2022年廣西名校高考理科數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷及答案解析

2022年廣西名校高考理科數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x€Z|f-X-6<0},B=（x\x<\],則AAB=（）

A.（-1,1）B.{-1,0}C.[-1,2]D.{-1,0,1,2）

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2（3+力，則z的虛部等于（）

A.4/B.2zC.2D.4

3.（5分）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)

美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，

好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其

直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）

4.（5分）已知單位向量a,b,力?（Q+[b）=0,則a與b的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

x2y2

5.（5分）如圖，為、尸2分別為橢圓-7+77=1的左、右焦點，點P在橢圓上，XPOFi

a2bz

是面積為4百的正三角形，則廬的值是（）

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y

A.8V3B.2V3C.4V3D.4+2V3

6.（5分）北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報名到甲、乙、丙三個場館

做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法

共有（）

A.90種B.125種C.150種D.243利?

5

7.(5分)已知｛“〃｝為等比數(shù)列，若。2?。3=。1，且。4與2〃7的等差中項為￡則

的值為()

A.5B.512C.1024D.64

x2y2

8.(5分)已知雙曲線/-辟=l（a＞。，4。）的左、右焦點分別為F"放’點A是雙曲

線漸近線上一點,且AQ其中O為坐標(biāo)原點）MFi交雙曲線于點B,且|AB|=|8Fi|,

則雙曲線的離心率為（）

V26y/34

A.——B.——C.V2D.V3

44

9.（5分）瀑布是廬山的一大奇觀，為了測量某個瀑布的實際高度，某同學(xué)設(shè)計了如下測量

方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi),

可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角

371

的正切值為5,沿山道繼續(xù)走2。,〃，抵達(dá)B點位置測得瀑布頂端的仰角球已知該同學(xué)

71

沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為J則該瀑布的高度約為

)

A.60mB.90mC.108/HD.12O//2

7Tsinaa

10.（5分）若(0,一),-------tan-,貝！Jtana=()

22-cosa2

V3c.@V6

A.一B.V3D.

342

11.（5分）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x）,且當(dāng)爐（-8,0］時,f(x)+xf(x)

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606

<0成立，若4=（2°-）?/（2'）,b=（/〃2）?/（/"2）,c=dog2^>f（log2^,則a,b,

c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.c>h>aC.a>c>bD.c>a>h

12.（5分）如圖，四棱柱ABC。-481cl￡>i的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱A4JL平面

ABCD,且A4=4,E、尸分別是AB、BC的中點，P是線段上的一個動點（不含端

點），過P、E、F的平面記為a,Q在CCi上且CQ=1,則下列說法正確的個數(shù)是（）

①三棱錐Ci-PAC的體積是定值；

②當(dāng)直線BQ〃a時，DP=2；

③當(dāng)。P=3時，平面a截棱柱所得多邊形的周長為7夜；

④存在平面a,使得點4到平面a距離是A到平面a距離的兩倍.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若曲線/（%）=^-1（￡140）在點（--1））處的切線斜率為2,則a=.

14.（5分）2020年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學(xué)校需要安排男教師

2x-y>5,

x名，女教師y名做義工，x和y需滿足條件[x-y?2,，則該校安排教師最多為

W6,

人.

15.（5分）將函數(shù)f（x）=2cosa:的圖象先向左平移芻個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫

6

171

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩。?>0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（X）的圖象，若g（X）在（；，TT）

2co2

上沒有零點，則3的取值范圍是.

16.（5分）已知f（x）=1+ax-yjl+ax12,若對任意x6[0,V2J,f（x）WO恒成立，則實

數(shù)a的取值范圍為.

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三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）已知在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛斯｝中，02+43+44=21,且02-1，43+1，44+43

構(gòu)成等比數(shù)列｛鳳｝的前三項.

（1）求數(shù)列｛而｝,｛尻｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛/｝=,求數(shù)列｛C“的前〃項和

請在①斯與：-冼-----③（-1）"如+〃這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面

（如-1）（4+廠1）

的橫線上，并完成解答.

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18.(12分)某商品的包裝紙如圖1,其中菱形A8CO的邊長為3,且NABC=60°,AE=

AF=V3,BE=DF=26.將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點E,F,M,N

匯聚為一點P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

(I)證明：%_L底面A8CD；

V21

(H)設(shè)點T為8C上的點，且二面角B-附-7的正弦值為一，試求PC與平面用T

14

所成角的正弦值.

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19.(12分)如圖，P是拋物線E：/=4x上的動點，F(xiàn)是拋物線E的焦點.

(1)求|尸網(wǎng)的最小值；

(2)點、B,C在y軸上，直線PB,PC與圓(x-1)?+，=1相切.當(dāng)|P用44,6］時，求

|BC|的最小值.

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20.(12分)已知函數(shù)/(x)—lnx+^,g(x)=d+sinx,其中a€R.

(I)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若〃=1,試證明：/(x)V喈.

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21.（12分）為2020年全國實現(xiàn)全面脫貧，湖南貧困縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中茶

葉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分，由于當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹，保靖的“黃金茶”享

有“一兩黃金一兩茶”的美譽(yù).保靖縣某茶場的黃金茶場市開發(fā)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步開拓市

場，對黃金茶交易市場某個品種的黃金茶日銷售情況進(jìn)行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價x

（單位：百元/依）和銷售率y（銷售率是銷售量與供應(yīng)量的比值）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

X102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

（1）設(shè)z=/nx,根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型丫=匕％+。與、=82+。哪個更合適？

并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程（a,b的結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）某茶場的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場提供該品種的黃金茶1200依，根

據(jù)（1）中的回歸方程，估計定價x（單位：百元/依）為多少時，這家公司該品種的黃金

茶的日銷售額W最大，并求卬的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與x的相關(guān)系數(shù)r產(chǎn)-0.96,y與z的相關(guān)系數(shù)r2^0.99,x-35,y=0.45,

￡匕xf=9100,z?3.40,6z2?69.32,Jf=i?8.16,￡匕zf?71.52,

20.1,e3.4弋30.0，?-5=?33.1,/?=54.6.

參考公式：b=Xk（-）（兀了）=￡占,a=j位，r=

弟1（x,-%）2珞ixj-nx2

電Qi-為仇一刃

（Xi-x）2EjLi（y-y）2-

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(二)選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系，中，由/+/=1經(jīng)過伸縮變換I，：;得到曲線Ci,以

原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4cos。.

(1)求曲線Ci的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/的極坐標(biāo)方程為0=a(p€R),/與曲線Ci、曲線C2在第一象限交于P、

Q,且|OP|=|PQ|,點”的極坐標(biāo)為(I,J),求△PMQ的面積.

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［選修4一5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=lx+l|-k_2|.

(1)求不等式/(x)+x>0的解集；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與直線y=&(x+2)-4有3個交點，求"的取值范圍.

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2022年廣西名校高考理科數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={淤2叢7-6<0},8={小<1},則AAB=（）

A.(-1,1)B.{-1,0}C.[-1,2JD.{-1,0,I,2}

解：因為4={》62|?-》-6<0}="62|-2cx<3}={-1,0,1,2],

B={x|x<l},

所以ACB={-1,0|.

故選：B.

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2（3+i）,貝ijz的虛部等于（）

A.4zB.2zC.2D.4

解：由題意，可知z=畢D=（3+i）（1+i）=2+4i,

所以復(fù)數(shù)z的虛部為4,

故選：D.

3.（5分）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)

美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，

好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其

直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）

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c.D.

解：???相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘

（方蓋）.

，其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，

:俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上

，俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，

故選：B.

4.（5分）已知單位向量a,b,b?（Q+[b）=0,則a與b的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

TTTT[T

解：單位向量a,b,bYa+2b）=0,

可得a?b=—于

_>T-A1_>T

所以cosVa,b>=^=Va,h>6[0°,180°],

T1XT￡Z

所以：與1的夾角為：120°.

故選：C.

%2y2

5.（5分）如圖，F(xiàn)BF2分別為橢圓-7+77=1的左、右焦點，點尸在橢圓上，XPOF?

是面積為4V5的正三角形，則后的值是（）

A.8V3B.2V3C.4V3D.4+2V3

解：由于乃是面積為4g的正三角形,

所以P&c,苧。）且乎xc2=4^/3/c=4,

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一412412

則尸（2,2次），代入橢圓方程得=+—=1,~-+-r=l>解得爐=8V3.

a2b2b2+16b2

故選:A.

6.（5分）北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報名到甲、乙、丙三個場館

做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法

共有（）

A.90種B.125種C.150種D.243利1

解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

C2c2

①將5人分為3組，有七■+Cs3=25種分組方法，

A2

②將分好的三組安排到甲、乙、丙三個場館做志愿者，有433=6種安排方法，

則有25X6=150種安排方法，

故選：C.

,5

7.（5分）己知｛斯｝為等比數(shù)列，若且與2〃7的等差中項為3則

的值為（）

A.5B.512C.1024D.64

解:設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

由〃2?〃3=m,得即〃4=m?g3=i,

55?1

又04與2〃7的等差中項為一，得Q4+247=2XQ,即l+2〃7=Z，解得。7=五，

8o4-0

所以〃7=。4才，即1解得則0=卷="=8,

所以41?〃2?。3?44=（。1?44）2=（8X1）2=64.

故選：D.

X2V2

8.（5分）已知雙曲線和一三=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi，乃，點A是雙曲

線漸近線上一點，且AQ_L4。（其中。為坐標(biāo)原點）,AQ交雙曲線于點B,且|AB|=|BFi|,

則雙曲線的離心率為（）

底私LL

A.-----B.-----C.V2D.V3

44

解：根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點4在第二象限，

設(shè)Q（-c,0）,因為AFiLAO,點尸I到直線6x+ay=0的距離d=占㈣==b,

所以HQ|=6,因為|FiO|=c，所以cos/ZFi。=%

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因為|A8|=|BFi|,所以田&|=1|4Fi|=9,

由雙曲線的定義可知IBF2I=\BF1\+2a=2a+^,

2?

h*+4C2_（2Q+2）

在△BFI&中，由余弦定理可得cos乙4居。=?=-----甘一公,

2x）x2c

整理得b=a,所以c=&a,即離心率e=T=V^.

故選：C.

9.（5分）瀑布是廬山的一大奇觀，為了測量某個瀑布的實際高度，某同學(xué)設(shè)計了如下測量

方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，

可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角

3TT

的正切值為二，沿山道繼續(xù)走20如抵達(dá)3點位置測得瀑布頂端的仰角為；.已知該同學(xué)

23

77

沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為3則該瀑布的高度約為

（）

A.60%B.90/nC.108/nD.120m

解：根據(jù)題意作出如下示意圖，其中tana=5,0=。=條AB—20/n,

過點8作BCLOA于C,

設(shè)OH=3x,則OA=2x,。8=回，

在RtZ\ABC中，'：AB=20,0=J,."C=10,BC=106,

：.OC=OA-AC=2x-10,

在RtZ\O8C中，由勾股定理知，（2x-10）2+qo百）2=（遮乃2,

化簡得/-40x+400=0,解得x=20,

瀑布的高度O”=3x=60,".

故選：A.

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H

TCsinaa

10.(5分)若aE(0,—)-------=tan-,貝ijtana=()

2-cosa2

V6

B.V3D.

2

sinaa

解：因為=tan-,

2-cosa2

.a_.aa

sin-2sin-cos-

所以二一-

Tcos—=-2T-cosa

2

,7Ta

又因為(0,—),sin—WO,

22

所以2-cosa=2cos—,即2-cosa=l+cosa,

2

]

所以cosa=

,7T

又因為aW(0,-),

所以a=$tana=V5.

故選：B.

11.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足/(x)=/(-X),且當(dāng)A-G(-oo,0]時，fQx)+xf(x)

VO成立，若。=(2°-6)*/'(20-6),b=(加2)[f(勿2),c=(，。。2/)，則。，b,

c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>h>aC.a>c>bD.c>a>b

解：根據(jù)題意，令。(x)=xf(x)f

h(-x)=(-x)/(-x)=-V(])=-〃(X)，則h(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)在(-8,0]時，/(x)=/(%)+xf(x)<0,則/iG)在(-8,0]上為減函數(shù),

又由函數(shù)〃(x)為奇函數(shù)，則力(x)在［0,+8)上為減函數(shù),

11

06606--

a=(2)*/(2°-)=h(2),b=(M2)=h(歷2),88

第15頁共28頁

1

-

8

因為<0</?2<1<2°-6,

則有c>b>a；

故選：B.

12.（5分）如圖，四棱柱480-481。。的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱平面

ABCD,且A4=4,E、尸分別是AB、8C的中點，P是線段上的一個動點（不含端

點），過P、E、尸的平面記為a,Q在CCi上且CQ=\,則下列說法正確的個數(shù)是（）

①三棱錐Ci-PAC的體積是定值；

②當(dāng)直線BQ〃a時，DP=2；

③當(dāng)OP=3時，平面a截棱柱所得多邊形的周長為7近；

④存在平面a,使得點4到平面a距離是A到平面a距離的兩倍.

A.1B.2C.3D.4

解：對于①：因為。Di〃CCi，?！辏┰哑矫鍯4G，

CCiu平面C4G,所以。功〃平面CACi,

因為PEDDi，所以點P到平面CACi的距離為定值，

而△C4G的面積為定值，所以三棱錐P-C\AC的體積是定值，

即三棱錐Ci-勿C的體積是定值，故①正確；

對于②：如圖，延長EF交DC的延長線于點M,

第16頁共28頁

設(shè)平面a交棱CC\于點W,連接MW,并延長MW交DD\于點P,

因為8Q〃a,8Qu平面B31clC,平面a。平面881cle=FW,

所以FW//BQ,

因為尸為8C的中點，則W為C。的中點，

因為BE〃CM,則NE8F=NMC凡NEFB=NMFC,BF=CF,

所以△BEF^XCMF,則MC=BE=1,

_,DPDM

因為CW//DP,則一=—=3,

CWCM

則DP=3CW=5,即②錯誤；

對于③：如圖，設(shè)直線EF分別交直線D4、OC于點N、M,

連接PN、PM,分別交AAi、CG于點R、S,連接RE、SF,

因為PO=Z)M=3,NPDM=90°,則△POM為等腰直角三角形,

第17頁共28頁

貝UP"=夜2。=3夜，同理可知，也為等腰直角三角形，

同理可知，SM=V2CM=V2,：.PS=PM-SM=2/2,

同理PR=2V2,由勾股定理可得FS=RE=EF=y/BE2+BF2=V2,

則截面的周長為2X2夜+3企=7魚，即③正確；

對于④：設(shè)截面a交棱A41于點R，

假設(shè)存在平面a,使得點Ai到平面a距離是4到平面a距綱的兩倍，

（小一24

則AR-l,可得AR=1

（AR+AyR=4s

力RAN1

MAR//DP,則一=—=則。P=3AR=4,不符合題意；

DPDN3

即不存在平面a,使得點4到平面a距離是A到平面a距離的兩倍，

故④錯誤.

綜上所述，①③正確.

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若曲線/（吟=/一19#0）在點（-1,/（-D）處的切線斜率為2,則a=-

2.

解：曲線f（x）=?—l（a彳0），可得，（x）=—

XX

曲線f（x）=E—l（a40）在點（-1,/（-1））處的切線斜率為2,

所以一一J=2,可得。=-2,

（-1）

故答案為：-2.

14.（5分）2020年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學(xué)校需要安排男教師

2%—y>5,

x名，女教師y名做義工，x和y需滿足條件［x-yW2,,則該校安排教師最多為13

6,

人.

'2x—y>5

解：由約束條件x-y<2作出可行域如圖,

X<6

第18頁共28頁

聯(lián)立丘二y=5,解得A67).

☆z=x+y,化為y=-x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過點A時，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為13.

該校安排教師最多為13人.

故答案為：13.

7T

15.(5分)將函數(shù)f(x)=2COM的圖象先向左平移4個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在(WTT)

2d)2

5

上沒有零點，則3的取值范圍是(0,—I.

解：將函數(shù)/(x)=2cosx的圖象先向左平移公個單位長度，可得y=2cos(x+Q的圖象；

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩?3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，

2a)

得到函數(shù)g(x)=2cos(20)計玄)的圖象，

若g(X)在(一，71)上沒有零點，==71—5,.

222a)2

令2o)x+，=Ki+V，k6Lr,求得工=4-(%+4),依Z,

OZLG)5

-7T1

當(dāng)k=0時，x=T6—co>n,.*.0<u)<6

0<w<1

克［(k-1)+§4，求得1-60-|-

{如A+於"

第19頁共28頁

綜上，0<3工或二

633

112

故答案為：（0,-]U-J.

16.（5分）已知/（x）=1+辦—+a%2,若對任意賬[0,V2],f（x）W0恒成立，則實

數(shù)a的取值范圍為[1-V2,0].

解：:對于任意的xW[O,V2],f（x）W0恒成立，

?#羯二解得―Q

又當(dāng)l-aWaW0時，l+ox2〉。，

=1+ax-

對于任意的舊。，圖于（x）W°恒成立’等價于而京q在何。，何上恒成立,

令g(x)=x6[0,V2],

Jl+ax2

則只需g（x）max^1即可.

a(lr)

???g'(x),且aWO,

(l+ax2)Jl+ax2

；.g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,V2）上單調(diào)遞增,

:?g(x)max=max[^(0),g(V2)),

由g(0)Wl,g(V2)Wl,解得0].

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題:

共60分.

17.（12分）已知在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛〃"｝中，42+43+44=21,且42-1,43+1，44+43

構(gòu)成等比數(shù)列｛與｝的前三項.

（1）求數(shù)列｛斯｝,｛為｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛C“=—,求數(shù)列｛Cn｝的前"項和S.

請在①斯氏；-受-----③（-1）%“+〃這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面

的橫線上，并完成解答.

解：（1）根據(jù)題意，因為數(shù)列｛斯｝為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，

所以。2+。3+3=3。3=21,即得43=7,

設(shè)公差為的，則有“2-1=43-d-1=6-d,43+1=8,44+43=03+1+43=14+d,

又因為42-1,43+1，44+43構(gòu)成等比數(shù)列｛為｝的前三項，

第20頁共28頁

2a

所以(。3+I)=(a2—1)?(a4+3)>即64=(6-d)(14+d),

解之可得d=2,或d=-10(舍去)，

所以0=田-24=7-4=3,即得數(shù)列｛斯｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

故可得an=2n+l,

且由題可得，加=42-1=4,/>2=43+1=8,

所以數(shù)列｛尻｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故可得b=4?2"T=2”+1,

n+1

(2)(i)設(shè)cn=%砥=4?(2n+l)-2nT=(2w+l)?2,

則5n=3-22+5-23+7-24+-+(2n-1)-2n+(2〃+1①，

n+1,,+2

在上式兩邊同時乘以2可得，2Sn=3?23+5?24+…+(2n-1)-2+(2?+1)，2

②，

①-②可得，-Sn=3-22+2(23+24+…+2.+1)-(2〃+1)?2"+2=12+竺與莖」^一

(2〃+1)?2"+2=(1-2〃)?2"+2-4,

即得5n=(271-1)-2"2+4.

....冽_bn_4-2nT_]_________1__

Wnbn-1n-n-1n，

"~(n-l)(bn+1-l)~(4.2-l)(4-2-l)4-2-l4-2-l

_11,11,1111

則％=廠尹7-京+…+宙丁”M=W一kK

nn

(Hi)設(shè)。?=(-l)-an4-n=(-l)(2n+1)+幾，

則S兀=-3+1+5+2—7+3+9+4+…(-l)n(2/i+1)+九

n

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時，Sn=(-3+5)+(—7+9)+-+[(—l)T(2Ti-l)+(—l)n(2?i+

1)]+Q+2+3+…+”)=92+筆由=學(xué)；

由上可得當(dāng)〃為奇數(shù)時，Sn=~~2~2+(1+2+3+,,?+n)—(2/7+1)=—■一——>

口要，n為偶數(shù)

綜上可得，Sn=｛2,

[丹心,n為奇數(shù)

18.(12分)某商品的包裝紙如圖1,其中菱形ABCQ的邊長為3,且NABC=60°,AE=

AF=遮，BE=DF=2?將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點E,F,M,N

匯聚為一點P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

(I)證明：以，底面ABCD；

J21

(II)設(shè)點T為BC上的點，且二面角B-PA-T的正弦值為二丁，試求PC與平面PAT

所成角的正弦值.

第21頁共28頁

EF

解：(/)由菱形A8CD的邊長為3,AE=AF=V3,BE=DF=2y/3,

可得BE2=A82+AE2,即有ABLAE,同理。產(chǎn)=4。2+4尸2,即有4￡)_LA凡

在翻折的過程中，垂直關(guān)系保持不變可得力，AB,PALAD,ABC\AD=A,

所以附，底面ABCD；

(〃)如圖，以點A為原點，AB為x軸，過點A作A8的垂線為y軸，4尸為z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，

由第(/)問可得《4_L底面ABC。，貝PALAT,

則NBAT為二面角B-%-7的平面角，由題意可得sin/BA7=絆,

14

考慮△BAT,ZABT=60°,可得sinNA7B=sin(ZABT+600)=為”,

48BT

利用正弦定理可得37=1,

sin/LATB~Sin乙BTA'

5V3「3373

所以點7的坐標(biāo)為(一，—.0),點、P(0,0,V3),A(0,0,0),C(-—,0),

2222

設(shè)面方T的一個法向為量有=(x,y,z),

+磐=0,即V3z=0

則有

5x+V3y=0'

Tn-AT=0

令1=3,則有m=(3,-55/3,0),PC=(-,——,—V3)，

22

-tnr\rn-PC3/7

所以cosVm,PC>=.

IIII工4

所以PC與面附T所成角的正弦值為心.

14

第22頁共28頁

EFz八

19.（12分）如圖，P是拋物線E：）2=4x上的動點，F(xiàn)是拋物線E的焦點.

（1）求|尸網(wǎng)的最小值；

（2）點8,C在y軸上，直線P8,PC與圓（x-1）2+夕=1相切.當(dāng)|尸月日4,6］時，求

|BC|的最小值.

解：（1）P是拋物線E：/=4x上的動點，F(xiàn)是拋物線E的焦點（1,0）,準(zhǔn)線方程為x

=-1,

由拋物線的定義可得|PF|=d=xp+l,

由xpNO,可得d的最小值為1,『尸|的最小值為1;

(2)設(shè)8(0,m),C(0>n),P(xo，和)，yo2—4xo,

則尸8的方程為尸笛4+〃的方程為廣甯A”

\y-m+mx\

由直線必與圓（x-1）2+y2=l相切，可得00=1,化為(xo-2)nr+2y()m

Vxo2+(yo-^)2

-xo=O,

第23頁共28頁

同理可得(x()-2)n2+2yon-xo=O,

即有如"為方程(xo-2)/+2取5=0的兩根，可得小〃=忌，，〃〃=瑞

由|PF|R4,6],可得刈+1日4,6],即歐@3,5J,

令r=|2-x()|=xo-2,re[l,3],

即有|〃L川=j4(2+t[+8(2+t)=2件+號+1在[i,3]遞減,

￡Nt[

2735

可得1=3即M)=5時，\BC\=\m-川取得最小值----.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=。猶+/，g(x)="+sinx,其中a€R.

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若”=1,試證明：/(%)V嚕.

解：(1)函數(shù)/(x)=/*+?的定義域是(0,+8),

當(dāng)“W0時，f(x)>0,f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令/(x)>0.解得：x>a,令/(%)<0,解得：OVxVa,

綜上，當(dāng)時，/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，

當(dāng)a>0時，/(x)在(0,a)遞減，在(a,+8)遞增；

第24頁共28頁

(2)證明：-：a=\,：.f(x)=lnx+^,即證：/[x+]v竺苧”，

Vx>0,即證：，+sin_r-xlnx-1>0,

當(dāng)xE(0,1)時，/>1,sia￥>0,xlwc<0,

，+sinx-xlnx-1>1-1=0,

當(dāng)x€[l,+8)時，令g(x)=^+siar-xbvc-1,

貝Ijg'(x)=e^+cosx-Inx-1,g"(x)=e^-sinx-->e-1-I>0,

，g'(x)=，+cosx-阮i-1在[1,+8)上單調(diào)遞增，

:.g'(x)2g'(1)=e+cosl-0-1>0,

???g(X)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

:?g(x)2g(1)=e+sinl-0-l>0,

綜上，f(x)〈絲增無即f(x)〈噌.

21.(12分)為2020年全國實現(xiàn)全面脫貧，湖南貧困縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中茶

葉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分，由于當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹，保靖的“黃金茶”享

有“一兩黃金一兩茶”的美譽(yù).保靖縣某茶場的黃金茶場市開發(fā)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步開拓市

場，對黃金茶交易市場某個品種的黃金茶日銷售情況進(jìn)行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價x

(單位：百元/依)和銷售率y(銷售