2022年北京市首師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2022年北京市首師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。）

1.(5分)若全集U=R,A={x\x<l}fB={x\x>-1},則()

A.AQBB.BQAC.%CuAD.CuAGB

（5分）若復(fù)數(shù)等的實部與虛部相等，則實數(shù)a

2.)

A.B.1C.-2D.2

3.(5分)若a=log23,b=log32,c=log46,則下列結(jié)論正確的是)

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

4.（5分）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）

A.f(x)=x1B.f(x)=cosx

C.f(x)=2WD./(%)=logr\x\

2

5.（5分）已知圓C:（X+1）2+（廠1）2=1與x軸切于A點，與y軸切于3點，設(shè)劣弧崩的

中點為M,則過點M的圓。的切線方程是（）

1

A.y=x+2-s/2C.y=x-2+V2D.y=x+l—V2

B.y=x+i一質(zhì)

6.（5分）若某多面體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此多面體的體積是（）

主視圖左視圖

僚視圖

73235.-i-q

A,-cmB.-cm5C.-cnvD.-cnr

8362

71

7.（5分）將函數(shù)y=sin（2x-（p）（0<<p<n）的圖象沿?zé)o軸向左平移二個單位后得到的圖

6

象關(guān)于原點對稱，則<p的值為（)

nn27r57r

A.-B.-C.—D.—

6336

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xy

8.（5分）“加=5”是“雙曲線C：—+，一=1的虛軸長為2”的（）

m4-m

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（5分）已知函數(shù)=\/其中國表示不超過x的最大整數(shù)，（如[-1.1]

[f（%+1）x<0

=-2,...）.若直線y=A（x+1）（心>0）與函數(shù)y=/（x）的圖象恰有三個不

同的交點，則實數(shù)人的取值范圍是（）

111111

A.—）B.[―,—）C.L-,-）D.（0,1J

10.（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AiBiGQi中，E是側(cè)面881cle內(nèi)的一個

動點（不包含端點），則下列說法中正確的是（）

A.三角形AEU的面積無最大值、無最小值

B.存在點E,滿足DiE_L8|E

C.存在有限個點E,使得三角形AEG是等腰三角形

D.三棱錐B-AED\的體積有最大值、無最小值

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。）

11.（5分）拋物線/=2x的準(zhǔn)線方程為

12.（5分）已知｛斯｝為等差數(shù)列，S”為其前"項和，若0=*,S2="3，則”2=，

Sn=?

13.（5分）（1-2x）5=。0+。1工+。/+〃/+。4^4+。5^5，則43=.

14.（5分）已知菱形ABCC的邊長為1,ZBAD=60°,AP=AAB^>0）.當(dāng)4時，AC-

PD=；當(dāng)前?茄取得最小值時，入=.

15.（5分）聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)（空氣、固體或液體）傳播并能被人

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的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象.在現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要把兩個不同的聲波進(jìn)行合成，這

種技術(shù)被廣泛運用在樂器的調(diào)音和耳機(jī)的主動降噪技術(shù)方面.

(1)若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為力(f)=sin200m,乙聲波的數(shù)學(xué)模型為發(fā)(f)=sin(200m+(p)

(<p>0),甲、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為f(f)=/i(z)+fi(/).要使/(力=0恒成

立，則⑴的最小值為；

(2)技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為，(f),其部分圖象如圖所示，對該聲波

進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由Si，S2兩種不同的聲波合成得到的，51，S2的數(shù)學(xué)模型分別

記為f(力和g(f),滿足”(r)=/(?)+g(f).已知Si,S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自

于下列四個函數(shù)中的兩個.

?y=sin^t；②y=sin2Ttf；③y=sin3nf；④y=2sin3nf.

則Si，S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型分別是.(填寫序號)

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三、解答題（本大題共5小題，每小題15分，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步

驟或證明過程。）

16.（15分）如圖，在四棱錐P-A8CZ）中，BC_L平面方B,AB//CD,若。C=￡＞尸=2,BC=

V2,A尸=1,A8=3.

（I）求證：APLAB；

（H）求直線PC與平面AOP所成的角的正弦值.

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17.(15分)在△ABC中，V3sin4+cosA=V3,b=2?再從條件①、條件②這兩個條件中

選擇一個作為已知，求：

(I)tan2A的值；

(II)c和面積S的值.

條件①：a=2,廬>〃2+。2；條件②：y[3a=2c,c>3.

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18.（15分）某企業(yè)2022年招聘員工，其中4、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人

數(shù)和錄用比例（精確到1%）如下:

崗位男性應(yīng)聘人男性錄用人男性錄用比女性應(yīng)聘人女性錄用人女性錄用比

數(shù)數(shù)例數(shù)數(shù)例

A26916762%402460%

B401230%2026231%

C1775732%1845932%

D442659%382258%

E3267%3267%

總計53326450%46716936%

（I）從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，試估計此人被錄用的概率;

（II）從應(yīng)聘E崗位的6人中隨機(jī)選擇2人.記X為這2人中被錄用的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近（二者之差的絕對值不

大于5%）,但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例.研究發(fā)現(xiàn)，若只考慮其

中某四種崗位，則男性、女性的總錄用比例也接近，請寫出這四種崗位.（只需寫出結(jié)論）

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19.（15分）己知焦點在x軸上，中心在原點，離心率為一的橢圓經(jīng)過點例（2,1）,動點

2

A，8（不與定點M重合）均在橢圓上，且直線MA與M8的斜率之和為1,。為坐標(biāo)原

點.

（I）求橢圓G的方程；

（II）求證：直線A8經(jīng)過定點（0,-2）.

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20.(15分)已知函數(shù)/(x)=a>r+(x2-2x+2)ex.

(I)求曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(II)若0為函數(shù)/(x)的極小值點，求。的取值范圍；

(III)曲線y=/(x)是否存在兩個不同的點關(guān)于y軸對稱，若存在，請給出這兩個點的

坐標(biāo)及此時a的值，若不存在，請說明理由.

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2022年北京市首師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。)

1.(5分)若全集U=R,A={x\x<l}tB={x\x>-1},則()

A.AQBB.BQAC.D.CUAGB

解：???CRA={4T21},CRB={X\X^-1},：.CRAQB9

故選：D.

2.(5分)若復(fù)數(shù)等的實部與虛部相等，則實數(shù)。=()

A.-1B.1C.-2D.2

e一、”，a+i-i(a+i)1-ai1a上，一°-

解：?.?復(fù)數(shù)~7~=的實部與虛部相等，

21—二2142=~2^=22

1a

:?一=一—，解得a--1.

22

故選：A.

3.(5分)若Q=log23,力=log32,c=log46,則下列結(jié)論正確的是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

立萬??irlg37_1八lg2_/lg6I9g3+lg2Jg3+lg3lg3

解：.”=log23=/>l"=log32=拳<l'C=log46=卷=2lJ■■<-2lg2=總'

故有b<c<af

故選：D.

4.(5分)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的函數(shù)為()

A.f(x)=尤“B.f(x)=cosx

W

C.f(x)=2D./(x)=logx\x\

2

解：A.函數(shù)/(x)=/I是奇函數(shù)，...不滿足條件.

B.函數(shù)f(x)=cosx是偶函數(shù)，但在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù).不滿足條件.

C.函數(shù)/(x)=23是偶函數(shù)，在(0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，不滿足條件.

D.函數(shù)/(x)=/ogi|x|是偶函數(shù)，在(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，滿足條件，

2

故選：D.

5.(5分)已知圓C：(x+l)2+(y-I)2=］與X軸切于4點，與)，軸切于8點，設(shè)劣弧崩的

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中點為例，則過點M的圓C的切線方程是（)

1

A.y=x+2—V2B.y=x+lC.y=x-2+V2D.y=x+\—y]2

解：由題意，M為直線y=-x與圓的一個交點，代入圓的方程可得：（x+l）2+（-%-1）

2=1.

?.?劣弧通的中點為M,.?.許乎一1,；.y=l-:，

?.,過點M的圓C的切線的斜率為1,

過點M的圓C的切線方程是廠1+孝=廠孝+1,即y=x+2—&.

故選：A.

6.（5分）若某多面體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此多面體的體積是（）

2%5a14

B.-6772*C.-cm'D.-cm'

362

解：由三視圖可知該幾何體為正方體去掉一個三棱柱得到的幾何體.

1

正方體的棱長為1,去掉的三棱柱底面為等腰宜角三角形，直角邊為5,

ill1

棱柱的高為1，棱柱的體積為:；X-X-X1=

2228

,剩余幾何體的體積為13-J=

OO

故選：A.

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71

7.(5分)將函數(shù))，=sin(2x-<p)(0<(p<n)的圖象沿x軸向左平移二個單位后得到的圖

6

象關(guān)于原點對稱，則<p的值為()

TC

解：將函數(shù)y=sin(2x-4))(0<4)<n)的圖象沿x軸向左平移二個單位后得到y(tǒng)=sin[2

6

(x+1)-4)]=sin(2x+§-4>)的圖象，

7TTT

根據(jù)所得圖象關(guān)于原點對稱，可得孑-巾=K1,kez,

故選：B.

x2y2

8.(5分)=5”是“雙曲線C：—+——=1的虛軸長為2”的()

m4-m

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

尢2y2

解：①當(dāng)加=5時，雙曲線為一一二=1,?,2=1,???虛軸長為26=2,???充分性成立,

51

%2y2

②若雙曲線為一+-=1虛軸長為2,

m4-m

(m>0

當(dāng)焦點在x軸上時，則{4一?nVO=5,

v2Vm-4=2

m<0

4-m>o，?"="1,

{2yJ—m=2

??.m=5或m=-1,???必要性不成立，

x2y2

???加=5是雙曲線一+-=1虛軸長為2的充分不必要條件.

m4-m

故選：A.

9.(5分)已知函數(shù)/(x)==…其中㈤表示不超過k的最大整數(shù)，(如[-1.1]

=-2,).若直線y=Z(x+1)(心>0)與函數(shù)y=/(x)的圖象恰有三個不

第11頁共21頁

同的交點，則實數(shù)2的取值范圍是（

111111

A.[一，一)B.[一,—)C.[一,一D.(0,1]

543243

(X-[x]X>0

解：?.?函數(shù)f(x)=〃二、?，

(/(X+1)%<0

函數(shù)八X）是周期為1的函數(shù)，且每個區(qū)間［〃，〃+1）,〃ez上均斜率為1,左端點可取、

右端點取不到，函數(shù)圖象如下所示:

；直線y=k（x+1）

二直線圖象恒過點（-1,0）,

1

當(dāng)直線y=&（x+1）過點（3,1）時，得k=不

1

當(dāng)直線（x+l）過點（2,I）時，得仁手

11

由圖象可知，當(dāng)蛇［一，-）時直線y=k（x+1）（%>0）與函數(shù)（x）的圖象恰有三個

43

不同的交點.

故選：C.

10.（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AiBCiDi中，E是側(cè)面8BC1C內(nèi)的一個

動點（不包含端點），則下列說法中正確的是（）

A.三角形AEDi的面積無最大值、無最小值

B.存在點E,滿足DiE_L8iE

第12頁共21頁

C.存在有限個點E,使得三角形AE0I是等腰三角形

D.三棱錐B-AEDi的體積有最大值、無最小值

解：選項A中，邊AG的長度為定值，三角形AEG面積與點E到AOi的距離有關(guān)，

當(dāng)點E在線段8cl上時，距離最小，此時面積取得最小值，在端點Bi,C處的距離最大，

此時面積取得最大值（舍去，端點不可?。訟不正確；

選項B中，若DiELBiE,可得點E在以中點為球心，魚為半徑的球面上，

因為以為直徑的球面與側(cè)面8B1GC有交，所以存在點E,滿足。

所以8正確；

選項C中，三角形是等腰三角形，當(dāng)A￡=DiE時，點E在的中垂面上，

且E在側(cè)面281cle上，所以點E的軌跡是線段BC（不含端點），有無窮多，所以C不

正確；

選項。中，由=VE-ABD1=寺SAABDjh，高h(yuǎn)不存在最大值（不包含端點）和最

小值，所以。不正確.

故選：B.

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。）

11.（5分）拋物線/;右的準(zhǔn)線方程為_%=—/_

解：拋物線/="的準(zhǔn)線方程為：

故答案為：x=

12.（5分）已知｛斯｝為等差數(shù)列，S,為其前〃項和，若0=去S2=〃3，則02=1,5〃

1

=_-n（n+1）_.

解：根據(jù)｛斯｝為等差數(shù)列，S2=ai+a2=a3=1+?2；

..1

??4=。3"〃2=2

.1^11

??42=2+2=

c1,n（n-l）11,「、

Sn=2-----2—x2=4九（九+1）

1

故答案為：1,-n（n+1）

4

13.（5分）（l-2x）5=。0+。1%+〃2^2+43/+。平4+。/，則。3=-80.

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解：二項式展開式的通項公式為7M=-2x)r,故/的系數(shù)43=c*-2)3=-80,

故答案為：-80.

14.(5分)已知菱形A8CO的邊長為1,ZBAD=60°,AP=XAB^>0).當(dāng);1=4時，AC-

_*3TT1

PD=-；當(dāng)4P?DP取得最小值時，入=-.

—4——4—

解：取AB中點O,連接￡>。，：四邊形A8CD為菱形，ZBAD=60°,

.?.△ABO為等邊三角形，得。。_LA8,

則以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

1V3V31

貝I]A(―5，0),C(1,—),D(0,—),B(―,0).

2222

1

當(dāng);1=★時，點P為AB的中點，即為坐標(biāo)原點O,(0,0),

：.AC=(|,易,訪=(0,易,則品.而=,；

T1T

設(shè)P(x,y),則4P=(x+W，y),又4B=(1,0),

：.[x+i=A,解得卜="三

(y=0ly=0

：.P(A-1，0),AP=(A,0),DP=(A-i,一多，

TT11

：.AP-DP=A(A-1)=A2-濁

則當(dāng);I=今時，4P?DP取得最小值一卷

15.(5分)聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)(空氣、固體或液體)傳播并能被人

的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象.在現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要把兩個不同的聲波進(jìn)行合成，這

種技術(shù)被廣泛運用在樂器的調(diào)音和耳機(jī)的主動降噪技術(shù)方面.

(1)若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為/1(f)=sin200m,乙聲波的數(shù)學(xué)模型為及(r)=sin(200m+(p)

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(<P>0),甲、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為/(，)=/1(r)+fi(/).要使/(/)=0恒成

立，則隼的最小值為；

(2)技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為HG),其部分圖象如圖所示，對該聲波

進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由S”S2兩種不同的聲波合成得到的，Si,S2的數(shù)學(xué)模型分別

記為f(/)和g(t),滿足H(r)=/(r)+g(r).已知Si，S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自

于下列四個函數(shù)中的兩個.

①y=sin￡t；(2)y=sin2n/；③y=sin3?n7；④y=2sin3m.

則Si，S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型分別是②③.(填寫序號)

XVsin(ir+a)=-sina,

??(p〃〃力=Tl，

(2)當(dāng)f=l時，y=sin^=1,y=sin2n=0,y=sin3n=0,y=2sin3n=0,

由圖象可知H(l)=0,...排出①，

由圖象可知，波峰波谷是不一樣波動的，且有三種不同的波峰，則說明了(t),g(r)的

周期不同，

而③④的周期相同，.?.一定包含②y=sin2m,

若②④組合，當(dāng)f=1時，H(-)=sin(2nX+2sin(3nX=堂+2>3,與圖象不

符，

...排除④，...只能是②③.

故答案為：TT,②③.

三、解答題(本大題共5小題，每小題15分，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步

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驟或證明過程。）

16.（15分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，BC_L平面AB//CD,若DC=DP=2,BC=

V2,AP=1,AB=3.

（I）求證：APA.AB；

（II）求直線PC與平面AOP所成的角的正弦值.

（I）證明：如圖，過點。作A8的垂線，垂足為E,

因為BCJ_平面以B,所以8CJ_AB,BC±AP,（2分）

所以BC〃OE,因為BC=&,DC=2,AB=3,

所以DE=&,AE=1,則

因為AP=1,DP=2,所以AJ+AP2：。戶，（4分）

HPAP±AD,因為BC與4。相交，BC、ADu平面ABC。,

所以AP_L平面A8CC,ABu平面ABC。，所以AP_LAB；（6分）

（II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),P(l,0,0),0(0,1,V2),C(0,3,V2),

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所以G=(l,0,0),AD=(0,1,V2),PC=(-1,3,V2),

設(shè)平面AOP的法向量為7=(x,y,z),

則層”=0x=0

,所以

(幾?AD=0y+42z=0'

令名=行，則?i=(0,-2,V2),

而I”尸nr\nPC-4\[2

所以COS〈7l,PQ=———=-=-7==-"不，

171HpeId6X243$

y[2

所以直線PC與平面AOP所成角的正弦值為(12分)

17.(15分)在△ABC中，遮sinA+cosA=g,6=2遮.再從條件①、條件②這兩個條件中

選擇一個作為已知，求：

(I)tan2A的值；

(IDc和面積S的值.

條件①：。=2,房>〃2+c2；條件②：yf3a=2c,c>3.

解：因為V5sinA+cosA=V3

所以2sin(A+1)=V3,

o

即sin(4+1)=堂，

oz

又0<A<7T,

所以巴V4+a<2

所以A+W或A+好手

得A=看或A=

若選擇條件①：

(I)因為〃=2,b=2?

所以A不是最大角，得

所以tan2A=tan-=

3

,―――ab2273

(II)由正弦定理一二=一二，可得一^=-

sinAsinBsin-sinB

6

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所以sinB=r、

因為/AcP+c2,

222

匚匚I、I-a+c—b/

所以cosB=--------<0,

Zac

所以巴<B<n,

2

所以8=等，C=%

36

所以c=a=2,S=^?i>sinC=V3.

若選擇條件②：

(I)因為Wa=2c,c>3,

所以.=專＞+=2遮4,且a>c,

所以A是最大角，得A.,

所以tan2A=tann=0.

acTT

（II）由正弦定理（或直接利用c=〃sinC）,以總i=2c,A=亍

sinAsinC乙

可得sinC=孚，

因為0VCV%

所以C=泉B=*

又一=tan8,

c

所以c—2^=6,S=^bc=6y/3.

v-Jz

T

18.（15分）某企業(yè)2022年招聘員工，其中4、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人

數(shù)和錄用比例（精確到1%）如下：

崗位男性應(yīng)聘人男性錄用人男性錄用比女性應(yīng)聘人女性錄用人女性錄用比

數(shù)數(shù)例數(shù)數(shù)例

A26916762%402460%

B401230%2026231%

C1775732%1845932%

第18頁共21頁

D442659%382258%

E3267%3267%

總計53326450%46716936%

（I）從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，試估計此人被錄用的概率;

（H）從應(yīng)聘E崗位的6人中隨機(jī)選擇2人.記X為這2人中被錄用的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近（二者之差的絕對值不

大于5%）,但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例.研究發(fā)現(xiàn)，若只考慮其

中某四種崗位，則男性、女性的總錄用比例也接近，請寫出這四種崗位.（只需寫出結(jié)論）

解：（I）因為表中所有應(yīng)聘人員總數(shù)為533+467=1000,

被該企業(yè)錄用的人數(shù)為264+169=433,

433

所以從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，此人被錄用的概率約為P

1000,

（II）X可能的取值為0,1,2.

因為應(yīng)聘E崗位的6人中，被錄用的有4人，未被錄用的有2人，

所以P（X=0）=3=強(qiáng);P（X=1）=竽*；P（X=2）=§=|.

CAQA「A

所以X的分布列為:

X012

P182

15155

1824

￡W=OXT5+1XT5+2X5=3-

264-167

（III）取掉A崗位后，男性的總錄用比例為=36.7%,女性的總錄用比例為

533-269

169-24

々34.0%,

467-40

故去掉A崗位后，男、女總錄用比例接近.

.?.這四種崗位是：B、C、D、E.

19.（15分）已知焦點在x軸上，中心在原點，離心率為手的橢圓經(jīng)過點M（2,1）,動點

A,B（不與定點M重合）均在橢圓上，且直線與MB的斜率之和為1,O為坐標(biāo)原

點.

（1）求橢圓G的方程;

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（II）求證：直線48經(jīng)過定點（0,-2）.

丫2”2Cy/3

解：（I）設(shè)橢圓G：2+與=l（Q>b>0）的離心率為77,所以一=二，

a“b2a2

又因為/=/+/,所以/=4/，

41

由定點M（2,1）在橢圓上可得于+77=1，解得y=2,/=8,