高數(shù)級(jí)數(shù)習(xí)題課

高數(shù)級(jí)數(shù)理論部分練習(xí)10．5．28一．填空1．級(jí)數(shù)的和為。2．把函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)到：。3．級(jí)數(shù)的和為。4．設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為，則在處的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于。5．冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。6．若冪級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，則冪級(jí)數(shù)在時(shí)是否絕對(duì)收斂？7．若，則級(jí)數(shù)收斂，對(duì)么？（）8．若在上是以為周期的按段光滑函數(shù)，則=9．，當(dāng)=時(shí)收斂。10．級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù)收斂。（）11．若級(jí)數(shù)與都發(fā)散，則也發(fā)散。（）12．若級(jí)數(shù)發(fā)散，則。（）13．若級(jí)數(shù)收斂，那么它的更序級(jí)數(shù)一定收斂。（）14．若在上收斂于且每個(gè)都在上連續(xù)，則也在上連續(xù)。（）二．選擇題1．下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）（A）（B）（C）（D）。2．若級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中（）收斂。（A）（B）（C）（D）。3．設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中和不是1的為（）（A）（B）（C）（D）4．將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)得到（）（A）（B）（C）（D）5．下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（）（A）（B）（C）（D）6．（）A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、可收斂也可能發(fā)散7．的收斂域?yàn)椋ǎ〢、B、C、D、8．下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）A、B、C、D、9．若級(jí)數(shù)和都發(fā)散，則（）A、必發(fā)散；B、發(fā)散；C、必發(fā)散D以上說(shuō)法都不對(duì)10．是級(jí)數(shù)收斂的。必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非充分又非必要。11．下列命題正確的是．若與都發(fā)散，則也發(fā)散．若收斂，而發(fā)散，則必發(fā)散．若…且絕對(duì)收斂，則必收斂．級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界．12．下列命題正確的是．(A)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)一定收斂．(B)若為條件收斂級(jí)數(shù)，則一定發(fā)散．(C)若發(fā)散，則．(D)若收斂，則也收斂．三．計(jì)算與證明1．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。2．討論在時(shí)的斂散性。3．設(shè)的傅里葉級(jí)數(shù)為，求系數(shù)。4．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與收斂半徑。5．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑。6判別級(jí)數(shù)斂散性。7．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。8．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。9．求級(jí)數(shù)的收斂域，并求出它的和函數(shù)，由此求出的和。10．將，在上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并求出它的和函數(shù)。11．確定級(jí)數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)。12．求級(jí)數(shù)在其收斂域中的和函數(shù)。13．求級(jí)數(shù)的收斂半徑及和函數(shù)14.求的和函數(shù)。15．將函數(shù)在上展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)。16．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。參考答案填空1．2.3、04、35、6、絕對(duì)收斂7．×8．9、；10．×；11×12×13√14×二．選擇1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A三．計(jì)算與證明1.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為發(fā)散，所以收斂區(qū)間為。。2.當(dāng)時(shí)，,所以級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，，而在時(shí)收斂，所以時(shí)收斂。3.。4.，當(dāng)和時(shí)級(jí)數(shù)收斂，所以收斂區(qū)間為。收斂半徑為。5.，當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，所以收斂區(qū)間為，收斂半徑為。6.因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，而收斂，所以收斂。7.，收斂區(qū)間為。。8.，而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)都收斂，所以收斂區(qū)間為。令=，,則，于是，當(dāng)x=0時(shí)，和函數(shù)為0；當(dāng)x=1時(shí)，和函數(shù)為1。9．∴收斂域?yàn)榱?0．~11、收斂域?yàn)椋?2.===令， ，則= =13.公比，一般項(xiàng)；……10分14.從而收斂域?yàn)樵O(shè) 當(dāng)時(shí)，有15．將函數(shù)在上展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。解：要把在上展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)，先將延拓成上的偶函數(shù)，再延