【數(shù)學(xué)】湖北省孝感某中學(xué)2020-2021學(xué)年高二（下）調(diào)研試卷（2月份）（解析版）

湖北省孝感高級中學(xué)2020-2021學(xué)年

高二（下）調(diào)研試卷（2月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足iz=l-i,則|z|=（）

A.1B.V2C.2D.4

2.（5分）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲三次，事件“恰出現(xiàn)1次反面朝上”的概率記為p,

現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計p的值：用計算機產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，其中出現(xiàn)“0”表示

反面朝上，出現(xiàn)“1”表示正面朝上，結(jié)果如下，若出現(xiàn)“恰有1次反面朝上”的頻率記

為/，則p,/分別為（）

111001011010000111111111101010

000101011010001011100101001011

A.3,3B.3,7r33D.反，L

8Io8204"10420

c、2021_,,2,,2021

（5分）若（1-2x)—a()+a\x+a2X+…+。2021工，則4]+〃2+〃3+…+〃2021=(

A.2B.-1C.2D.-2

4.（5分）下列命題中正確的是（）

A.命題Fx（）20,xoVsiaro"的否定是"VxVO,x2sinx”

B.已知Z與E為非零向量，則是與E的夾角為銳角”的充要條件

C."x<0”是“不等式上<1成立”的必要不充分條件

x

D.己知例：x>3,N：x>\,則M是N的充分不必要條件

5.（5分）有5名同學(xué)從左到右站成一排照相，其中中間位置只能排甲或乙，最右邊不能排

甲，則不同的排法共有（）

A.42種B.48種C.60種D.72種

6.（5分）如圖，以垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A,8的任意一點，

AEJ_PC垂足為E,點尸是P8上一點，則下列判斷中不正確的是（)

B.AELEF

C.ACVPBD.平面AEF_L平面P8C

7.（5分）已知正三棱柱ABC-A\B\C\的底面邊長為若此三棱柱外接球的表面積為5m

則異面直線AG與B4所成角的余弦值為（）

A.AB.區(qū)C.-AD.-

814814

22

8.（5分）設(shè)橢圓C三一且_=1（4Q0）的兩個焦點分別為Q,6,若在x軸上方的

2,2

ab

C上存在兩個不同的點M,N滿足NQMF2=NF1NF2=Z2L，則橢圓c離心率的取值范

3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.（5分）下列說法錯誤的有（）

A.隨機事件A發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

B.在同一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發(fā)生

C.任意事件4發(fā)生的概率P（A）滿足0<P（A）<1

D.若事件A發(fā)生的概率趨近于0,則事件A是不可能事件

10.（5分）在疫情防護知識競賽中，對某校的2000名生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，可得到如圖

所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100J,60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表

值，則下列說法中正確的是（）

組距

0.030

0.020b.........~Hi-

0.015卜…「

0.010-------------H——

0005kr-|IIIII

o40506070809000r成績

A.成績在［70,80）的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為500

C.考生競賽成績的眾數(shù)為75分

D.考生競賽成績的中位數(shù)約為75分

11.（5分）首項為正數(shù)，公差不為。的等差數(shù)列｛斯｝,其前〃項和為S”現(xiàn)有下列4個命

題，其中正確的有（）

A.若Sio=O，則$2+S8=0

B.若S4=Si2，則使Si>0的最大的〃為15

C.若&5>0,516<0,則｛8｝中S8最大

D.若S7Vs8，則S8<S9

22

12.（5分）已知AI、A2是橢圓C：手比-=1長軸上的兩個頂點，點P是橢圓上異于4、

A2的任意一點，點。與點P關(guān)于x軸對稱，則下列四個命題中正確的是（）

A.直線以I與必2的斜率之積為定值一支

3

B.西?成〈0

C.△雨洪2的外接圓半徑的最大值為二返

6

D.直線布］與QA2的交點M在雙曲線（_（=1上

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）2020年新冠肺炎疫情期間，為停課不停上教課學(xué)習(xí)效果，組織了一次網(wǎng)上測試.并

利用分層抽樣的方法從高中3個年級的學(xué)生中隨機抽取了150人的測試成績，其中高一、

高二年級各抽取了40人,50人，若高三年級有學(xué)生1200人，則該高中共有學(xué)生____人.

14.（5分）在（x+1）（"+1）§的展開式中，，的系數(shù)為A,則。=.

15.（5分）河北疫情爆發(fā)后，某醫(yī)院抽調(diào)3名醫(yī)生，5名護士支援河北的三家醫(yī)院，規(guī)定每

家醫(yī)院民生一名，護士至少一名，則不同的安排方案有種.

16.（5分）己知曲線M上任意一點尸到點尸（0,2）的距離比到x軸的距離大2,直線/：

y=fcr+2與曲線M交于A,C兩點，與圓M-4），+3=0交于8,C兩點（A,B在

第一象限），則|AC|+4|BC|的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）己知△48C中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，有“+。2=/+慶.

（1）求角A的大??；

（2）若等差數(shù)列｛斯｝中，ai=2cosA,恁=9,設(shè)數(shù)列［---｝的前〃項和為S”，求證：

1<S<1.

32

18.（12分）在二項式（4+2）”的展開式中，前三項的系數(shù)和為73.

x

（1）求正整數(shù)〃的值；

（2）求出展開式中所有x的有理項.

19.（12分）（1）有2個人在一座7層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個人自第二層開始在

每一層離開電梯是等可能的，求2個人在不同層離開的概率.

（2）柜子里有3雙不同的鞋，隨機地取出2只，求事件“取出的鞋一只是左腳的，一只

是右腳的，但他們不成對”的概率.

20.（12分）2020年12月1日23時11分，我國探月工程嫦娥五號探測器降落在月球表面

預(yù)選著陸區(qū).在順利完成月面自動采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定的環(huán)

月軌道，并于12月17日1：59分精準(zhǔn)返回著陸.期間，歷經(jīng)23天、往返路程超過76

萬公里.嫦娥五號任務(wù)的圓滿完成，實現(xiàn)了我國航天史上的多項重大突破.

為了進(jìn)一步培養(yǎng)中學(xué)生對航空航天的興趣和愛好，某校航空航天社團在本校高一年級進(jìn)

行了納新工作.前五天的報名情況如表：

時間（第X天）12345

報名人數(shù)y（人）36101318

數(shù)據(jù)分析表明，報名人數(shù)與報名時間具有線性相關(guān)關(guān)系y=bx+a，據(jù)此請你解決以下問

題:

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測第8天的報名人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）;

（2）為了更好地完成遴選任務(wù)，由專家和社團現(xiàn)有的部分成員組成評審組，已知現(xiàn)有社

團成員6人，其中女生2名，男生4名，現(xiàn)欲從中任選2人作為面試評委，求選出的2

人中恰有一個男生和一個女生的概率.

nn

》（x「x）（y「y）￡x4y.-nxy

i=li=l

參考公式：b

nn_>=y-br

X（x「-x）2922a

>.xrnx

i=li=l

21.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。中，側(cè)面抬。為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AD

=2BC=2,/8AO=/ABC=90°.

（1）證明：PCLBC；

（2）若直線PC與平面附。所成角為30°,求二面角B-PC-。的余弦值.

222

22.（12分）已知橢圓C：三逐『l（a>b>0）的離心率與雙曲線X2-匚=1的離心率互

a2b23

為倒數(shù)，A,8分別為橢圓的左、右頂點，且|A8|=4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過左頂點A的直線/與橢圓C另交于點。，與y軸交于點E,在平面內(nèi)是否存

在一定點P，使得而?而1=0恒成立？若存在，求出該點的坐標(biāo)，并求△AOP面積的最大

值；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.【解答】解：I?復(fù)數(shù)z滿足反=1-i,|i|?|z|=|l-ib

則|z|=|l-4=血，

故選：B.

C1

2.【解答】解：事件“恰出現(xiàn)1次反面朝上”的概率記為p,則p=才="|,

“恰有1次反面朝上”的頻數(shù)為7,所以廠工，

20

故選：B.

3.【解答］解：由(1-2x)一岡=。0+。11+〃2工~+…+。2021/°21，

令X=0得1=。0；令X=1得-1=。()+。1+。2+…+。2021，

.??。］+。2+…+。2021=-2?

故選：D.

4.【解答】解:A.由命題“電20,M)Vsiar"的否定是"VxNO,xNsinx”,因此不正確；

B.若Z與E為非零向量，則嗯兀>0"=之與E的夾角為銳角或為0,所以嗎,E>0”

是“二與E的夾角為銳角”的必要不充分條件，因此不正確；

C.不等式工<1成立ox<0,或x>l,因此“XVO”是“不等式上<1成立”的充分不

xx

必要條件，因此不正確；

D.M-.x>3,N：x>\,則A/nM反之不成立，因此M是N的充分不必要條件，正確.

故選：D.

5.【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①甲在中間位置，將剩下4人全排列，安排到兩邊位置，有A44=24種情況，

②乙在中間位置，甲不能在最右邊，甲有3種情況，將剩下3人全排列，安排到其他位

置，此時有3A3，=18種情況，

故有24+18=42種不同的排法；

故選：A.

6.【解答］解：在A中，為圓上異于A,B的任意一點,

C.BCVAC,

,：PA1BC,PAQAC=A,

：.BC_L平面PAC,

故A正確；

在B中，：8C_L平面B4C,AEu平面以C,

C.BCLAE,

'.'AE1.PC,PCnBC=C,

；.AE_L平面PBC,

「EFu平面PBC,

J.AELEF,

故B正確；

在C中.,.若AC_LPB,

則AC_L平面PBC,

則ACLPC,與4cLR1矛盾，

故AC與PB不垂直，

故C錯誤；

在D中，：AE_L平面P8C,AEcffiAEF,

平面AEF_L平面PBC,

故D正確.

故選：C.

7?【解答】解：?.?正三棱柱ABC-A\B\C\的底面邊長為此三棱柱外接球的表面積為5K,

.??此外接球半徑R=、叵=返

丫4兀2

取3C中點￡>,連結(jié)AQ,設(shè)△A8C重心為G,三棱柱外接球球心為0,

取A4中點E,連結(jié)0E,A。，

則4。=/?=返，OE=4G=

2

C.AA\=2A\E=2

以A為原點，在平面A8C內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AAi為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),Ai(0,0,1),B(3,返，0),C|(0,5/3,1),

22

AC；=(0,1)'(-考""

設(shè)異面直線ACi與BA1所成角為。，

.?..1

lAC^BAj_7工

則COS0=

1記卜西1y.y8

.?.異面直線AG與BAi所成角的余弦值為」.

8

故選：A.

8.【解答】解：如圖，當(dāng)點M在上頂點A時，NQMa最大，

要使在x軸上方的C上存在兩個不同的點M,N滿足/QMF2=/FIN&=2上,

3

只需竺，即乙4尸2Q<三

36

22

=>3Z?2<C2=>3(a2-c)<c,

=>3〃2<4c2,

則橢圓C離心率的取值范圍是：(返，I),

2

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得()分，部分選對的得3分.

9.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,隨機事件A發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，A正確，

對于B,基本事件是互斥的，在同一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發(fā)生，B正

確，

對于C,任意事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0<P(A)<1,C錯誤，

對于D,不可能事件的概率為0,D錯誤，

故選：CD.

10.【解答】解：由頻率分布直方圖可知，成績在［70,80］的頻率最大，

因此成績分布在此的考生人數(shù)最多，所以A正確；

成績在［40,60］的頻率為0.005X10+0.015X10=0.2,

所以不及格的人數(shù)為2000X0.2=400(人)，所以B錯誤；

成績在［70,80］的頻率最大，所以眾數(shù)為75,即C正確；

成績在［40,70］的頻率和為0.4,

所以中位數(shù)為70+10X2」、73.33,即D錯誤.

0.3

故選：AC.

11?【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個式子:

(a[+aI。)X10

對于A,若5io=O,則Sio==0,則ai+aio=O,即2ai+9d=0,則出+品

2

=(2。1+“)+(8ai+28d)

=10ai+29dK0,A不正確;

對于B,若54=512，則S|2-S4—0,即怒+。6+...+。1|+。12=4(。8+49)=0，由于。|〉

0,則“8>0，?9<0,則有S15

15(a[+a]5)16(a[+a[6)

>0,Si6==0,故使S“>0的最大的”為15,B正確;

22

15(a[+a15)16(a[+ai6)

對于C,若Si5>0,Si6<0,則S]5=，=15a8>0，S16=

22

(a^+ag)X16

<0,則有償

2

>0,。9<0,則｛&｝中$8最大；c正確;

對于D,若S7Vs8，即a8=S8-S7>0,而S9-S8="9，不能確定其符號，D錯誤;

故選：BC.

12.【解答】解：設(shè)p(x0,y0),

22

VAi>A2是橢圓C：工一+^-=1長軸上的兩個頂點.二小(-2,0)A2(2,0)

2

21_X_n2-

yyy14-4,故A不正確.

則kPAkPB=。：—。■—。=---=---

2

x0+2X0-2XQ2-4XQ-44

22=2

由透(-2-沖，-yo)(2-即，-y0)=x0+y0-4jx0-l<0-故B

正確.

PA2=PA\=sinZB4|A=^.?由正弦定理:

當(dāng)P在短軸頂點時，442=4,2

V7

V7

-=2R

sin/PA]A

2

可得△力1A2的外接圓半徑的最大值R=1返；故C正確.

6

點Q與點P關(guān)于x軸對稱，設(shè)Q（即，-y0）,直線PA\與的方程分別為:

y=：O（x+2）…①

2+X。

y

y=90（X-2）……②

2-x0

22

2y0（X-4）

①②兩式相乘：可得------.

3x0

由X2p2

x。3

2222

帶入雙曲線,_1_=1，即直線網(wǎng)1與。4的交點M在雙曲線?-《-=1上;故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.【解答］解：由已知得高三年級抽取的學(xué)生數(shù)為150-40-50=60,

設(shè)該高中的學(xué)生總數(shù)為〃，則6。J50,解得〃=3000.

1200n

.?.該高中共有學(xué)生3000人.

故答案為：3000.

14.【解答】解：:（x+1）（辦+1）5的展開式中，7的系數(shù)為c&.a+c2?J=15,

UU

求得a—1,或a—-—,

2

故答案為：1或-3.

2

15?【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將3名醫(yī)生安排到三家醫(yī)院，有43?=6種安排方法，

②將5名護士分為3組，安排到三家醫(yī)院，

若分為3、1、1的三組，有CSSX&'MGO種分法，

若分為2、2、1的三組,XA33=90種分法,

則護士有60+90=150種安排方法，

則有6X150=900種不同的安排方案,

故選：A.

16.【解答】解：?..曲線M上任意一點P到點尸（0,2）的距離比到x軸的距離大2,

曲線M上任意一點P到點尸（0,2）的距離與到直線y=-2的距離相等,

則曲線M為拋物線，其方程為/=8y,焦點為尸（0,2）,

則直線y=kx+2過拋物線的焦點F,

當(dāng)上=0時，\AF]^\DF]=4,則+1?

|AF||DF|2

當(dāng)kWO時，如圖，過A作AKLy軸于K,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y周于E,

則|EK]=\EF]+\FK\=-p+\AF\cofiZAFK=\AF\,得|AF|=----J----,

1-cosZAFK

則上￡2絲還，同理可得U^J+c°s/AFK,

lAFlp|DF|p

.1121

'"lAFl'|DF|TV

化圓Mx2+y2-4y+3=0x2+(y-2)2=1,則圓N的圓心為凡半徑為1,

\AC\+4\BD\=\AF]+\+4(|DF|+1)=|A/q+4|O/q+5

4DF

=2C\AF\+4\DF])X(-rJ^i-4n-A1-)+5=2(5+-L^-L+JJ)+5

lAFl|DF|iDFllAFl

R>25(+5+22W.fDlFM|3|AMF|))+55=23.

當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=2|O勻時上式等號成立.

...|AC|+4|8￡>|的最小值為23,

故答案為：23.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【解答】解：（1）?.?/+C2=/+兒，

,b2^+c2-a2_1

cosA-

2bc2

XVA6（0,IT）,

.-K

??A=----?

3

TT

（2）由⑴知a]=2cosA=2cos~“=L

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

,.?。5=〃1+（5-1）d=9,

?"=2,

^=1+2（H-1）=2n-1,

..1_1二1z11s,

anard-l（2n-l）（2n+l）2（2n-l）（2n+l）

?「"、"

Tn7（l與1？11*112n1+l）7（111^）＜亍

顯然」—為遞減數(shù)列，

2n+l

故1一」為遞增數(shù)列，

2n+l

故Sn4（1另1）的最小值為S1卷，

故卜％時

18?【解答】解：（1）展開式的通項公式為〃+i=Ck（右）""（2）&

nx

則前三項的系數(shù)和為1+2C：+4C：=73，

即1+2M+2/I（n-1）=73,

得2〃2=72,得/=36,得〃=6,

即正整數(shù)〃的值為6.

06-3k

（2）則通項公式為〃+i=Ck（4）（A）k=C^2kx2,

6x6

當(dāng)Jt=o時生配=3,當(dāng)上=1時殳生=3,當(dāng)無=2時，生邈_=0,當(dāng)k=3時殳也處=

22222

-3,當(dāng)k=4時殳@-=-3,當(dāng)k=5時@二組=-且，當(dāng)k=6時殳迦=-6

22222

則所有X的有理項為八=/,73=60，75=240X-3,77=64X-6.

19.【解答】解：(1)試驗發(fā)生包含的事件是兩個人各有6種不同的方法，共有36種結(jié)果,

兩個人在同一層下有6種結(jié)果，

兩個人在同一層離開電梯的概率是a=1.

366

2個人在不同層離開的概率為P=

66

(2)可以先選出左腳的一只有c；種選法，然后從剩下的右腳中選出一只有c；種選法，

所以一共有種不同的取法，

所以事件“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但他們不成對”的概率為:

C3C22

P干

20.【解答】解：(1)由題意，計算(1+2+3+4+5)=3,

5

y=—X(2+6+10+13+18)=10,

5

5____

工xy-5x?y

所以2_187-5X3X1037,,7

0-255-5X910

￡x-5,x

i=li

a=y-b《=l°-3.7X3=-1.1,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=3.7x-1.1,

計算x=8時，y=3.7X8-1.1=28.5七29,

即可預(yù)測第8天的報名人數(shù)約為29人；

(2)設(shè)社團成員6人中女生2名為A、B,男生4名為c、d、e、f,

現(xiàn)從中任選2人，基本事件為AB、Ac、Ad、Ae、A/、Be、Bd、Be、Bf、cd、ceycf、de、

df、球共15種，

選出的2人中恰有一個男生和一個女生的基本事件是Ac、Ad,Ae、Af,Be、Bd、Be、Bf

共8種，

故所求的概率值為P=@.

15

21.【解答】解：（1）取A。的中點為0,連接P0,C0,

,.?△布。為等邊三角形，：.POLAD.

底面A8CO中，可得四邊形A8C0為矩形，.?.C0_LA￡>,

,：ponco=o,二人。，平面POC,

：PCu平面POC,ADLPC.

又AQ〃BC,所以PC_LBC…（6分）

（2）由面％￡>_1面438,PO_LAO知，.\P01WABCD,OP,OD,0c兩兩垂直，

直線PC與平面以。所成角為30°,即NCPO=30°,由AQ=2,知POf/^，得。。=