地圖學(xué)第二章1

通過天文大地測量、地球重力測量、衛(wèi)星大地測量等精密測量，發(fā)現(xiàn)：

地球并不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。§2.1地球的形狀和大小一、地球的自然表面

浩瀚宇宙之中地球是一個表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。機(jī)艙窗口俯視大地:地表是一個有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

由于地球的自然表面凸凹不平，形態(tài)極為復(fù)雜，顯然不能作為測量與制圖的基準(zhǔn)面。應(yīng)該尋求一種與地球自然表面非常接近的規(guī)則曲面，來代替這種不規(guī)則的曲面。地球的自然表面并非光滑，珠穆朗瑪與馬里亞納海溝之間的高差達(dá)近20km。二、地球的物理表面（一）大地水準(zhǔn)面（一級逼近）

假想將靜止的平均海水面延伸到大陸內(nèi)部，形成一個連續(xù)不斷的，與地球比較接近的形體，其表面稱為大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面大地水準(zhǔn)面的意義1.地球形體的一級逼近： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2.起伏波動在制圖學(xué)中可忽略：

對大地測量和地球物理學(xué)有研究價值，但在制圖中，均把地球當(dāng)作正球體。3.重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。三、地球體的數(shù)學(xué)表面（橢球體表面）大地水準(zhǔn)面仍然不是一個規(guī)則的曲面。因?yàn)橹亓€方向并非恒指向地心，導(dǎo)致處處與重力線方向正交的大地水準(zhǔn)面也不是一個規(guī)則的曲面。大地水準(zhǔn)面實(shí)際上是一個起伏不平的重力等位面。

為了測量成果的計算和制圖工作的需要，選用一個同大地體相近的，可以用數(shù)學(xué)方法來表達(dá)的旋轉(zhuǎn)橢球體來代替地球。這個旋轉(zhuǎn)橢球是一個橢球繞其短軸旋轉(zhuǎn)而成，其表面成為旋轉(zhuǎn)橢球面。

旋轉(zhuǎn)橢球體（地球橢球體）——地球的數(shù)學(xué)表面——對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準(zhǔn)面

地球橢球體三要素：

長軸a（赤道半徑）

短軸b（極半徑）

橢球扁率：f＝（a－b）/a

EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab

對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。

通過數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)垂直的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對地球形狀的三級逼近。地球橢球體定位——對地球形體的三級逼近。

地球橢球體定位：在天文大地測量中首先選取一個對一個國家比較適中的大地測量原點(diǎn)，并從此點(diǎn)出發(fā)通過事先布設(shè)的三角網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行幾何測量和大地經(jīng)緯度測量，逐一求出各網(wǎng)點(diǎn)的垂線偏差，再以上述的測量結(jié)果將事先設(shè)置的地球橢球面位置調(diào)整到最理想的位置上。這種定位，相對于全球而言，只能是局部定位。局部定位的地球橢球體，稱為參考橢球體，國際上有多種大地測量原點(diǎn)和參考橢球。

測量與制圖工作將以參考橢球體表面作為幾何參考面，將大地體上進(jìn)行的大地測量結(jié)果歸算到這一參考面上。

中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；

1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。§2.2地球坐標(biāo)系與大地定位

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。一、地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度①

天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度λ、大地緯度

和大地高H

表示。大地經(jīng)度l

：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度

：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度λ

，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y。在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。二、中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1.中國的大地坐標(biāo)系

1980年選用1975年國際大地測量協(xié)會推薦的參考橢球：ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572.中國的大地控制網(wǎng)由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國各地。平面控制網(wǎng):

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。高程控制網(wǎng):

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對高程均是據(jù)此推

算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準(zhǔn)》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升29毫米。

青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)§2.3地圖投影的基本概念一、問題的提出：

地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

是指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。包括：經(jīng)緯網(wǎng)、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點(diǎn)、比例尺等。兩個矛盾：

球面與平面之間的矛盾

大與小的矛盾

將橢球面上的客觀世界表現(xiàn)在有限的平面上,首先要實(shí)現(xiàn)由球面到平面的轉(zhuǎn)換.如何轉(zhuǎn)換?沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?

可見,地球橢球面是不可展開的面.無論如何展開都會產(chǎn)生褶皺,拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學(xué),準(zhǔn)確的地圖.因此解決球面與平面之間的矛盾——

將地球橢球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成平面上的點(diǎn)。

大與小的矛盾——地圖投影比例尺二、投影方式：1.平行投影2.透視投影3.廣義投影三、地圖投影實(shí)質(zhì)：

建立平面上的點(diǎn)（用平面直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)表示）和地球表面上的點(diǎn)（用緯度和經(jīng)度表示）之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式表達(dá)這種關(guān)系，就是：

§2.4變形橢圓一、投影變形的概念1.投影變形產(chǎn)生原因——地球的形狀2.投影變形的概念

地圖投影不能保持平面與球面之間在長度（距離）、角度（形狀）、面積等方面完全不變。地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格和地圖上比較:球面經(jīng)緯網(wǎng)經(jīng)過投影之后，其幾何特征受到扭曲——地圖投影變形：長度（距離）、角度（形狀）、面積。二、變形橢圓

取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比為緯線長度比代入：X2+Y2=1，得微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即

以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。主方向（底索定律）：無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點(diǎn)至少有一對正交方向線，在投影平面上仍然保持其正交關(guān)系”。在投影后仍保持正交的一對線的方向成為主方向。取主方向?yàn)樽鳛槲⒎謾E圓的坐標(biāo)長軸方向（極大值）a

短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m

；緯線方向n據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b主方向特殊方向通過變形橢圓形狀顯示變形特征結(jié)論：微分圓長、短半軸的大小，等于該點(diǎn)主方向的長度比。也就是說，如果一點(diǎn)上主方向的長度比（極值長度比）已經(jīng)確定，則微分圓的大小和形狀即可確定。三、投影變形的性質(zhì)和大小長度比和長度變形：

投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲取?/p>

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小面積比和面積變形：

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和經(jīng)向緯向一致）

P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）

面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小角度變形：

投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。

最大角度變形可用極值長度比a,b表示實(shí)用上常以下公式求得：長度變形是各種變形的基礎(chǔ)！§2.5地圖投影的分類1.按地圖投影的構(gòu)成方法分類（1）幾何投影:

源于透視幾何學(xué)原理，以幾何特征為依據(jù)，將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

方位投影:圓柱投影:圓錐投影:

方位投影:

以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

根據(jù)球面與投影面的相對部位不同，分為正軸投影，橫軸投影，斜軸投影:

正軸方位投影，投影面與地軸相垂直；橫軸方位投影，投影面與地軸相平行；斜軸方位投影，投影面與地軸斜交。

圓柱投影:

以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。正軸：圓柱軸與地軸重合；橫軸：圓柱軸與地軸垂直；斜軸：圓柱軸與地軸斜交；

圓錐投影:

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。

正軸：圓錐軸與地軸重合；橫軸：圓錐軸與地軸垂直；斜軸：圓錐軸與地軸斜交；

正軸投影的經(jīng)緯線形狀

a.正軸方位：經(jīng)線為放射狀直線，緯線為同心圓；

b.正軸圓柱：經(jīng)緯線均為一組平行且間隔相等的直線，緯線與經(jīng)線垂直；

c.正軸圓錐：經(jīng)線為放射狀直線束，緯線為同心圓。

正軸投影的變形特點(diǎn)（1）方位投影變形特點(diǎn)：①等變形線與緯圈一致；②在切方位投影中，切點(diǎn)上無變形，隨著遠(yuǎn)離切點(diǎn)，變形增大；③在割方位投影中，在所割小圓上，角度變形與“切”的情況一樣，其他變形（長度變形與面積變形）則自所割小圓向內(nèi)與向外增大。（2）圓柱投影變形特點(diǎn)：①變形隨緯度變化，與經(jīng)差無關(guān)；②在切圓柱投影中，赤道無變形，變形自赤道向兩側(cè)隨緯度的增加而增大；③在割圓柱投影中，在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上無變形，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)和向外增大。

適宜于低緯度沿緯線伸展的地區(qū)。

（3）圓錐投影變形特點(diǎn):①變形只與緯度有關(guān)，與經(jīng)差無關(guān)，同一緯線上的變形是相同的；

②切圓錐投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線上長度比等于n。=1，其余緯線上長度比均大于1，并向南、北方向增大；③在割圓錐投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線n1=n2=1,變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)、向外增大，在之間n<1,在之外n>1.

適合中緯度處沿緯線伸展的制圖區(qū)域之投影

（2）非幾何投影：

根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。

偽方位投影：在正軸方位投影的基礎(chǔ)上，緯線仍投影為同心圓，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。且交于緯線的共同圓心。

特點(diǎn)：可設(shè)計等變形線與制圖區(qū)域輪廓近似一致。如：橢圓形、卵形、三角形、三葉玫瑰形和方形等規(guī)則幾何圖形。全國疆域全圖的經(jīng)緯網(wǎng)略圖及角度等變形線偽圓柱投影：在正軸圓柱投影基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍為平行線，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

以等面積投影較多桑遜投影：（Sanson-Flamsteed)等面積中央經(jīng)線和緯線無長度變形緯線越高之處變形越大適合沿赤道和沿中央經(jīng)線伸展方向的地區(qū)偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上