河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題．本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，則；由得：，即，解得：或，則或，.故選：D.2.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，又因?yàn)椋?故選：A.3.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由題可知＝－3.故選：A.4.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.5.下列函數(shù)中，在其定義域上既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，而函數(shù)的單減區(qū)間是和，所以在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故D正確.故選：D.6.已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A．7.若函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意，且，都有，則有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以的對(duì)稱(chēng)軸為；又對(duì)任意，且有，則在上為單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?，，，所以，?故選：A.8.對(duì)于，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.(1,2)【答案】A【解析】由題設(shè)知，化簡(jiǎn)整理得：，畫(huà)出函數(shù)的圖像，如下圖：由，當(dāng)關(guān)于方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，t的取值范圍是，設(shè)，則是的兩個(gè)根，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，下面求的范圍：，解得：，，，，故，所以.故選：A.二、多選題．本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，，且，則下列不等式恒成立的（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，A對(duì)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B對(duì)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；因?yàn)?，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ABD.10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中為假命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件，，但是，所以A為假命題；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以成立，所以B為真命題；對(duì)于C，因?yàn)?，所以且，所以，所以C為真命題；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，滿(mǎn)足條件，，但是，所以D為假命題．故選：AD．11.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則區(qū)間可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】∵函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)?，滿(mǎn)足題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.函數(shù)的值域?yàn)镈.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，可得，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由，又由，有，有，可得函數(shù)的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若，有，不等式兩邊平方后可解得或，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題．本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計(jì)算：______.【答案】5【解析】.故答案為：.14.若滿(mǎn)足，則__________．【答案】【解析】取得到；取得到，解得.故答案為：.15.已知，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；，解得：，則實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.16.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】由題意可得函數(shù)，再根據(jù)其圖象過(guò)點(diǎn)，可得，即，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故在區(qū)間上是增函數(shù)，再根據(jù)在區(qū)間上大于零，且在，是增函數(shù)，可得，解得.故答案為：，．四、解答題．本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由得，得，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以或，所以.（2）因?yàn)椋?，所以，即，由得，得，所以，因?yàn)椋?，，解?18.已知命題：，，命題為真命題，實(shí)數(shù)的取值集合為.（1）求集合；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）命題為真命題，則，得或，所以或.（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，①當(dāng)時(shí)，則，即，滿(mǎn)足，②當(dāng)時(shí)，則，即，因?yàn)?，所以或，解得，綜上可得.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；（2）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.解：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，令，即可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此可得當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，可得，原不等式可化為對(duì)于恒成立，即可得對(duì)于恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是.20.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為15元，年銷(xiāo)售10萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷(xiāo)售總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).解：（1）設(shè)定價(jià)為元，則銷(xiāo)售量為萬(wàn)件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，該商品每件定價(jià)最多為50元.（2）由已知可得，，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，所以，當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量至少應(yīng)達(dá)到萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和，商品的每件定價(jià)為20元.21.若定義在上的函數(shù)對(duì)任意的、，都有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：是上的增函數(shù)；（3）若，解不等式．解：（1）證明：定義在上的函數(shù)對(duì)任意的、，都有成立，構(gòu)造函數(shù)，則，即，令，得，所以，，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令，，則，，因此，函數(shù)為奇函數(shù).（2）任取，則，，另一方面，即，因此，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù).（3），則，，由，得，即，，又，，所以，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，解得，因此，不等式的解集為.22.已知函數(shù)，.（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.解：（1），，因