非線性本構(gòu)關(guān)系簡介

非線性本構(gòu)關(guān)系簡介.ppt1.彈性介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系對線彈性介質(zhì)只有兩個獨(dú)立的彈性常數(shù)，但應(yīng)力應(yīng)變（本構(gòu)）關(guān)系有多種表示形式：用G和μ表示用G和體積模量K表示1.1線性彈性小變形Date2式中應(yīng)力和應(yīng)變偏張量分別為如果用拉梅（Lame）λ常數(shù)表示，則有彈性常數(shù)間有如下關(guān)系Date3利用上述關(guān)系，只要已知兩個彈性常數(shù)就可寫出有限元分析中的彈性矩陣(D)。例如，當(dāng)以G和μ表示時，以張量形式表示的本構(gòu)關(guān)系為由此可獲得彈性張量Dijkl。其他可仿此寫出。Date4非線性彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，一般是根據(jù)材料的力學(xué)試驗(yàn)通過擬合來得到的。例如金屬材料單向拉伸Romberg-Osgood模型的關(guān)系為式中k和n為擬合的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，E為初始彈性模量。一般情況下本構(gòu)關(guān)系可表為1.2非線性彈性小變形在有限元分析中有兩種應(yīng)用形式：全量形和增量形本構(gòu)關(guān)系。Date5全量本構(gòu)關(guān)系的表達(dá)形式和線性彈性情況相同，也即1.2.1全量形式本構(gòu)關(guān)系但其中的彈性系數(shù)Gs,μs不再是常數(shù)，它們是應(yīng)變或應(yīng)力的函數(shù)，分別稱為割線彈性系數(shù)?？蓪⑺鼈兛醋髋c一定應(yīng)力（或應(yīng)變）水平對應(yīng)的割線常數(shù)（割線剪切模量和割線泊松比）。式中為割線彈性張量，形式上它仍可表為Date6例如對混凝土，Andenaes等依據(jù)實(shí)驗(yàn)給出，八面體正應(yīng)力、切應(yīng)力和八面體線應(yīng)變、角應(yīng)變間關(guān)系為σoctεoctKsKt并有其中G、K分別為初始切線剪切和體積模量，為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度，a、m、c和p為由試驗(yàn)確定的常數(shù)。GtGsDate71.2.2增量形式本構(gòu)關(guān)系增量本構(gòu)關(guān)系的表達(dá)形式為但其中的彈性系數(shù)Gt,μt也不是常數(shù)，也是應(yīng)變或應(yīng)力的函數(shù)，分別稱為切線彈性系數(shù)?？蓪⑺鼈兛醋髋c一定應(yīng)力（或應(yīng)變）水平對應(yīng)的切線常數(shù)（切線剪切模量和切線泊松比）。式中為切線彈性張量，形式上仍可表為上面介紹的是哥西方法，講義上還簡述了格林方法，大家可自行閱讀。Date8韌性（塑性）金屬材料單向拉伸試驗(yàn)曲線如下圖示意2.1應(yīng)力空間表述的彈塑性本構(gòu)關(guān)系2.彈塑性力學(xué)有關(guān)內(nèi)容簡介彈性極限屈服下限屈服上限強(qiáng)度極限強(qiáng)化段軟化段彈性變形殘余變形卸載Date9包辛格效應(yīng)反向屈服點(diǎn)卸載、反向加載Date10由單向拉伸曲線可見，彈塑性材料受外部作用的反應(yīng)和變形的歷史有關(guān)（可稱為歷史相關(guān)性或路徑相關(guān)性），因此本構(gòu)關(guān)系應(yīng)寫成增量關(guān)系。又因彈塑性狀態(tài)下加載和卸載有不同的規(guī)律，所以其本構(gòu)關(guān)系的表述要比非線性彈性情況復(fù)雜。以應(yīng)力為坐標(biāo)，其每點(diǎn)代表一個應(yīng)力狀態(tài)，如此的空間稱為應(yīng)力空間。判斷材料處于彈性還是塑性的準(zhǔn)則，稱為屈服條件或塑性條件。1)屈服條件和屈服面彈性和塑性區(qū)的分界面稱為屈服面?？臻g屈服面應(yīng)是一個凸曲面。Date11屈服條件曾經(jīng)有最大主應(yīng)力（伽）、最大主應(yīng)變（圣）假設(shè)，但后來都被實(shí)驗(yàn)所否定。后來法國的H.Tresca提出，最大切應(yīng)力達(dá)某一極限值時，材料即進(jìn)入塑性狀態(tài)。德國的R.Von.Mises及H.Hencky又進(jìn)一步指出，彈性形變比能（也稱歪形能）達(dá)一定值時材料進(jìn)入塑性。對韌性金屬，這一假設(shè)比較接近實(shí)際。原蘇聯(lián)學(xué)者伊留申提出應(yīng)力強(qiáng)度的概念，并以應(yīng)力強(qiáng)度作為表征物體受力程度的參數(shù)。認(rèn)為應(yīng)力強(qiáng)度達(dá)到單向拉伸的屈服極限時，材料進(jìn)入塑性。這不僅概念清楚，而且便于使用，因此是塑性力學(xué)常用假設(shè)之一。Date12在材料的一般應(yīng)力狀態(tài)下，可認(rèn)為應(yīng)力滿足如下條件時材料發(fā)生屈服，即處于塑性狀態(tài)：式中

為應(yīng)力張量，

為塑性應(yīng)力張量，k為標(biāo)志永久變形的量。和k統(tǒng)稱為內(nèi)變量。其中

與塑性應(yīng)變張量間存在如下關(guān)系k（又稱硬化參數(shù)）有多種取法，可以是塑性功、塑性體應(yīng)變和等效塑性應(yīng)變。轉(zhuǎn)圖

其中塑性體應(yīng)變?yōu)镈ate13應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系示意Date14從自然狀態(tài)第一次進(jìn)入屈服的屈服條件稱初始屈服條件，產(chǎn)生塑性變形后的屈服條件稱后繼屈服條件。初始屈服條件可表為：，它只與當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。屈服條件都可看成應(yīng)力空間的超曲面，初始屈服條件稱初始屈服面，后繼屈服條件稱后繼屈服面，統(tǒng)稱屈服面。如果一點(diǎn)應(yīng)力的,則此點(diǎn)處于彈性狀態(tài)，如果，則處于塑性狀態(tài)。屈服面隨內(nèi)變量改變的規(guī)律稱強(qiáng)化規(guī)律。由材料試驗(yàn)的資料可建立各種強(qiáng)化模型，目前廣泛采用的有：等向強(qiáng)化；隨動強(qiáng)化兩種模型。Date15等向強(qiáng)化隨動強(qiáng)化Date16等向強(qiáng)化認(rèn)為屈服面形狀不變，只是作均勻的擴(kuò)張，后繼屈服面僅與一個和內(nèi)變量有關(guān)的參數(shù)有關(guān)，可表為：隨動強(qiáng)化則認(rèn)為屈服面大小和形狀不變，僅是整體地在應(yīng)力空間中作平動，其后繼屈服面可表為：多數(shù)材料的屈服面介于兩者間。如果應(yīng)力空間中應(yīng)力方向變化不大，等向強(qiáng)化與實(shí)際較符合。它的數(shù)學(xué)處理簡單，故應(yīng)用較廣。但當(dāng)需考慮循環(huán)荷載下耗能時，隨動強(qiáng)化可反應(yīng)包辛格效應(yīng)，因此應(yīng)該用它。Date172）塑性狀態(tài)的加載和卸載準(zhǔn)則跳轉(zhuǎn)在外部作用下應(yīng)變點(diǎn)仍在屈服面上，并有新的塑性變形發(fā)生，此時稱這個過程為塑性加載。如果應(yīng)變點(diǎn)離開屈服面退回彈性區(qū)，反應(yīng)是純彈性的，此過程稱塑性卸載。應(yīng)變點(diǎn)不離開屈服面，又無新的塑性變形發(fā)生，此時稱中性變載。轉(zhuǎn)下Date18塑性加載塑性卸載Date192-2)具有強(qiáng)化的彈塑性材料跳轉(zhuǎn)2-1）理想彈塑性材料由于此時屈服面大小和形狀不隨內(nèi)變量發(fā)展而改變，因此屈服面為。用公式表示理想彈塑性材料的加卸載準(zhǔn)則為：卸載，彈性加載，塑性卸載，彈性加載，塑性中性變載，塑性對軟化材料，無法建立加、卸載準(zhǔn)則(應(yīng)力性)。轉(zhuǎn)圖Date20理想彈塑性材料等向強(qiáng)化彈塑性材料隨動強(qiáng)化彈塑性材料Date213）流動準(zhǔn)則在塑性力學(xué)中，認(rèn)為材料進(jìn)入塑性后存在一個勢函數(shù)（簡稱塑性勢）。塑性應(yīng)變增量可由勢函數(shù)給出：流動準(zhǔn)則又可分為正交（相關(guān)）流動準(zhǔn)則和非正交（非相關(guān)）流動準(zhǔn)則兩種。前者認(rèn)為塑性勢就是屈服面，因此。而后者則認(rèn)為塑性勢和屈服面不同。對正交準(zhǔn)則，塑性流動方向垂直于屈服面，加、卸載準(zhǔn)則取決于非負(fù)的尺度因子dλ，它大于零，表示加載，等于零，表示其他情況。Date224）彈塑性本構(gòu)關(guān)系

在應(yīng)力增量dσij作用下，應(yīng)變增量dεij可分成彈性和塑性兩部分。彈性部分在上述概念基礎(chǔ)上，下面討論材料非線性分析的核心問題——正交流動彈塑性本構(gòu)關(guān)系。因此總應(yīng)變?yōu)閺椥詮埩恳驗(yàn)樵谛遁d和中性變載狀態(tài)dλ=0，因此反應(yīng)是純彈性的。Date23對于具有強(qiáng)化的加載狀態(tài)，因?yàn)榍鏋橐虼擞忠驗(yàn)閯t由df=0（也稱一致性條件）可得在永久變形標(biāo)志k各種不同取法情況下，dk將有不同的形式，若統(tǒng)一記一致性條件Date24由此可見，只要建立了屈服面方程，則對應(yīng)加載狀態(tài)應(yīng)力增量dσij的應(yīng)變增量dεij為若引入如下記號：則彈塑性本構(gòu)關(guān)系可統(tǒng)一表示成上述本構(gòu)方程是以應(yīng)力為基本未知量的，它只適用于強(qiáng)化材料。Date252.2應(yīng)變空間表述的彈塑性本構(gòu)關(guān)系以應(yīng)變空間來討論，能給出對強(qiáng)化、軟化和理想塑性材料普遍適用的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式。由于所有的討論基本上和應(yīng)力空間對應(yīng)，因此下面只是簡單列出有關(guān)式子。1)屈服條件和屈服面屈服面方程初始屈服面屈服面內(nèi)彈性，屈服面上塑性。2)加、卸載和流動準(zhǔn)則Date26對正交流動準(zhǔn)則dλ大于零表示加載，等于零表示其他情況。3)彈塑性本構(gòu)關(guān)系式中Date27同樣，若引入如下記號：則彈塑性本構(gòu)關(guān)系也可統(tǒng)一表示成式中稱塑性矩陣，稱彈塑性矩陣。上述本構(gòu)方程是以應(yīng)變?yōu)榛疚粗康?，它適用于理想塑性、強(qiáng)化和軟化材料。Date282.3兩種表述的關(guān)系由于建立屈服函數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究多為用應(yīng)力表示的，關(guān)于強(qiáng)化、軟化和理想塑性等也是用應(yīng)力定義的，但是應(yīng)力空間本構(gòu)有很大局限性。因此有必要把應(yīng)變空間表述的本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換成用應(yīng)力表示。在應(yīng)力空間的屈服面方程為由于，。將其代入屈服面方程，則可得到應(yīng)變空間的屈服面Date29建立了兩空間屈服面關(guān)系后，對應(yīng)變空間的導(dǎo)數(shù)就可用應(yīng)力空間屈服面的導(dǎo)數(shù)來計(jì)算利用上述式子，即可將應(yīng)變空間的本構(gòu)方程和加、卸載準(zhǔn)則用應(yīng)力屈服面函數(shù)表示如下：Date30必須注意，這里導(dǎo)數(shù)是由應(yīng)力空間屈服面定義的，但是它是應(yīng)變空間表述的。位移有限元分析用它！下節(jié)將利用本節(jié)知識討論幾種常用材料的本構(gòu)和流動準(zhǔn)則Date313.幾種常用彈塑性材料模型簡介3.1等向強(qiáng)化-軟化的米塞斯（Mises）材料由薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn)研究可得，這種材料的屈服面方程為在主應(yīng)力狀態(tài)下，第二不變量為式中J2是應(yīng)力偏張量的第二不變量，由于偏張量第一不變量等于零，因此Date32在單向拉伸狀態(tài)下，J2=σ2/3。在純剪狀態(tài)下，J2=τ2。一般情況下，sij=σij-σkkδij/3,所以.屈服面式中χ(k)，是由單向應(yīng)力狀態(tài)的數(shù)據(jù)確定的屈服參數(shù)。在單向拉伸時為χ2=σB2/3。在純剪狀態(tài)下χ=τB。任何情況下χ都是硬化參數(shù)塑性功wp的函數(shù)。根據(jù)屈服面表達(dá)式，可求得因?yàn)镈ate33因此為了求A，需先由屈服面對wp的偏導(dǎo)數(shù)求M式中Gp是曲線的斜率。同理，對單向拉伸情況，-M=Ep/3。Date34由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因因?yàn)榧兗鬐p是塑性剪切模量單向拉伸Ep是塑性拉伸模量Date35由此可得彈塑性矩陣為加、卸載準(zhǔn)則為統(tǒng)一的本構(gòu)關(guān)系為Date363.2隨動強(qiáng)化的米塞斯材料這種材料的屈服面方程為由此屈服面方程出發(fā)，求導(dǎo)可得式中α是與內(nèi)變量有關(guān)的量，稱為應(yīng)力遷移張量，由它可以確定屈服面在應(yīng)力空間的位置。是一個常量，表示屈服面形狀不變。如上推導(dǎo)即可得到應(yīng)變空間的本構(gòu)關(guān)系和流動準(zhǔn)則。米塞斯屈服準(zhǔn)則主要適用于金屬材料。Date37Date383.3巖土工程廣泛使用的Mohr-Coulomb材料這種材料的屈服準(zhǔn)則為式中τ是破壞面上切應(yīng)力，σn是破壞面的正壓力。c是材料粘性系數(shù)，φ是內(nèi)摩擦角，c和φ是兩個材料常數(shù)。在主應(yīng)力空間，此屈服準(zhǔn)則可用下圖示意Date39據(jù)此，屈服面方程可寫為引入主應(yīng)力的三角公式上述屈服面方程可改為Date40與前面兩種情況相同，由此即可求得，但必須注意，在棱面交界處導(dǎo)數(shù)是無法確定的，因此使有限元分析困難。Date413.4等向強(qiáng)化-軟化的Drucker-Prager材料這種材料的屈服面方程為式中α和χ是材料常數(shù)，為了確定它，將其和摩爾-庫侖準(zhǔn)則對比。摩爾