安徽省安慶市名校2023年八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

安徽省安慶市名校2023年八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．石墨烯是現(xiàn)在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅是0.00000000034m，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（

）A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m2．甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行射箭測(cè)試，每人10次，測(cè)試成績的平均數(shù)都是8.9環(huán)，方差分別是s甲2＝0.45，s乙2＝0.50，s丙2＝0.55，s丁2＝0.65，則測(cè)試成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．將0.000000517用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)有理數(shù)C．一個(gè)正數(shù)只有一個(gè)平方根D．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不小于零5．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，設(shè)正方形ADOF的邊長為，則（）A．12 B．16 C．20 D．246．關(guān)于等腰三角形，有以下說法：（1）有一個(gè)角為的等腰三角形一定是銳角三角形（2）等腰三角形兩邊的中線一定相等（3）兩個(gè)等腰三角形，若一腰以及該腰上的高對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)等腰三角形全等（4）等腰三角形兩底角的平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等其中，正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)7．關(guān)于x的方程有增根則a=()A．-10或6 B．-2或-10 C．-2或6 D．-2或-10或68．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，則∠DAC＝（）A．90° B．20° C．45° D．70°9．如圖，△ABC中，AB=6，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作DEBC分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，則△ADE的周長為（

）A．10 B．12 C．14 D．不能確定10．下列計(jì)算，正確的是（）A．a(chǎn)2﹣a=a B．a(chǎn)2?a3=a6 C．a(chǎn)9÷a3=a3 D．（a3）2=a6二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E．若BD＋AC＝3a，則AC＝_________．(用含a的式子表示)12．如圖，中，、的平分線交于點(diǎn)，，則________．13．人體中紅細(xì)胞的直徑約為，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)應(yīng)為_________．14．比較大?。篲________15．如圖所示，直線、的交點(diǎn)坐標(biāo)是___________，它可以看作方程組____________的解．16．如圖，已知AB⊥CD，垂足為B，BC=BE，若直接應(yīng)用“HL”判定△ABC≌△DBE，則需要添加的一個(gè)條件是__________．17．方程組的解是____．18．如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB=____．三、解答題(共66分)19．（10分）求證：三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°20．（6分）如圖，是由三個(gè)等邊三角形組成的圖形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（1）在圖①中畫出一個(gè)直角三角形，使得AB為三角形的一條邊；（2）在圖②中畫出AD的垂直平分線．（1）（2）21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于，且面積為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式．（2）如圖1設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作以為直角頂點(diǎn)的等腰，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，若為線段上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（8分）如圖①，中，，、的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖②，若，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖③，若中的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．23．（8分）如圖1，△ABC是邊長為8的等邊三角形，AD⊥BC下點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E（1）求證：AE＝3EB；（2）若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，如圖2所示，求PE+PF的最小值及此時(shí)BP的長；（3）在（2）的條件下，連接EF，若AD＝，當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，△PEF的面積是．24．（8分）如圖（1）是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按照?qǐng)D（2）的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖（2）中陰影部分的面積。方法1．________________；方法2：______________．請(qǐng)你寫出下列三個(gè)式子：之間的等量關(guān)系___________；（2）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決下列問題：已知，求；（3）實(shí)際上有許多恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖（3），它表示的恒等式是___________．25．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值，其中滿足26．（10分）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天80元，乙工廠加工費(fèi)用為每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成．在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天15元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】試題分析：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的概念可知：用科學(xué)記數(shù)法可將一個(gè)數(shù)表示的形式，所以將1．11111111134用科學(xué)記數(shù)法表示，故選C．考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法2、A【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可得出答案．【詳解】解：∵s甲2＝0.45，s乙2＝0.50，s丙2＝0.55，s丁2＝0.65，∴S丁2＞S丙2＞S乙2＞S甲2，∴射箭成績最穩(wěn)定的是甲；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．3、A【分析】由題意根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法，進(jìn)行分析表示即可.【詳解】解：0.000000517=.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．4、D【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義、數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系、平方根的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】A．帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不小于零，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的定義、數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系、平方根的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵5、D【分析】設(shè)正方形ADOF的邊長為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，整理方程即可．【詳解】解：設(shè)正方形ADOF的邊長為x，由題意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．6、B【分析】由題意根據(jù)全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和判斷即可．【詳解】解：（1）如果的角是底角，則頂角等于88°，此時(shí)三角形是銳角三角形；如果的角是頂角，則底角等于67°，此時(shí)三角形是銳角三角形，此說法正確；（2）當(dāng)兩條中線為兩腰上的中線時(shí)，可知兩條中線相等，當(dāng)兩條中線一條為腰上的中線，一條為底邊上的中線時(shí)，則這兩條中線不一定相等，所以等腰三角形的兩條中線不一定相等，此說法錯(cuò)誤；（3）若兩個(gè)等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等．則這兩個(gè)等腰三角形不一定全等，故此說法錯(cuò)誤；（4）等腰三角形兩底角的平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等，故此說法正確；綜上可知（1）、（4）正確.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7、A【分析】先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義求出分式方程的增根，將增根代入整式方程即可求出a的值．【詳解】解：①∵關(guān)于x的方程有增根∴解得：x=±5將x=5代入①，得a=-10；將x=-5代入①，得a=6綜上所述：a=-10或6故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)分式方程有增根，求方程中的參數(shù)，掌握分式方程的解法和增根的定義是解決此題的關(guān)鍵．8、B【分析】先根據(jù)高線和三角形的內(nèi)角和定理得：，再由余角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】∵AD是△ABC的高故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記三角形的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．9、A【分析】由題意易得△BDP和△PEC為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，DE∥BC，∠DPB=∠PBC，∠DPB=∠PBC=∠ABP，BD=DP，同理可證PE=EC，AB=6，AC=4，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是熟練掌握“雙平等腰”這個(gè)模型．10、D【解析】A、a2-a，不能合并，故A錯(cuò)誤；B、a2?a3=a5，故B錯(cuò)誤；C、a9÷a3=a6，故C錯(cuò)誤；D、（a3）2=a6，故D正確，故選D．二、填空題(每小題3分,共24分)11、a【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得∠ADC=30°，最后由直角三角形中的30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可求出AC的長度．【詳解】解：連接AD．

∵AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，

∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=15°．∴∠ADC=30°，

又∠C=90°，∴AC=AD=BD=(3a-AC)，∴AC=a．

故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12、72°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠1+∠2的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在△BPC中，∠BPC=126°，

∴∠1+∠2=180°-∠BPC=180°-126°=54°，

∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，

∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×54°=108°，

∴在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-108°=72°．

故答案為：72°．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平分線性質(zhì)．運(yùn)用整體思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解題的關(guān)鍵．13、【分析】科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為，表示較小數(shù)時(shí)n為負(fù)整數(shù)，且等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零（包括小數(shù)點(diǎn)前邊的零）的個(gè)數(shù).【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)計(jì)數(shù)法，熟練掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.14、＜【分析】將兩數(shù)平方后比較大小，可得答案.【詳解】∵，，18＜20∴＜故填：＜.【點(diǎn)睛】本題考查比較無理數(shù)的大小，無理數(shù)的比較常用平方法.15、(2，2)【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與待定系數(shù)法，即可求解．【詳解】有函數(shù)圖象，可知：直線、的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2，2)；設(shè)直線的解析式：y=kx+b，把點(diǎn)(2，2)，(0，1)代入y=kx+b，得，解得：，∴直線的解析式：，同理：直線的解析式：，∴直線、的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作的解．故答案是：(2，2)；．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解的關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，是解題的關(guān)鍵．16、AC=DE【解析】用“HL”判定△ABC≌△DBE，已知BC=BE，再添加斜邊DE=AC即可.17、【分析】利用代入消元法將x=1代入到x+y=5中，解出y即可．【詳解】解：，將x=1代入到x+y=5中，解得：y=4，∴方程的解為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查用代入消元法解二元一次方程組．18、105°．【分析】先根據(jù)直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案為：105°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、見解析【解析】分析：根據(jù)題目寫出已知，求證，證明即可.詳解：已知：的三個(gè)內(nèi)角分別為；

求證：．

證明：過點(diǎn)A作直線MN，使MN∥BC．

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定義）

∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代換）

即∠A+∠B+∠C=180°．點(diǎn)睛：考查平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)A作直線MN，使MN∥BC．是解題的關(guān)鍵.20、（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）四邊形ACED和四邊形ABCD都是菱形，對(duì)角線AC⊥AE，根據(jù)AB∥CD，可證得AB⊥AE，問題可解；（2）四邊形ABCD是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形．對(duì)角線AC和BD關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以其交點(diǎn)F必在對(duì)稱軸上，又因?yàn)锽E的中點(diǎn)C也在對(duì)稱軸上，經(jīng)過點(diǎn)F，C畫直線問題可解．【詳解】解：（1）如圖①，連接AE，則△ABE即為所求作的直角三角形；（2）如圖②，連接AE、BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C、F畫直線CF，則直線CF即為AD的垂直平分線．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．21、（1），直線的解析式為．（2）坐標(biāo)為或．（3）存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解答；（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)落在上時(shí)，過作直線平行于軸，過點(diǎn)，作該直線的垂線，垂足分別為，，求出點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，如圖，同法可得，再將解代入直線解析式求出n值即可解答；（3）利用三角形面積公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出直線AM的解析式，作BE∥OC交直線于，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，再根據(jù)對(duì)稱性可得即可解答．【詳解】（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則有，，直線的解析式為．（2），，，，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)落在上時(shí)，過作直線平行于軸，過點(diǎn)，作該直線的垂線，垂足分別為，．是等腰直角三角形，易證，，，，點(diǎn)在直線，，，．②當(dāng)時(shí)，如圖，同法可得，點(diǎn)在直線上，，，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）如圖，設(shè)，，，，，，直線的解析式為，作交直線于，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，當(dāng)點(diǎn)在第三象限，由BC=DE，根據(jù)對(duì)稱性知，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)也符合條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積、待定系數(shù)法求直線解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，是一次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是理解題意，認(rèn)真分析，結(jié)合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)的信息，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等解題方法進(jìn)行推理、計(jì)算．22、（1），證明見解析；（2）存在，證明見解析；（3）等腰三角形為△BEO，△CFO，，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，進(jìn)而可得EO=EB，F(xiàn)O=FC，然后根據(jù)線段間的和差關(guān)系即得結(jié)論；（2）同（1）的思路和方法解答即可；（3）同（1）的思路和方法可得EO=EB，F(xiàn)O=FC，再根據(jù)線段間的和差關(guān)系即得結(jié)論．【詳解】（1）EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴EO=EB，F(xiàn)O=FC，∵EF=EO+OF，∴EF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，EF=BE+CF仍然成立．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴EO=EB，F(xiàn)O=FC，∵EF=EO+OF，∴EF=BE+CF；（3）等腰三角形為△BEO，△CFO，EF=BE﹣FC．理由如下：如圖③，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACG，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠ACO，∴EO=EB，F(xiàn)O=FC，∴△BEO與△CFO為等腰三角形，∵EF=EO－OF，∴EF=BE－CF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23、（1）見解析；（1）PE+PF的最小值＝6，BP=1；（3）1【分析】（1）解直角三角形求出BE，AE即可判斷．（1）如圖1中，延長DF到H，使得DH＝DF，連接EF，連接EH交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF的值最?。C明∠HEF＝90°，解直角三角形求出EH即可解決問題．（3）證明△PBE是等邊三角形，求出PE，EF即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC，∴BD＝DC＝4，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝1，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝6，∴AE＝3BE．（1）解：如圖1中，延長DF到H，使得DH＝DF，連接EF，連接EH交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF的值最?。摺螦ED＝90°，AF＝FD，∴EF＝AF＝DF，∵DF＝DH，∴DE＝DF＝DH，∴∠FEH＝90°，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，∴AD＝BD?tan60°＝4，∵∠BAD＝∠BAC＝30°，F(xiàn)E＝FA，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，∵FH＝AD＝4，∴EH＝FH?cos30°＝6，∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，∵PD＝DH?sin30°＝1，∴BP＝BD﹣PD＝1．（3）解：如圖1中，∵BE＝BP＝1，∠B＝60°，∴△BPE是等邊三角形，∴PE＝1，∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝1，∴S△PEF＝?PE?EF＝×1×1＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的知識(shí)以及解直角三角形，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24、（1）（m-n）2，，；（2）1；（3）【分析】（1）運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋；（2）常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2=a2+2ab+b2，（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）對(duì)a，b數(shù)值變換后的幾何圖解法，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想方法；（3）圖③的面積計(jì)算也有兩種方法，方法一是大長方形(長為的2m+n，寬為m+n)的面積是(2m+n)(m+n)，方法二是組成大長方形的各個(gè)小長方形或正方形的面積和等于大長方形的面積，故而得到了代數(shù)恒等式．【詳解】（1）方法1：陰影部分是一個(gè)正方形，邊長為m-n，根據(jù)陰影部分正方形面積計(jì)算公式可得S陰=（m-n）2，方法2：大正方形邊長為m+n，面積是：（m+n）2，四個(gè)長為m，寬為n的長方形的面積是4mn，陰影部分的面積是大正方形的面積減去四個(gè)長方形的面積S陰=（m+n）2-4mn，方法1與方法2均為求圖②中陰影部分的面積，所以結(jié)果相等，即（m-n）2=（m+n）2-4mn，故答案為：（m-n）2，，；（2）（a+b）2-4