浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，．故選：B．2.若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）A.2i B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D3.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4.物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計(jì)算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動到點(diǎn)，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（）A.25 B.5 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，，所以，?故選：A.5.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，得k最小，此時(shí)設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C6.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.7.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D8.如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個球的表面積和為.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是D.若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是【答案】ACD【解析】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為，且，則樣本乙的數(shù)據(jù)為，且，對于選項(xiàng)A：樣本甲的極差為，樣本乙的極差，因?yàn)?，即，所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；對于選項(xiàng)B：記樣本甲的方差為，則樣本乙的方差為，因?yàn)?，即，所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)闃颖炯椎闹形粩?shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是，故C正確；對于選項(xiàng)D：若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是，故D正確；故選：ACD.10.已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則C.若，則的最大值為D.若，則最大值為4【答案】AD【解析】對于A，若，則可知點(diǎn)到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點(diǎn)到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為的中點(diǎn)到直線的距離的兩倍.點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯誤，D正確..故選：AD.11.已知甲盒中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，4，5，乙盒中有五個相同的小球，標(biāo)號為3，4，5，6，7.現(xiàn)從甲、乙兩盒中分別隨機(jī)抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號相同”，事件B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和為奇數(shù)”，事件C＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于8”，則（）.A.事件A與事件B是互斥事件B.事件A與事件B是對立事件C.D.【答案】AC【解析】事件A的所有基本事件為甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3個；事件B的所有基本事件為甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12個；事件C的所有基本事件為甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10個.從甲、乙兩盒中各取1個小球共有25個基本事件.因?yàn)槭录嗀與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B互斥，故A正確；因?yàn)椋?，，所以B錯誤；因?yàn)槭录乃谢臼录灿?2個，所以，所以，故C正確；因?yàn)槭录乃谢臼录灿?個，所以，所以，故D錯誤.故選：AC12.如圖，在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點(diǎn)，直線與底面所成的角分別記為，且，記動點(diǎn)P的軌跡與棱的交點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.為中點(diǎn)B.線段長度的最小值為5C.存在一點(diǎn)，使得平面D.若在正四棱柱表面，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】BCD【解析】設(shè)在底面的投影為，連接，由題可知，所以，即，建系可得：，，，即化簡得：，即P在球心，半徑的球上，所以，故B正確；設(shè)，則，即，故A錯誤；取上一點(diǎn)上一點(diǎn)，使，連接，易得，由正四棱柱的特征可知：，而平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，易知球心到線段的距離為，故截面與球存在交點(diǎn)，所以存在一點(diǎn)，使得平面，故C正確；當(dāng)位于側(cè)面上時(shí)，P軌跡為劣弧，易知，當(dāng)位于側(cè)面上時(shí)，P軌跡為劣弧，易知，則點(diǎn)的軌跡長度,如下圖所示：故D正確.故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為___________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn)且方向向量為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故答案為：14.已知，，且，則的最小值為______.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，即，因，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以的最小值為1.故答案為：115.某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛心活動均需該組織2位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨(dú)立，隨機(jī)地發(fā)給2位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為______．【答案】.【解析】設(shè)甲同學(xué)收到李老師和張老師的信息分別為事件A，B，且相互獨(dú)立，∴，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動通知為：.故答案為：.16.已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實(shí)數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.【答案】【解析】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時(shí)，最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，解得，即，又因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為．18.亞洲運(yùn)動會簡稱亞運(yùn)會，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運(yùn)動會，由亞洲奧林匹克理事會的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運(yùn)會在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運(yùn)動員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主.第19屆杭州2022年亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強(qiáng)群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運(yùn)知識競賽活動.活動分為男子組和女子組進(jìn)行，最終決賽男女各有40名選手參加，右圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)；（2）若計(jì)劃從男子組中105分以下的選手中隨機(jī)抽樣調(diào)查2個同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？（3）若女子組40位選手的平均分為117，標(biāo)準(zhǔn)差為12，試求所有選手的平均分和方差.解：（1）因?yàn)橐延芯匦蔚拿娣e和為，所以缺失的矩形面積為，所以高度為，由于，所以第10名記為第75百分位數(shù)，設(shè)第10名的成績?yōu)?，則位于第5組，且，解得，所以成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)為129；（2）105以下合計(jì)6個人，將6人依次編號為1，2，3，4，5，6（95分以下的人編號為1，2），任選2個人的方法數(shù)，列舉出所有樣本點(diǎn)：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共計(jì)15種，包含1，2的有9種，故概率為；（3）男子組選手的平均分，男子組得分的方差所有選手的平均得分為，所以所有選手得分的方差.19.已知函數(shù).（1）若方程在上有且只有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度.解：（1），當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，方程在上有且只有一個實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象只有一個公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，觀察圖象，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在的圖象只有一個公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.（2）由（1）知，，即，在中，，即，則，解得，在中，，，由正弦定理得，則，顯然，有，于是，即有，則，是等腰三角形，所以.20.已知圓：M：.關(guān)于直線對稱，記點(diǎn)，過點(diǎn).的直線與圓相切于點(diǎn).（1）求的最小值；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求切點(diǎn)所在的直線方程.解：（1）因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，所以，即，故點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)榈淖钚≈导礊榈街本€的距離，由于，即，所以，即.（2）由（1）知，當(dāng)取最小值時(shí)，直線垂直直線，可得直線的方程為，即，聯(lián)立解得，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共圓，故以為直徑的圓的方程為，又已知圓，兩圓方程相減得的方程為.21.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.解：（1）法一：連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，，又平面，平面，平面平面，又平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點(diǎn)，，又平面平面.法二：由平面，平面，又為等邊三角形，為中點(diǎn)，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又平面平面.法三：（同法二建系）設(shè)平面的一個法向量為，即不妨取，則，則所以平面的一個法向量為，，，平面（2）由（1）坐標(biāo)法得，平面的一個法向量為（或）點(diǎn)到F到平面的距離=（3）設(shè)，則，；由（1）知：平面平面的一個法向量（或者由（1）中待定系數(shù)法求出法向量）；設(shè)平面的法向量，則，令，則；，令