

3.已知士,八是橢圓C：、■+亍=1的兩個焦點，點M在C上，貝ij|峭卜|"周的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【詳解】

由題，a2=9,b2=4,貝!周=2a=6,

所以慳/訃附鳥區(qū)（幽業(yè)=9（當且僅當I"用=明閭=3時，等號成立）.

、2J

故選：C.

x+l>0

丁的最小值是（）

4.若實數x,y滿足約束條件<》一><0,則2=%-?

2

2x+3y-140

311

A.-2B.一一C.—-D.—

2210

【答案】B

【詳解】

x+l>0

畫出滿足約束條件的可行域，

2x+3y-l<0

如下圖所示：

八y

21日/產

//O、

X

//

目標函數2=%一3^化為y=2x

—2zf

x--\[x=—L設4—1,1）,

由LC解得〈,

2x+3y—1=0[j=1

當直線y=2x-2z過A點時，

13

2=1一5、取得最小值為一,.

故選：B.

5.若x,y滿足-且比T,則3x+y的最大值為

A.-7B.1C.5D.7

【答案】C

【詳解】

由題意《/?，作出可行域如圖陰影部分所示.

設z=3%+y,y=z—3元,

當直線/。：y=z-3x經過點（2,-1）時,z取最大值5.故選C.

6.(多選)已知〃>0,b>0,且〃+b=1,則()

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log2?+log2/?>-2D.4a+\[h<\/2

【答案】ABD

【詳解】

2

9(1A11

對于A,a1+lr=cr=2cr-2a+\=2a--+->-，

'，{2J22

當且僅當。=力=」時，等號成立，故A正確；

2

對于B,a-b=2a-\>-\,所以2""〉2T=」，故B正確：

2

a+

對于C,log,a+log2b-log2ab<log,(^=lOg21=-2.

當且僅當。=〃='時，等號成立，故C不正確；

2

對于D,因為（G+逐）=1+2\[ah<1+?+/?=2,

所以血+禽40，當且僅當"=匕=；時，等號成立，故D正確;

故選：ABD

【過關檢測】

1.已知集合4={川2%2+7%一4<0},8={引(')-"?!},則AD3=()

28

A.1x|-3<>￥<]}B.j^x|-3x<—j>

C.{x|-4〈％<—3}D.{x[—]<x<3}

【答案】B

【詳解】

解2x2+7x—4<0得—4<x<5，即A={x|T<x<1},

22

解得龍》—3,即5={x|xN-3},

28

于是有AcB={x|-4<x<-^}n{x|x>-3}={x|—3Wx<g},

所以Ac6={x|—34x<g}.

故選：B

2.已知。>0,b>0,且a+28=3a/?,則出?的最小值為()

A

【答案】B

【詳解】

因為a〉0,b>Or且Q+2/?=3ab,

所以4+2=3,

ba

所以3=」+222/2，

bavab

所以疝之半，即

1__2

當且僅當《了一Z

a+2b-3ab

428

即a=§,§時等號成立，故出，的最小值

x+l>0

3.若X、y滿足約束條件一2<0,則2=*+丁的最大值是（）

2x-y-2<0

A.-5B.1C.4D.5

【答案】C

【詳解】

解法一：把三個不等號改成等號，兩兩解出交點，再代入另一個不等式檢驗是否滿足，本題三個點（-1,2）,

（2,2）,（-1,-4）,均滿足剩下的不等式（注意：不滿足的點不要），再把三個點代入z=x+y,比較大小,

找出最大的一個即可，即（2,2）代入最大為4.

解法二：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.

由z=x+y得y=—x+z,平移直線y=-x+z,

圖象可知當直線丁=一x+z經過點A時，直線y=—x+z的截距最大，此時z最大.

y-2=0x=2

解得《,即A(2,2),

2x-y-2=0b=2

代入目標函數z=x+y得z=2+2=4,即目標函數z=x+y的最大值為4

故選：C

4.若。<0,-1<8<0,則下列不等關系一定正確的是（）

A.a<bB.a<b~C.時>問D.a+b>0

【答案】B

【詳解】

a<0,b2>0>所以。<〃

故選：B

5.不等式/一2%一3<0成立的一個充分不必要條件是（）

A.-1<x<3B.—lWx<2C.―3<x<3D.0<x<3

【答案】D

【詳解】

2

VX-2X-3<0.

-1<x<3.

v[0,3)C(-1,3)

，不等式/一2%_3<0成立的一個充分不必要條件是[0,3）,

故選：D.

12

6.已知。〉0,Z?>0,一+—=2,則。+26的最小值為（）

ab

95

A.9B.5C.-D.一

22

【答案】c

【詳解】

f—I—](a+2/?)=ld-----1-------1-4>9,所以“+2b

yabrba2

第7題解析：由題意知，AM在平面A4cA和平面BB?C上的投影分別為和BQ,取4。中點E，

連片E,B?,VBXEL\M,B.C1BC,,：.B{EA.AM,BtCA.AM,

故AM，平面BCE,

所以N點的軌跡即為平面B{CE與正方體表面的交線，

取A。中點尸，連接￡尸，FC,則EF〃BC，

二⑸，E，F,C四點共面，

二N點的軌跡即為等腰梯形B】EFC,

由正方體棱長為2得耳。=2。=20,B]E=FC=5

故軌跡長度為2石+3&?

7.古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基

礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質量的乘積，某金店用一桿不準

確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的祛碼放在左盤，將黃金放于

右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客

實際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【詳解】

解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為右臂長為人（不妨設,

先稱得的黃金的實際質量為網，后稱得的黃金的實際質量為加2.

由杠桿的平衡原理：bm}=ax5,am,,=bx5.解得町

ba

5b5a

則町+嗎=---1------.

ab

下面比較叫+m2與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）

）2

“，I〃4十，的廠1U——T---IV---------，

abab

因為球b,所以5—。）〉0,即叫+網＞10.

ab

所以這樣可知稱出的黃金質量大于l（）g.

故選：A

8.設正實數a、8滿足a+匕=1,則下列說法錯誤的是（）

A.有最大值4B.-+—---^有最小值3

2a+2b2a+b

C.有最小值gD.&+?有最大值后

【答案】B

【詳解】

因為正實數“、。滿足。+人=1.

對于A選項，由基本不等式可得疝W竺=!，當且僅當a=b=2時，等號成立，A選項正確;

222

對于B選項，由基本不等式可得

11；[(a+2b)+(2a+b)]1f,2a+ba+2方

------------1------------=-2+-----+-----

a+2h2a+b\a+2h2a+hJ31a+2h2a+b

、1(cc+21+4

>-2+2」--------

3\2a+ba+2b3

當且僅當a=A=1時，等號成立，B選項錯誤；

2

對于C選項，vl=