天津市南開區(qū)2024屆高三上學(xué)期11月階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市南開區(qū)2024屆高三上學(xué)期11月階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題第I卷參考公式：·球的表面積公式，其中R表示球的半徑.·臺(tái)體的體積公式，其中，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體高.一、選擇題1.已知全集，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，，則.故選：C.2.命題p的否定為“，使得”，則命題p為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】命題p的否定為“，使得”，所以命題，使得，故選：D.3.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，對(duì)于B：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除B；對(duì)于C：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除C；由圖知圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，而對(duì)于D：，故可排除D；故選：A.4.“”的充要條件的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由“”，解集為，A，解集為，A錯(cuò)誤；B，由，解集，B正確；C，由，即，即，解集，C錯(cuò)誤；D，由，即，即解集為，D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則，由，，則，由，則.則.故選：C.6.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，即，同理，又，即，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：B．7.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)表面積為的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C.61 D.183【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為，則，則，圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，據(jù)此可得圓臺(tái)的體積：.故選：A.8.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：①函數(shù)為偶函數(shù)；②；③；④曲線在處的切線斜率為所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③④ C.③④ D.②③④【答案】D【解析】由題意，，，∴，又，又，∴，∴，不是偶函數(shù)，①錯(cuò)；是的最小值，②正確；，，當(dāng)時(shí)可得是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，∴，③正確；，，④正確．正確的有②③④，故選：D．9.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)y，使得成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令，則，令，解得或者，令，解得，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，如圖所示，要使得直線與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，則直線要在點(diǎn)上方，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以，所以只需滿足即可，故選：A.第Ⅱ卷二、填空題10.若（為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【解析】由可得，所以，故答案為：.11.已知，則__________．【答案】【解析】由可得，所以，即，故答案為：.12.棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，AB的中點(diǎn)，P為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________．【答案】1【解析】由題意到平面的距離等于，又，∴，故答案為：1.13.已知，則__________，__________．【答案】【解析】∵，令，則，∴，．故答案：；．14.在中，已知，點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，且，若，則__________；若，則取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)y的值為__________．【答案】【解析】,所以，故，當(dāng)時(shí)，，，由于，所以，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故最小，故答案為：，.15.已知函數(shù)，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意知，，則是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.令，解得（舍），或.此時(shí)，，令，解得.此時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由函數(shù)的解析式與圖象的對(duì)稱性作出函數(shù)的圖象.直線過(guò)定點(diǎn)，且為直線的斜率，若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則直線與的圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，由圖可知，解得，故答案為：.三、解答題16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），因?yàn)?，所以，所以，?若，則，從而或．所以．（2），①當(dāng)，即時(shí)，，所以．②當(dāng)，即時(shí)，，所以．③當(dāng)，即時(shí)，，若，則，所以.綜上，.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知.（1）證明：；（2）求a；（3）求的值．（1）證明：因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，即又由正弦定理，得，因?yàn)榻茿，B為的內(nèi)角，所以．（2）解：由（1）知，所以．又，由余弦定理，得，即，解得.（3）解：由，得，因?yàn)?，因?yàn)椋訠為銳角，所以.所以.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面PBC；（2）若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則，又平面ABCD，平面ABCD，所以，故以CM為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．因?yàn)?，所以，所以平面PBC，即為平面PBC的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面EAC的法向量為，，則即令，則．因?yàn)椋云矫嫫矫鍼BC．（2）解：因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以．（i）設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則，故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．（ii）顯然平面PDC的法向量為，設(shè)平面PDC和平面EAC的夾角為，則．故平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值為．19.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式，并說(shuō)明你的理由．解：（1）因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，整理得，解得，所以，又的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得或，又，且，所以．（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得．由（1）可得，，因?yàn)椋詾樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)恒成立．因?yàn)?，，所以，整理得?當(dāng)時(shí)，左邊是一個(gè)一次因式乘一個(gè)恒正（或恒負(fù)）的二次三項(xiàng)式，或者是三個(gè)一次因式的積，無(wú)論哪種情況，總有一個(gè)一次因式的指數(shù)是奇次的，這個(gè)因式的零點(diǎn)左右的符號(hào)不同，因此不可能恒非負(fù)，所以．所以*式化為恒成立，所以．①若，則；②若，則，即，與矛盾，舍去．綜上，，所以為滿足條件的的一個(gè)解析式．（答案不唯一）20.已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線斜率為1，求a的值；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若時(shí)，不等式恒成立，求a最小值．解：（1），依題意，，解得．（2）零點(diǎn)的根．設(shè)，①當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù)．取，取，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而．當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，取，取，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且僅