電力系統(tǒng)分析(5)

5電力系統(tǒng)潮流計算概述潮流計算問題的數(shù)學模型潮流計算的幾種基本方法保留非線性潮流算法電力系統(tǒng)潮流計算是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行情況的基本電氣計算，電力系統(tǒng)潮流計算的任務是根據(jù)給定的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)及運行條件，求出電網(wǎng)的運行狀態(tài)，其中包括各母線的電壓、各支路的功率分布以及功率損耗等。潮流計算是電力系統(tǒng)中應用最為廣泛、最基本和最重要的一種電氣計算。概述離線計算：規(guī)劃設計;運行方式分析;其他計算的配合在線計算：安全監(jiān)控和安全分析

常非線性用的潮流計算方法歸納到數(shù)學上屬于多元代數(shù)方程組的求解問題，一般需采用迭代計算方法進行求解計算。20世紀50年代中期起，電力系統(tǒng)潮流計算的研究就是如何使用電子計算機計算電力系統(tǒng)的潮流問題。

對于潮流算法，其基本要求可歸納成以下4個方面：1.計算速度；2.計算機內(nèi)存占用量；3.算法的收斂可靠性；4.程序設計的方便性以及算法擴充移植等

的靈活通用性。

此外，程序使用的方便性及良好的人-機界面也越來越受到人們的關注。電力系統(tǒng)由發(fā)電機、變壓器、輸配電線路及負荷等組成。進行潮流計算時，發(fā)電機和負荷一般可用接在相應節(jié)點上的一個電流注入量表示。電力網(wǎng)絡中的變壓器、線路、電容器、電抗器等元件可用集中參數(shù)表示的由線性電阻、電抗構(gòu)成的等值電路模擬。

潮流計算問題的數(shù)學模型

展開為或

對這樣的線性網(wǎng)絡一般采用節(jié)點電壓法進行分析。節(jié)點電壓與節(jié)點注入電流之間的關系為:或在實際中，已知的節(jié)點注入量往往不是節(jié)點電流而是節(jié)點功率，為此用節(jié)點功率代替節(jié)點電流,得

或

上兩式是潮流計算問題的基本方程式，是一個以節(jié)點電壓為變量的非線性代數(shù)方程組。而采用節(jié)點功率作為節(jié)點注入量是造成方程組呈非線性的根本原因。由于方程組為非線性的，因此必須采用迭代方法進行數(shù)值求解。根據(jù)對方程組的不同處理方式，形成了不同的潮流算法。對于電力系統(tǒng)中的每個節(jié)點，需要P、Q、U和相角四個變量才能確定其運行狀態(tài)。n個節(jié)點總共有4n個運行變量。而基本方程式只有n個,將實部與虛部分開，則形成2n個實數(shù)方程式，僅可解得2n個未知運行變量。必須將另外2n個變量作為已知量而預先給定。也即對每個節(jié)點，要給定兩個變量為已知條件，而另兩個變量作為待求量。根據(jù)電力系統(tǒng)的實際運行條件，按照預先給定的變量的不同，電力系統(tǒng)的節(jié)點可分成PQ節(jié)點、PV節(jié)點及平衡節(jié)點三種類型。對平衡節(jié)點來說，其電壓相角一般作為系統(tǒng)電壓相角的基準。

交流電力系統(tǒng)中的復數(shù)電壓變量可以用兩種坐標形式表示

或

而復數(shù)導納為

將以上三式代入以導納矩陣為基礎的式，并將實部與虛部分開，可得到兩種形式的潮流方程。直角坐標形式

極坐標形式

若以p、u、x分別表示擾動變量、控制變量、狀態(tài)變量，則潮流方程可以用更簡潔的方式表示為

根據(jù)式，潮流計算的含義就是針對某個擾動變量p，根據(jù)給定的控制變量u，求出相應的狀態(tài)變量x。高斯-塞德爾法以導納矩陣為基礎，并應用高斯-塞德爾迭代的算法是電力系統(tǒng)應用最早的潮流計算方法。討論電力系統(tǒng)中除1個平衡節(jié)點外，其余都是PQ節(jié)點的情況。由式可得

式中：、為已知的節(jié)點注入有功、無功功率。潮流計算的幾種基本方法高斯-塞德爾迭代法若滿足，則收斂得到真解。單變量函數(shù)給定初始值，代入上式，逐步迭代，直至收斂。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析利用最新信息迭代收斂更快多變量函數(shù)高斯迭代法高斯-塞德爾迭代法電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析高斯-塞德爾法潮流計算取共軛電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析迭代至

高斯法設n個節(jié)點的電力系統(tǒng)，沒有PV節(jié)點，平衡節(jié)點編號為s，其它節(jié)點均為PQ節(jié)點。滿足這個等式就可停止計算，其中e=10-5~10-2。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析迭代至高斯-塞德爾法滿足這個等式就可停止計算，其中e=10-5~10-2。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析對PV節(jié)點的處理(假定編號為p)：已知Pp和Up0舍去用Up0

代替保留計算PV節(jié)點的無功功率電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析平衡節(jié)點不參與迭代計算，直到潮流收斂后，用有功和無功功率計算公式即可求出平衡節(jié)點（假定編號為s）所發(fā)出的功率。利用電路基本定理完成各支路功率分布和支路功率損耗的計算。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析

本算法的突出優(yōu)點是原理簡單，程序設計容易。導納矩陣對稱且高度稀疏，因此占用內(nèi)存非常節(jié)省。該算法的主要缺點是收斂速度慢。由于各節(jié)點電壓在數(shù)學上松散耦合，所以節(jié)點電壓向精確值的接近非常緩慢。另外，算法的迭代次數(shù)隨著網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)的增加而上升，因此在用于較大規(guī)模電力系統(tǒng)的潮流計算時，速度顯得非常緩慢。

為提高算法收斂速度，常用的方法是在迭代過程中加入加速因子，即取

式中：

是通過式求得的節(jié)點i電壓的第k+1次迭代值；

是修正后節(jié)點i電壓的第k+1次迭代值；

為加速因子，一般取。對于具有下述所謂病態(tài)條件的系統(tǒng)，高斯-塞德爾迭代法往往會發(fā)生收斂困難：此外，選擇不同的節(jié)點為平衡節(jié)點，也會影響到收斂性能。節(jié)點間相位角差很大的重負荷系統(tǒng)；包含有負電抗支路（如某些三繞組變壓

器或線路串聯(lián)電容等）的系統(tǒng)；具有較長的輻射形線路的系統(tǒng)；長線路與短線路接在同一節(jié)點上，而且長短線路的長度比值又很大的系統(tǒng)。

為克服基于節(jié)點導納矩陣的高斯-塞德爾迭代法的這些缺點，20世紀60年代初提出了基于節(jié)點阻抗矩陣的高斯-塞德爾迭代法。但在牛頓法潮流出現(xiàn)后，即很少再被便用。目前基于節(jié)點導納矩陣的高斯-塞德爾法主要為牛頓法等對于待求量的迭代初值要求比較高的算法提供初值，一般只需迭代1～2次就可以滿足要求。

牛頓-拉夫遜法牛頓-拉夫遜法的一般概念牛頓-拉夫遜法在數(shù)學上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復地對相應的線性方程式進行求解的過程，即通常所稱的逐次線性化過程。牛頓法解非線性方程原理：將非線性方程線性化——Taylor展開取x0

x*，將f(x)在x0做一階Taylor展開:，

在x0和x*之間。將(x*

x0)2看成高階小量，則有：線性xyx*x0x1迭代公式：

將非線性代數(shù)方程組

在待求量

的某一個初始估計值

附近，展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到線性化方程組

稱為牛頓法的修正方程式。

由上式根據(jù)初值

可

第一次迭代的修正量

將

和

相加，得到變量的第一次改進值

。

因此，應用牛頓法求解的迭代格式為

上兩式中：

是函數(shù)

對于

的一階偏導數(shù)矩陣，即雅可比矩陣

，為迭代次數(shù)。牛頓法當初值

和方程的精確解足夠接近時，具有平方收斂特性。因此，應用牛頓法求解的迭代格式為

上兩式中：

是函數(shù)

對于

的一階偏導數(shù)矩陣，即雅可比矩陣，

為迭代次數(shù)。牛頓法當初值

和方程的精確解足夠接近時，具有平方收斂特性。非線性方程組的求解：推廣于多變量非線性方程組(4-31)求解修正量的方程組已知已知相量形式變量的迭代公式相量形式矩陣元素形式雅可比矩陣收斂判據(jù)預先給定任意小正數(shù)

修正方程式——極坐標形式

令

，對每個

節(jié)點及

節(jié)點，有

對每個

節(jié)點，有

節(jié)點電壓以極坐標表示時

的牛頓-拉夫遜法潮流算法節(jié)點功率方程n-m-1個PQ節(jié)點，m個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點。給定給定計算理想解節(jié)點功率誤差方程計算修正量方程雅克比矩陣功率誤差的計算

雅克比矩陣

分子的腳標數(shù)分母的腳標數(shù)將上述方程式在某個近似解附近用泰勒級數(shù)展開，略去二階及以上的高階項后，得到以矩陣形式表示的修正方程式

式中：

為節(jié)點個數(shù)，

為

節(jié)點數(shù)，雅可比矩陣是

階非奇異方陣。雅可比矩陣各元素的表示式如下：節(jié)點電壓用極坐標表示的Newton-Laphson法潮流計算功率不平衡方程式（數(shù)學模型）修正方程式功率不平衡方程式（數(shù)學模型）修正方程式修正方程式求電壓修正量修正各節(jié)點電壓？直角坐標形式令

，此時每個節(jié)點，都有兩個方程式。因此共有

個方程式。對每個

節(jié)點，有

對每個

節(jié)點，還有

采用直角坐標形式的修正方程式為

PQ節(jié)點，i=1,2,…,mPV節(jié)點，i=m+1,…,n-1節(jié)點電壓用直角坐標表示的潮流計算——Jaccobbi矩陣表達式的推導節(jié)點電壓用直角坐標表示的潮流計算

——Jaccobbi矩陣表達式推導示例分析以上兩種類型的修正方程式，可以看出兩者具有以下的共同特點。

1.修正方程式的數(shù)目分別為

及

個，在

節(jié)點比例不大時，兩者的方程式數(shù)目基本接近

個。

2.雅可比矩陣的元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，每次迭代，雅可比矩陣都需要重新形成。(3)從雅可比陣非對角元素的表示式可見，某個非對角元素是否為零決定于相應的節(jié)點導納矩陣元素

是否為零。如將修正方程式按節(jié)點號的次序排列，并將雅可比矩陣分塊，把每個

階子陣

作為分塊矩陣的元素，則按節(jié)點號順序而構(gòu)成的分塊雅可比矩陣將和節(jié)點導納矩陣具有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)，是一個高度稀疏的矩陣。

(4)和節(jié)點導納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅可比矩陣在位置上對稱，但由于，所以雅可比矩陣不是對稱陣。修正方程式的這些特點決定了牛頓法潮流程序特點，在設計算法時應重點考慮。

修正方程式的處理和求解

有效地處理修正方程式是提高牛頓法潮流程序計算速度并降低內(nèi)存需求量的關鍵。結(jié)合修正方程式的求解，目前實用的牛頓法潮流程序的程序特點主要有以下三個方面，這些程序特點對牛頓法潮流程序性能的提高起著決定性的作用。1對于稀疏矩陣，在計算機中只儲存其非零元素，且只有非零元素才參加運算。2修正方程式的求解過程，采用對包括修正方程常數(shù)項的增廣矩陣以按行消去的方式進行消元運算。由于消元運算按行進行，因此可以邊形成增廣矩陣，邊進行消元運算，邊存儲結(jié)果，即每形成增廣矩陣的一行，便馬上進行消元，并且消元結(jié)束后便隨即將結(jié)果送內(nèi)存存儲。

3.節(jié)點編號優(yōu)化。經(jīng)過消元運算得到的上三角矩陣一般仍為稀疏矩陣，但由于消元過程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩陣有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元的順序或節(jié)點編號有關。

節(jié)點編號優(yōu)化的作用即在于找到一種網(wǎng)絡節(jié)點的重新編號方案，使得按此構(gòu)成的節(jié)點導納矩陣以及和它相應的雅可比矩陣在高斯消元或三角分解過程中新增的非零元素數(shù)目能盡量減少。靜態(tài)法——按各節(jié)點靜態(tài)連接支路數(shù)的多

少順序編號。由少到多編號；半動態(tài)法——按各節(jié)點動態(tài)連接支路數(shù)的

多少順序編號；動態(tài)法——按各節(jié)點動態(tài)增加支路數(shù)的多

少順序編號。消去節(jié)點后出現(xiàn)新支路數(shù)最少的節(jié)點。節(jié)點編號優(yōu)化通常有三種方法：

三種節(jié)點編號優(yōu)化方法中動態(tài)法效果最好，但優(yōu)化本身所需計算量也最多，而靜態(tài)法則反之。對于牛頓法潮流計算來說，一般認為，采用半動態(tài)法似乎是較好的選擇。1其優(yōu)點是收斂速度快，若初值較好，算法將具有平方收斂特性，一般迭代4～5次便可以收斂到非常精確的解，而且其迭代次數(shù)與所計算網(wǎng)絡的規(guī)?；緹o關。

2牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對于對高斯-塞德爾法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法均能可靠地斂。3初值對牛頓法的收斂性影響很大。解決的辦法可以先用高斯-塞德爾法迭代1～2次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次求得一個較好的角度初值，然后轉(zhuǎn)入牛頓法迭代。牛頓潮流算法的特點

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的日益擴大以及在線計算的要求，為了改進牛頓法在內(nèi)存占用量及計算速度方面的不足，人們開始注意到電力系統(tǒng)有功及無功潮流間僅存在較弱聯(lián)系的這一特性，于是產(chǎn)生了一類具有有功、無功解耦迭代計算特點的算法。在70年代提出的P-Q分解法是在廣泛的數(shù)值試驗基礎上挑選出來的最為成功的一個算法，它無論在內(nèi)存占用量以及計算速度方面，都比牛頓法有較大的改進，從而成為當前國內(nèi)外最優(yōu)先使用的算法。

P-Q分解法其他潮流計算方法簡介一、P-Q分解法1974年，由ScottB.在文獻(@)中首次提出PQ分解法，也叫快速解耦法（FastDecoupledLoadFlow，簡寫為FDLF）。2.PQ分解法是由極坐標形式的牛頓法演化而來，但是該法在內(nèi)存占用量和計算速度方面，都比牛頓法有較大改進，是目前國內(nèi)外最優(yōu)先使用的算法。文獻(@):FastDecoupledLoadFlow．IEEETrans.PAS.1974.93(3):859～869(2)一般線路兩端電壓的相角差不大(3)與系統(tǒng)各節(jié)點無功功率相適應的導納BLDi必遠小于該節(jié)點自導納的虛部，即：交流高壓電網(wǎng)的特點(1)交流高壓電網(wǎng)X>>R注：證明中忽略i節(jié)點總并聯(lián)對地電納，不計電阻。ij一、P-Q分解法交流高壓電網(wǎng)X>>R1、修正量方程

分開迭代2、系數(shù)矩陣2、系數(shù)矩陣3、簡化的修正量方程3、簡化的修正量方程導納矩陣的虛部3、簡化的修正量方程導納矩陣的虛部收斂條件：快速P-Q分解法在P-δ迭代時用的B’進一步簡化：忽略對地電納支路，忽略線路電阻；用平均電壓代替各節(jié)點電壓的計算值。1用解兩個階數(shù)幾乎減半的方程組（

階和

階）代替牛頓法的解一個

階方程組，顯著地減少了內(nèi)存需求量及計算量。牛頓法和P-Q分解法的典型收斂特性P-Q分解法的特點：牛頓法和P-Q分解法的典型收斂特性NR－牛頓法；FDLF－P-Q分解法

2牛頓法每次迭代都要重新形成雅可比矩陣并進行三角分解，而P-Q分解法的系數(shù)矩陣

和

是常數(shù)陣，因此只需形成一次并進行三角分解組成因子表，在迭代過程可以反復應用，顯著縮短了每次迭代所需的時間。

3雅可比矩陣

不對稱，而

和都是對稱陣，為此只要形成并貯存因子表的上三角或下三角部分，減少了三角分解的計算量并節(jié)約了內(nèi)存。由于上述原因，P-Q分解法所需的內(nèi)存量約為牛頓法的60%，而每次迭代所需時間約為牛頓法的1/5。從牛頓法到P-Q分解法的演化是在元件

以及線路兩端相角差較小等簡化基礎上進行的，因此當系統(tǒng)存在不符合這些假設的因素時，就會出現(xiàn)迭代次數(shù)增加甚至不收斂的情況。元件

大比值病態(tài)問題這其中以出現(xiàn)元件大

比值的情景最多，如低電壓網(wǎng)絡，某些電纜線路，三繞組變壓器的等值電路以及通過某些等值方法所得到的等值網(wǎng)絡等均會出現(xiàn)大部分或個別支路

比值偏高的問題。

大

比值病態(tài)問題已成為P-Q分解法應用中的一個最大障礙。解決這個問題的途徑主要有以下兩種。

對大

比值支路的參數(shù)加以補償

對算法加以改進

1對大

比值支路的參數(shù)加以補償

對大

比值支路的參數(shù)加以補償，又分成串聯(lián)補償法及并聯(lián)補償法兩種。串聯(lián)補償法這種方法的原理見圖，其中

為增加的虛構(gòu)節(jié)點，

為新增的補償電容。

數(shù)值的選擇應滿足

支路

的條件。對大R/X比值支路的串聯(lián)補償(a)原支路；(b)補償后的支路這種方法的缺點是如果原來支路的

比值非常大，從而使

的值選得過大時，新增節(jié)點

的電壓值有可能偏離節(jié)點

及

的電壓很多，這種不正常的電壓將導致潮流計算收斂緩慢，甚至不收斂。如圖所示，經(jīng)過補償?shù)?/p>

支路的等值導納為仍等于原來

支

路的導納值。并聯(lián)補償新增節(jié)點

的電壓

不論

的取值大小都介于支路兩端電壓之間，不會產(chǎn)生病態(tài)的電壓現(xiàn)象。

并聯(lián)補償法。對大R/X比值支路的井聯(lián)補償(a)原支路；(b)補償后支路為了克服P-Q分解法在處理大

比值問題上的缺陷，許多研究工作立足于對原有算法加以改進，希望能找到一種方法，既能保待P-Q分解法的基本優(yōu)點，又能克服大

比值問題帶來的收斂困難。提出的這一類算法中，基本上保留了原來P-Q分解法的框架，但對修正方程式及其系數(shù)矩陣的構(gòu)成作出各種不同的修改。2對算法加以改進

下面介紹一種較常用的方法。前面提到，在構(gòu)成

的元素時不計串聯(lián)元件的電阻，僅用其電抗值（

），而在形成

的元素時則仍用精確的電納值(

)，稱之為