天津市近年數(shù)學(xué)中考試題18題答案及解析

天津市近年數(shù)學(xué)中考試題18題答案及解析1.〔天津市2006年3分〕如圖，已四邊形紙片ABCD，現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到：▲〔用“能〞或“不能〞填空〕。假設(shè)填“能〞，請(qǐng)確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；假設(shè)填“不能〞，請(qǐng)簡要說明理由。____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【答案】能。如圖，取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E、G、F、H，連接EF、GH，那么EF、GH為裁剪線。EF、GH將四邊形ABCD分成1、2、3、4四個(gè)局部，拼接時(shí)，圖中的1不動(dòng)，將2、4分別繞點(diǎn)H、F各旋轉(zhuǎn)180°，3平移，拼成的四邊形滿足條件?！究键c(diǎn)】平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)?！痉治觥坑尚D(zhuǎn)、平移和中點(diǎn)，可知，MO=MH＋HO=HG=KJ＋JI=KI，MK=ML＋LK=EF=OF＋FI=OI，∴四邊形OIKM是平行四邊形。2.〔天津市2007年3分〕如圖，直線經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且=，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔與圓心O不重合〕，直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q。問：是否存在點(diǎn)P，使得QP=QO；▲〔用“存在〞或“不存在〞填空〕。假設(shè)存在，滿足上述條件的點(diǎn)有幾個(gè)？并求出相應(yīng)的∠OCP的大??；假設(shè)不存在，請(qǐng)簡要說明理由：?！敬鸢浮看嬖?。符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)：當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，∠OCP=40°；當(dāng)點(diǎn)P在OB的延長線上時(shí)，∠OCP=20°；當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長線上時(shí)，∠OCP=100°?！究键c(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理?！痉治觥奎c(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段AO上，點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)P在OA的延長線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上，如圖1，∵在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ。在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO。又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP=120°?！唷螼CP=40°。②當(dāng)點(diǎn)P在線段OA的延長線上，如圖2，∵OC=OQ，∴∠OQP=?！逴Q=PQ，∴∠OPQ=。在△OCP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°，∴，解得∠QOC=20°。∴∠OQP=80°?！唷螼CP=100°。③當(dāng)P在線段OA的反向延長線上，如圖3，∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=，即∠COQ=1800－2∠OCP?！逴Q=PQ，∴∠POQ=。∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°?！?800－2∠OCP＋=150°，解得∠OCP=20°。3.〔天津市2023年3分〕有一張矩形紙片ABCD，按下面步驟進(jìn)行折疊：第一步：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，得折痕EF；第二步：如圖②，將五邊形AEFC′D折疊，使AE、C′F重合，得折痕DG，再翻開；第三步：如圖③，進(jìn)一步折疊，使AE、C′F均落在DG上，點(diǎn)A、C′落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)E、F落在點(diǎn)E′處，得折痕MN、QP.這樣，就可以折出一個(gè)五邊形DMNPQ.〔Ⅰ〕請(qǐng)寫出圖①中一組相等的線段▲〔寫出一組即可〕；〔Ⅱ〕假設(shè)這樣折出的五邊形DMNPQ〔如圖③〕恰好是一個(gè)正五邊形，當(dāng)，，時(shí)，有以下結(jié)論：①；②；③； ④.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是▲〔把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上〕.【答案】〔Ⅰ〕AD=C′D(答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；〔Ⅱ〕①②③?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，【分析】〔Ⅰ〕根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，直接得出結(jié)果?！并颉尝佟邔⒕匦渭埰珹BCD折疊，使點(diǎn)B、D重合，∴DE=BE。設(shè)AE=，那么由得BE=DE=。在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+AD2=DE2，那么由AE=，，DE=得，展開得，。又∵在正五邊形中〔如圖③〕，∠C'DA=108°，那么∠ADE=108°－90°=18°?！嘣赗t△ADE中，AE=AD·tan∠ADE，即?！?。所以①正確。②如圖，連接GB，NB。由矩形和折疊的性質(zhì)知點(diǎn)D、G、B共線；點(diǎn)M、N、B共線，且∠NGB=900。由題意知：正五邊形邊長，那么NG=，∠GBN=18°，GB=?！嘣赗t△GBN中，，即。所以②正確。③由題意知：∠NBA=18°，，MA=，∴在Rt△ABM中，，即。所以③正確。④如圖，過點(diǎn)N作NH∥BD，交MQ于點(diǎn)H。那么∠MNH=∠GBN=18°，MN=，MA′=MA=，HA′=NG=，即MH=MA′－HA′=－=?！嘣赗t△MNH中，，即。所以④不正確。綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③。4.〔天津市2023年3分〕如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點(diǎn)，DE=1．以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ADE′，連接EE′，那么EE′的長等于▲．【答案】?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理。【分析】在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解：根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：BE′=DE=1。在直角△EE′C中：EC=DC－DE=2，CE′=BC＋BE′=4。根據(jù)勾股定理得到：。5、〔天津市2023年3分〕〔18〕如圖，有一張長為5寬為3的矩形紙片，要通過適當(dāng)?shù)募羝?，得到一個(gè)與之面積相等的正方形．〔Ⅰ〕該正方形的邊長為〔結(jié)果保存根號(hào)〕；〔Ⅱ〕現(xiàn)要求只能用兩條裁剪線，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種裁剪的方法，在圖中畫出裁剪線，并簡要說明剪拼的過程：___________________________．答案如圖，有一張長為5寬為3的矩形紙片ABCD，要通過適當(dāng)?shù)募羝?，得到一個(gè)與之面積相等的正方形．(Ⅰ)該正方形的邊長為_________。(結(jié)果保存根號(hào))(Ⅱ)現(xiàn)要求只能用兩條裁剪線．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種裁剪的方法．在圖中畫出裁剪線，并簡要說明剪拼的過程：_如圖．①作出BN=(BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)：②畫出兩條裁剪線AK，BE(AK=BE=．BE⊥AK)：③平移△ABE和△ADK．此時(shí)，得到的四邊形BEF'G即為所求．________。作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．專題：作圖題．分析：〔I〕設(shè)正方形的邊長為a，那么a2=3×5，可解得正方形的邊長；

〔II〕以BM=4為直徑作半圓，在半圓上取一點(diǎn)N，使MN=1，連接BN，那么∠MNB=90°，由勾股定理，得BN=42-12=，由此構(gòu)造正方形的邊長，利用平移法畫正方形．解答：解：〔I〕設(shè)正方形的邊長為a，那么a2=3×5，解得a=；

〔II〕如圖，

〔1〕以BM=4為直徑作半圓，在半圓上取一點(diǎn)N，使MN=1，連接BN，由勾股定理，得BN=；

〔2〕以A為圓心，BN長為半徑畫弧，交CD于K點(diǎn)，連接AK，

〔3〕過B點(diǎn)作BE⊥AK，垂足為E，

〔4〕平移△ABE，△ADK，得到四邊形BEFG即為所求．點(diǎn)評(píng)：此題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)圖形設(shè)計(jì)分割方案6、〔2023天津市3分〕“三等分任意角〞是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題一個(gè)角∠MAN設(shè)〔Ⅰ〕當(dāng)∠MAN=690時(shí)，的大小為▲〔度〕；〔Ⅱ〕如圖，將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB=2.5cm．現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請(qǐng)你在圖中作出，并簡要說明作法〔不要求證明〕▲．【答案】〔Ⅰ〕23?！并颉橙鐖D，讓直尺有刻度一邊過點(diǎn)A，設(shè)該邊與過點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，保持直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時(shí)∠MAD即為所求的∠α。【考點(diǎn)】作圖〔應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖〕，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥俊并瘛掣鶕?jù)題意，用69°乘以，計(jì)算即可得解：×69°=23°。〔Ⅱ〕利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，并且使斜邊所在的直線過點(diǎn)A，且斜邊的長度為5，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊上的中線等于AB的長度，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可知，∠BAD=2∠BDC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BDC=∠MAD，從而得到∠MAD=∠MAN。7、〔2023天津市3分〕如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．〔Ⅰ〕△ABC的面積等于6；〔Ⅱ〕假設(shè)四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如下圖的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡要說明畫圖方法〔不要求證明〕取格點(diǎn)P，連接PC，過點(diǎn)A畫PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過點(diǎn)D畫CB的平行線，與AB相交得點(diǎn)E，分別過點(diǎn)D、E畫PC的平行線，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)，那么四邊形DEFG即為所求．考點(diǎn)：作圖—相似變換；三角形的面積；正方形的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：〔Ⅰ〕△ABC以AB為底，高為3個(gè)單位，求出面積即可；〔Ⅱ〕作出所求的正方形，如下圖，畫圖方法為：取格點(diǎn)P，連接PC，過點(diǎn)A畫PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過點(diǎn)D畫CB的平行線，與AB相交得點(diǎn)E，分別過點(diǎn)D、E畫PC的平行線，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)，那么四邊形DEFG即為所求解答：解：〔Ⅰ〕△ABC的面積為：×4×3=6；〔Ⅱ〕如圖，取格點(diǎn)P，連接PC，過點(diǎn)A畫PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過點(diǎn)D畫