多元函數(shù)微分學8-5月11日

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設函數(shù)z

f(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義

如果對于該鄰域內任何點(x

y)

都有在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值

,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.注

1.

使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點

.但駐點不一定是極值點.如,定理1

(必要條件)函數(shù)存在偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有故

2.

從幾何上看

這時如果曲面z

f(x

y)在極值點(x0

y0

z0)處有切平面

則切平面z

z0

fx(x0

y0)(x

x0)

fy(x0

y0)(y

y0)成為平行于xOy坐標面的平面z

z0

類似地可推得

如果三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(x0

y0

z0)具有偏導數(shù)

則它在點(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為

fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

時,具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內具有連續(xù)的二階偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當證明見P108

時,沒有極值.時,不能確定

,需另行討論.若函數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：第一步

解方程組求出實數(shù)解，得所有駐點.第二步

對于每一個駐點(x0,y0),求出二階偏導數(shù)的值A、B、C.第三步

定出AC-B2的符號，再判定是否是極值.第四步對偏導數(shù)不存在的點(包括邊界點)，再判定是否是極值點.例1.求函數(shù)解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點和極值。

練習：例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為注不是駐點也可能是極值點.因此,在考慮函數(shù)的極值問題時,

除了考慮函數(shù)的駐點外,如果有偏導數(shù)不存在的點,那么對這些點也應當考慮.但(0

0)不是函數(shù)的駐點

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值最值應用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達到最值最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)

例3

欲將長度為a的細桿分為三段,試問如何分才能使三段長度乘積為最大?解

設第一段和第二段的長分別為x

y

則三段長度乘積為

極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉化二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L(x,y)

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例4.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側面的二倍時,欲使造價最省,應如何設拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.例5.設生產(chǎn)z噸某產(chǎn)品與所用A,B兩種原料噸數(shù)x,y之間的關系式為現(xiàn)擬向銀行貸款150萬元購買原料,A,B兩種原料每噸價格分別為1萬元和2萬元,問怎么樣購進這兩種原料使該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量最多?分析：依題意,問題歸結為求函數(shù)在附加條件x+2y=150下的最大值.例5.令解方程組解:

依題意,問題歸結為求函數(shù)在附加條件x+2y=150下的最大值.因為此問題的最大值是存在的,且駐點是唯一的,所以點(100,25)是z(x,y)的最大值點,其最大值為z(100,25)=1250已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設C

點坐標為(x,y),思考與練習則設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知,點C與

E重合時,三角形面積最大.在實際問題中，常常需要根據(jù)兩個變量的幾組實驗數(shù)值——實驗數(shù)據(jù)，來找出這兩個變量的函數(shù)關系的近似表達式．（經(jīng)驗公式）最小二乘法問題：解決這個問題的常用的方法是什么？

例某證券公司近幾年投資于資本市場的資金額如下表所示：如圖，在坐標紙上畫出這些點，因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實際數(shù)據(jù)相差都很小．解就是要使偏差都很小.因此可以考慮選取常數(shù)，使得定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法．這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個偏差的絕對值都很?。芽闯勺宰兞亢偷囊粋€二元函數(shù)，那么問題就可歸結為求函數(shù)在那些點處取得最小值.