新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題12 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（原卷版）

專題十二《空間向量在立體幾何中的應(yīng)用》講義知識梳理.空間向量1．平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．2．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝03．異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分別是直線a，b的方向向量．4．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sinφ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)5．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))的夾角，如圖(1)．(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖(2)(3)．6．利用空間向量求距離(1)兩點間的距離設(shè)點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則|AB|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).(2)點到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為|eq\o(BO,\s\up7(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|).題型一.利用空間向量證明平行與垂直1．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB=12（1）證明：PQ⊥平面DCQ；（2）證明：PC∥平面BAQ．2．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E為CD中點．（1）求證：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．3．如圖，四棱錐S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD．題型二.異面直線的夾角1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，AB＝2，AD＝22，PA＝2，則異面直線BC與AE所成的角的大小為（）A．π6 B．π4 C．π32．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段A1C上運動（包括端點），則BP與AD1所成角的取值范圍是．3．在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q為PD中點．（Ⅰ）求證：PD⊥BQ；（Ⅱ）求異面直線PC與BQ所成角的余弦值．題型三.線面角1．如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1的地面邊長為a，側(cè)棱長為2a，則AC1與側(cè)面ABB1A1A．30° B．45° C．60° D．90°2．若直線l與平面α所成角為π3，直線a在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線aA．[0，23π] B．[π33．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，∠ABC=π3，∠BCA=π2，點D，E分別在棱PB，PC上，且（1）求證：BC⊥平面PAC；（2）當(dāng)D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值．

題型四.二面角1．如圖在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC=2，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值2．如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線，點C在底面圓周上，若△PAB是邊長為2的正三角形，且CO⊥AB，則二面角P﹣AC﹣B的正弦值是（）A．6 B．427 C．77 3．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．題型五.空間中的距離1．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則點A到平面A1B1CD的距離為（）A．233 B．2 C．2 2．在底面是直角梯形的四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為．3．如圖，已知兩個正四棱錐P﹣ABCD與Q﹣ABCD的高分別為1和2，AB＝4．（Ⅰ）證明PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求異面直線AQ與PB所成的角；（Ⅲ）求點P到平面QAD的距離．

題型六.空間向量綜合——存在問題、折疊問題1．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC=12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是（1）證明：直線CE∥平面PAB；（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．2．如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．（Ⅰ）證明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H為PD上的動點，AB＝2，EH與平面PAD所成最大角的正切值為62，求三棱錐E﹣AFC3．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達(dá)點F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求證：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為155，求二面角E﹣DF﹣C4．如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置（P?平面ABCE）．（Ⅰ）證明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若PB=6，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為155，若存在，求出

題型七.空間向量與立體幾何選填綜合1．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為13A．2 B．3 C．4 D．52．如圖，圓柱O1O2的底面圓半徑為1，AB是一條母線，BD是⊙O1的直徑，C是上底面圓周上一點，∠CBD＝30°，若A，C兩點間的距離為7，則圓柱O1O2的高為，異面直線AC與BD所成角的余弦值為．3．已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為3，那么P到平面ABC的距離為．4．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點E，F(xiàn)分別是線段AB，C1D1上的動點，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，且滿足點P到點F的距離等于點P到平面ABB1A1的距離，則當(dāng)點P運動時，PE的最小值是（）A．5 B．4 C．42 D．255．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長度的最小值時（）A．23 B．33 C．236．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，點P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，若D1P⊥CM，則△PBC的面積的最小值為7．如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線AC與BC1所成的角為60° B．直線AB1與平面ABC1D1所成角為45° C．二面角A﹣B1C﹣B的正切值為2 D．四面體D1﹣AB1C的外接球的體積為38．如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，則（）A．A1C⊥平面AMN B．二面角A1﹣MN﹣A的正切值為22C．三棱錐A1﹣AMN的內(nèi)切球半徑為12D．過直線BD與平面AMN平行的平面截該正方體所得截面的面積為18

課后作業(yè).空間向量1．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝3，CD＝2，BC=3，E在AB上，且AD＝AE．將△ADE沿DE折起，使得點A到點P的位置，且PB＝PC，如圖2．（1）證明：平面PDE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣PB﹣E的正弦值．2．已知：在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=12AD，G是PB的中點，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥（Ⅰ）求證：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．3．如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍，P為側(cè)棱SD上的點．（1）求證：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD=23，點F是AC上的動點．現(xiàn)將矩形ABCD沿著對角線AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得D'B=（Ⅰ）求證：當(dāng)AF=3時，D'F⊥BC（Ⅱ）試求CF的長，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小為π45．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是