專(zhuān)題11 等腰三角形與其他知識(shí)的綜合（解析版）

專(zhuān)題11等腰三角形與其他知識(shí)的綜合（解析版）類(lèi)型一等腰三角形與平行線(xiàn)、角平分線(xiàn)的綜合1．（2022秋?洛江區(qū)期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)I作DE∥BC交BA于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周長(zhǎng)是8 D．∠BIC＝115?【思路引領(lǐng)】由角平分線(xiàn)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)可以得到等角，從而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周長(zhǎng)被轉(zhuǎn)化為△ABC的兩邊AB和AC的和，即求得△ADE的周長(zhǎng)為8．【解答】解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理，CE＝EI．∴△DBI和△EIC是等腰三角形；∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴∠BIC＝115°，故選項(xiàng)A，C，D正確，故選：B．【總結(jié)提升】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及角平分線(xiàn)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．2．（2019秋?南宮市期末）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)E，EF∥AB交AC于點(diǎn)F．求證：△FEC是等腰三角形．【思路引領(lǐng)】利用平行線(xiàn)以及角平分線(xiàn)的定義證明∠2＝∠3，再根據(jù)等角的余角相等證明∠4＝∠5即可解決問(wèn)題；【解答】證明：如圖，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵CE⊥AD于點(diǎn)E，∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，∴FE＝FC，∴△FEC是等腰三角形．【總結(jié)提升】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（2020秋?延邊州期末）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED＝EC．（1）如圖①，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求證：AE＝DB．（2）如圖②，點(diǎn)E在邊AB上時(shí)，AE＝DB（填：“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）．（3）在等邊△ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED＝EC．若AB＝1，AE＝2時(shí)，直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一得到CE為∠ACB的平分線(xiàn)，證明BD＝BE，等量代換證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，證明△DBE≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）分點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上和點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴CE為∠ACB的平分線(xiàn)，∴∠BCE=12∠ACB=12∵ED＝EC，∴∠D＝∠DCE＝30°，∵∠ABC＝60°，∠D+∠DEB＝∠ABC，∴∠DEB＝30°，∴BD＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）解：AE＝BD，理由如下：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝∠AFE＝∠ACB＝60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AB＝AC，∴BE＝CF，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECB，∴∠D+∠DEB＝∠ECB+∠ECF＝60°，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=EC∠DBE=∠EFC∴△DBE≌△EFC（SAS），∴EF＝DB，∵AE＝EF，∴AE＝DB；故答案為：＝；（3）解：如圖③，作EF∥BC交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則△AEF為等邊三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°+∠BEC，∵∠EDC＝∠ECD＝∠B°+∠BEC＝60°+∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB，∵EB＝CF＝3，∠CEF＝∠EDB，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD﹣BC＝1，如圖4，仿照以上作法可知，CD＝3，綜上所述，CD＝1或3．【總結(jié)提升】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二等腰三角形與垂直平分線(xiàn)的綜合4．（2017秋?新洲區(qū)期中）如圖，線(xiàn)段AB，DE的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．168° B．158° C．128° D．118°【思路引領(lǐng)】連接CE，依據(jù)線(xiàn)段AB，DE的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，設(shè)∠AEC＝∠BDC＝α，則∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．【解答】解：如圖，連接CE，∵線(xiàn)段AB，DE的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，∴CA＝CB，CE＝CD，∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，∴∠ACB＝∠ECD＝36°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，設(shè)∠AEC＝∠BDC＝α，則∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．5．（2014秋?湛江校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是邊AB垂直平分線(xiàn)交AB于E，交AC于D，連接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)．（2）若△BCD的周長(zhǎng)為12cm，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，求BE的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求得∠ABC，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得∠ADB，則可求得∠DBC；（2）由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，再結(jié)合△ABC的周長(zhǎng)，可求得AB的長(zhǎng)，則可求得BE．【解答】解：（1）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴BD＝AD°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（2）△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12，△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝AB+12＝18，∴AB＝6，∴BE=12AB＝【總結(jié)提升】本題主要考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（2020秋?休寧縣期中）如圖，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分線(xiàn)AD與邊BC的垂直平分線(xiàn)DG相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求BE的長(zhǎng)度．【思路引領(lǐng)】連接CD，BD，由∠BAC的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，易得CD＝BD，DF＝DE，繼而可得AF＝AE，證得Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），則可得BE＝CF，繼而求得答案．【解答】解：如圖，連接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分線(xiàn)，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝11，AC＝5，∴BE=12（11﹣5）＝【總結(jié)提升】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．7．（2022秋?亳州期末）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線(xiàn)，點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線(xiàn)CN于點(diǎn)E，P．（1）求證：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）求證：PB＝PC+2PE．【思路引領(lǐng)】（1）先證明CN是AD的垂直平分線(xiàn)，再由CA＝CD，CA＝CB，即可得到CB＝CD，證明即可；（2）由題意得∠ACD＝2∠ACN＝2α，再由△ABC是等邊三角形，推導(dǎo)出∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α，即可求∠BDC；（3）在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，根據(jù)題意得到PD＝2PE，進(jìn)一步證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△DPC（AAS），得到BF＝PD＝2PE，即可證明PB＝PF+BF＝PC+2PE．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于CN對(duì)稱(chēng)，∴CN是AD的垂直平分線(xiàn)，∴CA＝CD，∵CA＝CB，∴CB＝CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵CA＝CD，AD⊥EC，∴∠ACD＝2∠ACN＝2α，∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α，∴∠BDC=∠DBC=1（3）證明：在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α，∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∴PD＝2PE，∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°，∴△CPF是等邊三角形，∴∠CPF＝∠CFP＝60°，∴∠BFC＝∠DPC＝120°，在△BFC和△DPC中，∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDP∴△BFC≌△DPC（AAS），∴BF＝PD＝2PE，∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．【總結(jié)提升】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三等腰三角形與幾何變換的綜合8．（2011秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝CF；（2）將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點(diǎn)E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖2，求證：A′E′是∠CE′D′的角平分線(xiàn)；（3）試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠1＝∠2，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CFE＝∠AED，然后根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠CEF＝∠AED，從而得到∠CEF＝∠CFE，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同位角相等可得∠CFE＝∠A′E′F，然后求出∠A′E′D′＝∠A′E′F，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義證明即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得∠2＝∠3，AE＝A′E′，求出∠1＝∠3，再根據(jù)等角的余角相等求出∠B＝∠4，再利用“角角邊”證明△ACE和△A′BE′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE′＝CE，從而得到BE′＝CF．【解答】證明：（1）∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠1+∠CFE＝90°，∠2+∠AED＝90°，∴∠CFE＝∠AED，∵∠CEF＝∠AED（對(duì)頂角相等），∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF；（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，∴∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，∴∠CFE＝∠A′E′F，∵∠CFE＝∠AED，∴∠A′E′D′＝∠A′E′F，∴A′E′是∠CE′D′的角平分線(xiàn)；（3）由平移的性質(zhì)得，∠2＝∠3，AE＝A′E′，∴∠1＝∠3，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠4+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠4，在△ACE和△A′BE′中，∠1=∠3∠B=∠4∴△ACE≌△A′BE′（AAS），∴BE′＝CE，∵CE＝CF，∴BE′＝CF．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，平移的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，利用數(shù)字加弧線(xiàn)表示角更形象直觀．9．（2015?趙縣一模）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC＝OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．【解答】（1）證明：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形．（2）解：當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．理由是：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠OAD=180°-(α-60°)2=120∴190°﹣α＝120°-α解得α＝140°．綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【總結(jié)提升】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問(wèn)題的能力．10．（2021春?漳州期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線(xiàn)段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線(xiàn)段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，直線(xiàn)DA交y軸于點(diǎn)E．（1）求證：OC＝AD．（2）∠CAD的度數(shù)是60°；（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，則∠OBC＝∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD，由全等三角形的判定與性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）由△