北京市精華學(xué)校2021屆高三三模數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

2020-2021學(xué)年精華學(xué)校三模數(shù)學(xué)

本試卷共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={0,1,2,3},B={X|熹4},則4n3=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又以兀為最小正周期的函數(shù)是（）

A.y=cos2xB.y=sin2xC.y=sinx+cosxD.y=tan2x

3.（x—2'的展開式中d的系數(shù)是（）

A.20B.-20C.160D.-160

4.已知直線x—y+a=0與圓O:f+y2=4相交于A,3兩點(diǎn)（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），且4AOB為等邊三角形,

則實(shí)數(shù)。=（）

A.-y6B.±y/6C.y/2D.+-72

5.已知實(shí)數(shù)a1滿足等式2"=3"，下列關(guān)系式中不可能成立的是（）

A.0<b<aB.a<b<0C.b<a<0D.a=b

6,某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則四棱錐的側(cè)面積為（）

A.4+472B.40+2百

D.§

3

7.已知"tana=tanQ"是"a=￡+E,AeZ”()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知拋物線C產(chǎn)=1級(jí)的焦點(diǎn)為尸，A為C上一點(diǎn)且在第一象限，以尸為圓心，M為半徑的圓交C的

準(zhǔn)線于B,。兩點(diǎn)，且4,F,B三點(diǎn)共線，則依加=()

A.16B.10C.12D.8

-Inx,0c%,1

9.已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，/U)=J,1,則函數(shù)

2/(x-l)+-,x>l

8@)=/。)-$皿不在［-兀,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

4

A.3B.4C.5D.6

10.已知曲線C：(x2+y2)3=］6x2y2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C既軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；

②曲線C與圓V+y2=i有8個(gè)交點(diǎn)；

③曲線。所圍成區(qū)域的面積大于4兀；

④曲線。上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.己知復(fù)數(shù)z滿足等式：2z-2=l+6i,貝ijz=_

12.若雙曲線的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)的一半，則雙曲線的離心率為.

jr

13.在△A￡?C中，Z-ABC=—,BC=4,AB=2,E為AC上一點(diǎn)，且A后=4AC,/lw(O,l),則X瓦月后=_

14.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且數(shù)列｛S“｝為單調(diào)遞減數(shù)列，寫出滿足

上述條件的一個(gè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式____________.

15.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識(shí)地“以

1,渥有理數(shù)

概念代替直覺”,以其名命名的函數(shù)。(x)=<

0,x是無(wú)理數(shù)

是有理數(shù)

稱為狄利克雷函數(shù),現(xiàn)定義一個(gè)與狄利克雷函數(shù)類似的函數(shù)〃x）=<為乜函數(shù)”,則關(guān)于狄

0,尤是無(wú)理數(shù)

利克雷函數(shù)和L函數(shù)有以下四個(gè)結(jié)論:

①。（。（初=0；

②函數(shù)O（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù);

③心函數(shù)圖象上存在四個(gè)點(diǎn)4、B、C、。，使得四邊形ABCO為矩形；

④L函數(shù)圖象上存在三個(gè)點(diǎn)A、B、C,使得AABC為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

TT

16.如圖，在三棱柱ABC-A/C中，底面45C，ZACB=-,44,=AC=C6=2.

（1）證明：BC1AC（；

（2）求二面角C—AB-&的余弦值.

17.在AABC中，SABC=~,若AABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①OoanAtanCvl；②c=l;

@a=V2；?a2+c2>b2■

（1）選出使AABC有唯一解的所有序號(hào)組合，并說(shuō)明理由；

（2）在（1）所有組合中任選一組，求。值.

18.某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工

序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)

按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料i時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為q（i=l,2,…,6）（單位：元），例如：

加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則q=80,己知完成

各工序所需時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）如下表：

原料原料1原料2原料3原料4原料5原料6

工序

工序1112324

工序2643141

工序3534632

由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的工序時(shí)間減少1小時(shí).，記此時(shí)加工原料i時(shí)工藝師乙、丙獲得的

總補(bǔ)貼為〃(i=l,2,…,6)(單位：元)，例如：4=70.

(1)從6件原料中任選一件，求a,＞&(i=1,2,…,6)的概率；

(2)從6件原料中任選三件，記X為滿足“《＞2(，=1，2,....6)”的件數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)記數(shù)據(jù)q(i=l,2,…,6)的方差為S；,數(shù)據(jù)〃&=1,2,…,6)的方差為s；,試比較s；,s；的大小.(只需寫

出結(jié)果)

1

19.已知函數(shù)/(x)=萬(wàn)9/-m+Dx+Hnx.

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)。＜1時(shí)，求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

20.已知橢圓(7:3+/=1(4＞。〉0)的離心率為券，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線/不垂直于坐標(biāo)軸，直線/與橢圓C交于AB兩點(diǎn)，直線/與x軸交于點(diǎn)。.點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)為點(diǎn)6',直線A8'與x軸交于P點(diǎn).

①求證：P,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值4；

②若點(diǎn)。坐標(biāo)為(L0),求"BP面積的取值范圍.

21.設(shè)人為正整數(shù)，如果表達(dá)式《々4+生己少+…+%同時(shí)滿足下列性質(zhì)，則稱之為“交錯(cuò)

和”.①〃ate{-l,l}(z=1,2,???,/:)；②0W勺＜的＜…＜%；③當(dāng)左22時(shí)，aM

=④規(guī)定：當(dāng)左=1時(shí)，q2也是“交錯(cuò)和”.

(1)請(qǐng)將7和10表示為“交錯(cuò)和”；

(2)若正整數(shù)〃可以表示為“交錯(cuò)和+生-2%+…+%2",求證：ak=1；

(3)對(duì)于任意正整數(shù)〃，判斷〃一共有幾種“交錯(cuò)和”的表示方法，并證明你的結(jié)論.

2020-2021學(xué)年精華學(xué)校三模數(shù)學(xué)

本試卷共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={0,1,2,3},B={X|熹4},則4n3=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】先求得集合8,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?={》|/44}=[一2,2],所以AC8={0,1,2}.

故選：D.

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又以兀為最小正周期的函數(shù)是（）

A.y=cos2xB.y=sin2xC.y=sinx+cosxD.y=tan2x

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的奇偶性和周期性判斷即可得出答案.

【詳解】解：A選項(xiàng)：y=cos2x是周期為7的偶函數(shù)，故A不正確；

B選項(xiàng)：y=sin2x是周期為1的奇函數(shù)，故B正確；

C選項(xiàng)：y=sin%+cosx=^sin（x+?）,周期為2?且非奇非偶函數(shù)，故C不正確；

TT

D選項(xiàng)：y=tan2x是周期為一的奇函數(shù)，故D不正確.

2

故選：B.

3.（X—2）6的展開式中/的系數(shù)是（）

A.20B.-20C.160D.-160

【答案】D

【解析】

【分析】由題得展開式的通項(xiàng)公式為小=屐（—2）"盧及，故當(dāng)&=3即可得V的系數(shù).

【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得：TM=C*6i（_2?=C：（-2/產(chǎn)左，

故令6-攵=3得％=3,

所以O(shè)—2）6的展開式中V的系數(shù)是Cl（一2）3=-160.

故選：D

4.已知直線x—y+a=0與圓0：/+,2=4相交于A,B兩點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且AAQB為等邊三角形,

則實(shí)數(shù)。=（）

A.76B.土娓C.y/2D.+72

【答案】B

【解析】

【分析】直線與圓O相交于AB兩點(diǎn)，AAOB為等邊三角形，則圓心到直線的距離利用點(diǎn)到直線

2

的距離求出參數(shù)即可.

【詳解】解：圓O：/+y2=4的圓心。為原點(diǎn)，半徑為2,

當(dāng)AAOB為等邊三角形時(shí)，圓心到直線的距離為百，

即=~\/2="，故a=土遍■

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題.

5.已知實(shí)數(shù)a4滿足等式2“=3"，下列關(guān)系式中不可能成立的是（）

A.Q<b<aB.a<b<0C.b<a<QD.a=b

【答案】C

【解析】

【分析】作出函數(shù)y=2'與函數(shù)y=3'的圖像，分2"=3〃〉1，2"=3'=1，2"=3"<1三種情況求解.

【詳解】作出函數(shù)y=2*與函數(shù)y=3'的圖像，如圖,

當(dāng)2"=3"〉1時(shí)，根據(jù)圖像得0＜匕＜。，故A選項(xiàng)正確;

當(dāng)2"=3"=1時(shí)，根據(jù)圖像得。=8=0,故D選項(xiàng)正確;

當(dāng)2"=3"＜1時(shí)，根據(jù)圖像得a＜匕＜0，故B選項(xiàng)正確;

故不可能成立的是。＜a＜0.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于做出函數(shù)y=2

與函數(shù)y=3'的圖像，根據(jù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解.

6.某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則四棱錐的側(cè)面積為（）

正（王）視圖例（￡）校醫(yī)

A.4+4近B.472+273

8

C.8+40D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合正方體作出四棱錐直觀圖，可得到四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，從而求出其側(cè)面積.

【詳解】解：結(jié)合正方體，作出三棱錐N-DEHK,（它在正方體中的位置），可知

S^NDK=S&NKH=3乂2~=2，=]X2x2近=2夜，

則側(cè)血積為S&NDK+S^NKH+S^NFH+S^NFD=4+40?

故選：A.

D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是在正方體中作出幾何體的直觀圖，這樣容易得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征.本題

考查了三維想象能力、棱錐的側(cè)面積的計(jì)算，屬于中檔題.

7,已知。,/?67?,“12!1。=31/7,,是“。=尸+也,&仁％”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)丁=tanx的周期分別判斷充分性與必要性是否成立.

【詳解】當(dāng)tana=tan/?時(shí)，由于函數(shù)y=tanx的周期為萬(wàn)，所以可得。=4+也《wz,即充分性滿足；

3冗冗

當(dāng)時(shí)，其正切值不存在，所以a=￡+推不出tana=tan/?,不滿足必要性，所以

“tana=tan〃”是“a=A+E次ez”的充分不必要條件.

故選：A

8.已知拋物線C：V=12x的焦點(diǎn)為F,A為C上一點(diǎn)且在第一象限，以尸為圓心，陰為半徑的圓交C的

準(zhǔn)線于B,。兩點(diǎn)，且A,F,B三點(diǎn)共線，則忸門=()

A.16B.10C.12D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知AO_L8D,利用拋物線的定義，可得乙48。=30。，所以履用=|8月=2*6=12.

【詳解】解：因?yàn)锳,F,B三點(diǎn)共線，所以AB為圓尸的直徑，AD±BD.

由拋物線定義知IAD|=|AF|=-|AB|,所以/48。=30。.

2

因?yàn)槭綔?zhǔn)線的距離為6,

所以

故選：C

—lnx,0<%,1

9.已知函數(shù),f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)=L,、1，則函數(shù)

2/(x-l)+-,x>1

-2

g(x)=/(x)-sinfX在［-兀,無(wú)］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

4

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

7T

【分析】分別作出函數(shù)/(幻與丁=5也一工在同一坐標(biāo)系下的圖象，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4

TT

詳解】由g(x)=On/(x)=sin—x,

4

而函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

所以/(0)=0,故g(0)=0,

TT

又丁=5足一X為R上的奇函數(shù)，

4

故g(x)在x<0與x〉0時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，故只需研究x〉0時(shí)的情形，

2乃

a-兀T=—=8

對(duì)〉=$1口一X,71,

'44

7T

在同一直角坐標(biāo)系中作出丁=/(1)與丁=5抽二犬的圖象，

由圖可知，x>0時(shí)，函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

所以總共有l(wèi)+2x2=5個(gè)零點(diǎn)，

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分析函數(shù)的奇偶性，利用對(duì)稱性只需研究x>0時(shí)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

10.已知曲線。：（f+丁2）'=16//，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線。既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；

②曲線C與圓龍2+y2=1有8個(gè)交點(diǎn)；

③曲線C所圍成區(qū)域的面積大于4兀；

④曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】將方程（f+y2『=16x2y2中的8換成T,丁換成一〉，此方程都不變，即可判斷①，解出方程

組乂:+：）=16"，可判斷②，由卜2+.丫=[6/丁.]6卜一+"]可得/+然后可判斷

x2+y2=1V27

③④.

【詳解】將方程（爐+產(chǎn)丫=脂/丁中的x換成一x,丁換成一丫，此方程都不變

所以曲線C關(guān)于X軸，,軸和原點(diǎn)對(duì)稱，所以①正確

2-y[32+石

由儼+行=16"

44

可解得■對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有8個(gè)，故②正確

.尤2+/=122+62-73

y

4

因?yàn)?*2+y2)3=]6工2,2《[6"

、2,

所以可得/+尸<4,所以曲線C所圍成區(qū)域在圓V+y2=4內(nèi)，其面積小于4兀，故③錯(cuò)誤

由V+丁<4可得J/+「2?2,即曲線。上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2,故④正確

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用基本不等式求出f+y244.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知復(fù)數(shù)z滿足等式：2z-z=l+6i,則z=_.

【答案】1+2/

【解析】

【分析】設(shè)z的代數(shù)形式z=a+萬(wàn)代入已知方程，利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等得a力的方程組,

解方程組可得.

【詳解】設(shè)z=a+初,則2z-乞=a+3初=1+6,，所以a=l,b=2,從而z=l+2i.

故答案為：1+22.

12.若雙曲線的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)的一半，則雙曲線的離心率為.

【答案】半

【解析】

【分析】由已知中雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)的一半，通過(guò)漸近線、離心率等幾何元素,

溝通a,b,c的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率.

【詳解】解：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為（。，0），一條漸近線方程為y=2九,

a

|刈|1

則右頂點(diǎn)到其漸近線的距離為之=所以儲(chǔ)=3從，

^Ja2+b22

firiq2c2,6,]42G

所以e~=r=l+r=l+—=—，所以e=----?

a2a2333

故答案為：正.

3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量4》,c的

方程或不等式，利用。2=。2一/和e=￡轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率

a

的值或取值范圍.

(2)對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量.

rr

13.在AABC中，ZABC=-,BC=4,AB=2,E為AC上一點(diǎn),且亞=e(0,1),則通.麗=—.

【答案】-4

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用基底表示晶，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可.

【詳解】?.?晶=麗+通=麗+/1/=麗+〃晶一屆)，

--I22

:.ABBE=AB-BA+A(BC-BA)=-AB+A(AB-BC+AB)

-4+A(2x4cos—+4)=-4,

故答案為：-4

14.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且數(shù)列｛S,,｝為單調(diào)遞減數(shù)列，寫出滿足

上述條件的一個(gè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

【答案】?！?一卷(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)題意可判斷出數(shù)列的公比0<4<1，4<0,然后舉例代入求解即可判斷.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列｛"｝為單調(diào)遞減數(shù)列，所以可得公比0<q<l,

且％<0,例如q=—；,<7=1,此時(shí)可得為=—￡為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，

故答案為：4=一木(答案不唯一)

15.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識(shí)地“以

l,x是有理數(shù)

概念代替直覺”,以其名命名的函數(shù)。(幻=<稱為狄利克雷函數(shù),現(xiàn)定義一個(gè)與狄利克雷函

0,x是無(wú)理數(shù)

是有理數(shù)

數(shù)類似的函數(shù)L(x)=<為“L函數(shù)”，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)和L函數(shù)有以下四個(gè)結(jié)論:

0,x是無(wú)理數(shù)

①￡>(D(x))=O;

②函數(shù)O(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù);

③L函數(shù)圖象上存在四個(gè)點(diǎn)A、B、C、。，使得四邊形ABC。為矩形;

④L函數(shù)圖象上存在三個(gè)點(diǎn)A、B、C,使得ZkABC為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】①②根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義，結(jié)合奇偶性、周期性定義即可判斷，對(duì)于③④需要找出點(diǎn)驗(yàn)證滿

足條件.

L龍是有理數(shù)

【詳解】xwR時(shí),D(x)=<為有理數(shù)，所以"。(》))=1,故①錯(cuò)誤;

0,x是無(wú)理數(shù)

[x是有理數(shù)

因?yàn)椤?—%)=<=O(x),所以。(幻為偶函數(shù)，對(duì)于任意非零有理數(shù)7,都有

0,x是無(wú)理數(shù)

l,x是有理數(shù)

D(x+T)=<=D(x),故②正確;

0,x是無(wú)理數(shù)

若取L函數(shù)圖象上四個(gè)點(diǎn)y1(1,1),B(V2,0),C(-l,-l),。(—拒,0),因?yàn)锳C=6。=2后，且

—=—即AC,BD互相平分，所以存在矩形ABC。,故③正確；

2222

若取L函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)A(3,￡(3)),8(3-57,(3-石)),C(3+瓜L(3+6))，即

4(3,3),8(3—百,0),。(3+6,0),因?yàn)锳5=AC=3C=28，所以aASC為等邊三角形，故④正確.

故選：②③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：驗(yàn)證③④時(shí)，關(guān)鍵找到適合的4個(gè)點(diǎn)或3個(gè)點(diǎn)，思路是在y=x,y=0上找合適的點(diǎn),

使這些點(diǎn)構(gòu)成矩形或等邊三角形，屬于較難題目.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

TT

16.如圖，在三棱柱ABC-44G中，底面ABC,NACB=],A4,=AC=C8=2.

（1）證明：BC1AC,；

（2）求二面角C—AB-G的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）且.

3

【解析】

【分析】（1）證明BC_L面ACGA，利用線面垂直性質(zhì)即可求證;

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【詳解】（1）因?yàn)槿庵鵄BC—ABIG中，底面ABC

所以CG，底面ABC,

所以CG

71

因?yàn)镹ACB=一，

2

所以AC_L8C,

因?yàn)锳Cu面ACG4，CQu面ACG4，ACQCC1=C,

所以8C_L面ACC/,

因?yàn)锳Qu面ACC4,

所以BC_LAC-

（2）由（1）可知：C&J?底面ABC，所以CC|d_AC,AC,BC,CC,兩兩垂直，以C

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4,CB,CC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

A(2,0,0),以0,2,0),q(0,0,2),麗=(2,-2,0),西=(0,-2,2)

設(shè)面ABC]法向量為〃2=(x,y,z)

m=0[2x-2j=0,

-m=0[-2y+2z=0,

令y=l,貝！]x=l,z=l,則i=(l,l,l).

又因?yàn)槠矫鍭3c的法向量為〃=(0,。,1),

--m-n1G

=

所r匚以I、Icos<n>=—±r,~r=-有產(chǎn)—3-

由題可知，二面角C—A8-C為銳二面角，

所以二面角C一-G的余弦值為B.

3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量法求二面角的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩

個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

17.在AABC中，S“"c=g，若AABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①OoanAtanCvl；②C=l;

@a=V2；@a2+C1>b2■

（1）選出使AABC有唯一解的所有序號(hào)組合，并說(shuō)明理由;

（2）在（1）所有組合中任選一組，求b的值.

【答案】（D①②③，或②③④.（2）若選①②③，則6=行；若選②③④，則Z?=1

【解析】

【分析】（1）先由條件①可得出4J，先由條件④可得出Be所以①④矛盾不能同時(shí)選擇,

再根據(jù)面積結(jié)合條件可得答案.

（2）結(jié)合（I）中的結(jié)論由面積結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】（1）選擇①②③或②③④，理由如下：

因?yàn)锳A,Ce（0,7t）,且A+3+CF,

由①.tanAtanC>0,所以tanA>0且tanC>0,

sine

JIlJA,Ce|0,—|,又tanAtanCvl,則

I2JcosAcosC'

sinA-sinC<cosA-cosC,即cos（A+C）>0,所以cos（萬(wàn)一3）>0,

所以萬(wàn)〕，

即一cos3>0,故cosbvO,由3c（0,兀），

22r2

由④得/+,2—6>0,則cos8=（+U->0,

2ac

8e（0,兀），所以Be］。,］）,

所以①④矛盾.

若選①②③，則由S^ABC=；acsin3=g,則acsin5=l,即J^sin3=l

所以sinB=交，結(jié)合由①得出的結(jié)論乃］,則可得8=包

由余弦定理可得邊。唯一，故此時(shí)滿足條件的AAZ?。唯一

若選②③④同理可得sinB=^.

2

結(jié)合由④得出的結(jié)論Be［o,5］,則可得3=?

由余弦定理可得邊力唯一，故此時(shí)滿足條件的△A8C唯一

所以使AA8C有唯一解的所有序號(hào)組合為①②③，或②③④.

（2）若選①②③

由%Bc=gacsin8=g即4T.夜小皿8=!，

22

則sinB=也^,由Be［二,乃］,則8=，

2U)4

由余弦定理可得〃=/+/-laccos5=2+1-2x72x1=5,則匕=技

若選②③④

由S&ABC=；acsinB=g,即1」?及-sinBug,

則sinB=,由6e(0,二■］,則8=生，

2I24

由余弦定理可得廿=a2+c2-2accosB=2+l-2x0xlxJ=l，則/?=1

2

18.某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工

序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)

按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料i時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為4?=1,2,…,6）（單位：元），例如：

加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則4=80,已知完成

各工序所需時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）如下表：

原料

原料1原料2原料3原料4原料5原料6

工序

工序1112324

工序2643141

工序3534632

由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料i時(shí)工藝師乙、丙獲得的

總補(bǔ)貼為爾，=1,2,…,6）（單位：元），例如:*=70.

（1）從6件原料中任選一件，求4>々g=1,2,…,6）的概率；

（2）從6件原料中任選三件,記X為滿足“4>49=12…,6）”的件數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(3)記數(shù)據(jù)a,(i=l,2,…,6)的方差為s；,數(shù)據(jù)=1,2,…,6)的方差為學(xué)，試比較S：,腎的大小.

（只需寫出結(jié)果）

2

【答案】（1）-；（2）分布列見解析，2；（3）s；>s；.

3

【解析】

【分析】（1）由題意求得4,偽《=1,2,…,6）,根據(jù)古典概率公式可求得所求的概率；

（2）由題意得隨機(jī)變量X=1,2,3,分別求得其概率，可得分布列，從而求得數(shù)學(xué)期望；

則等《管

P"=l）=P（X=2）==|；P（X=3）=g=1；

（3）由（1）求得數(shù)據(jù)和方差的定義可得結(jié)論.

【詳解】（1）由題意得4=1。+70=8。，。）=10+50=60,%=20+50=70,a4=30+40=70,

a5=20+60=80,a6=40+50=90,

bx—10+60=70,b2=10+40=50,4=%=70,b4=a4=10,b5=20+50=70,Z?6=30+40=70,

所以從6件原料中任選一件，a—=12…,6）有％,3a2>b2,a5>b5,a6>b6,

42

所以從6件原料中任選一件，《.>瓦（i=1,2,…,6）的概率為-=-；

63

（2）從6件原料中任選三件,記X為滿足“4>偽（，=1，2,..?,6）”的件數(shù),則X=l,2,3,

則P（X=1）=等="P（X=2）=管=|；P（X=3）=g=l,

X的分布列為

X123

J31

p

555

131

所以X的數(shù)學(xué)期望為歐=lx上+2x3+3x上=2；

（3）

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的分布列的步驟：（1）理解X的意義，寫出X可能取得全部值；（2）求X取每

個(gè)值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）根據(jù)分布列的性質(zhì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).還可判斷隨機(jī)變量滿足常見分布列：

兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布.

1,

19.已知函數(shù)/（x）=5x2-（a+l）x+alnx.

(1)若a=i,求曲線y=/(無(wú))在點(diǎn)(i,f(D)處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

3

【答案】(1)y=--；(2)答案見解析.

2

【解析】

【分析】(1)代入a=l,求在x=l處的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值，點(diǎn)斜式求直線方程；(2)求「(力，分情況討論。

不同取值時(shí)函數(shù)/(x)的單調(diào)性，研究函數(shù)的趨勢(shì)，從而求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

13

【詳解】解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(l)=--2+lnl=--

尸%=/Q)=0,

x

33

切線方程為：y-(-5)=Z(x-l),即y=—1

3

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(b/d))處的切線方程為：>=一］.

(2)/(X)的定義域?yàn)?0,+8)

外加―)

X

令/'。)=(*一“)8-1)=0,解得七=4,々=1

X

①當(dāng)0<a<1時(shí),/(X)與f\x)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下:

X(0,4)a3,1)1(1收)

/'W+0—0+

“X)/極大值極小值/

/(X)在(0,4)上遞增，在3,1)上遞減，在(1,+R)上遞增.

此時(shí)/(X)極大值=/(a)=-ga2-4+“l(fā)nav0,

f(2a+T)-aln(2a+2)>aIn2>0,

所以/W在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=-x2-x,由/(x)=0得％,=2,々=。(舍)，所以/*)在(0,+<功上有一個(gè)零點(diǎn).

2

③當(dāng)a<0時(shí)，/（%）與f\x）在區(qū)間（0,+oo）上的情況如下：

X(0,1)1(L+OO)

尸（X）—0+

/（X）極小值/

此時(shí)/(x)極小假=/(I)=,

若。:時(shí)，/(x)mi?=/(l)=-a-1>0,所以〃幻在(0,+<功上無(wú)零點(diǎn)，

若。時(shí)，/(x)min==所以/0)在(0,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn),

若一耳V。<。時(shí)，/(?min=/⑴=一。一耳<。,

1J21j11j

f(ea)=—ea-ea-ae(,+1-~(ea~I)2"ac"+—>0,

/(4)=8-4(<7+l)+6rln4>4-^ln4=4-ln2>0,

所以/(幻有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：

當(dāng)0Va<l或a=—!時(shí)，/（幻在（0,”）上有一個(gè)零點(diǎn)，

2

當(dāng)一,<。<0時(shí)，/'（X）在（0,+°。）上有兩個(gè)零點(diǎn)，

2

當(dāng)a<—^?時(shí)，/（x）在（0,+8）上無(wú)零點(diǎn).

2

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可以參變分離，可以求導(dǎo)分類討論.（2）分類討論時(shí)，需

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理確定是否有無(wú)零點(diǎn).

20.已知橢圓C:「+4=l（a>〃>0）的離心率為巫，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

a-b-2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/不垂直于坐標(biāo)軸，直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，直線/與x軸交于點(diǎn)。.點(diǎn)3關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)為點(diǎn)8',直線A8'與x軸交于/>點(diǎn).

①求證：P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值4；

②若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,0),求"5P面積的取值范圍.

【答案】(1):+丁=1；(2)①證明見解析；②(°，亭)

【解析】

【分析】(1)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)與離心率可得。，4c即可求得橢圓的方程；

(2)①根據(jù)直線AB,直線AB'求出點(diǎn)。，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)即可證明；

②利用Lw,=f尸?！皔-％I再結(jié)合韋達(dá)定理統(tǒng)一自變量，然后依據(jù)對(duì)勾函數(shù)求范圍.

【詳解】(I)因?yàn)?。=4,

所以a=2,

▽c6

乂e=—=—，

a2

所以c=>/3，

所以=a2—c2=1?

2

橢圓。的方程r二+丁=1.

47

(2)(0由題意可知，直線A3存在斜率，且不為0，

設(shè)直線AB方程為：y=Ax+m(kwO),

K

聯(lián)立<99,消去y得(1+4女-+8切吠+4m2—4=0.

x+4y-4=0、7

△=64女2M-4(1+4/)(4m2-4)>0.

設(shè)fi(x2,y2),則8(孫一力)，

Shn4m2—4

%+蒼=一由‘玉."77^’

，加的方程為：?二口，

y+%玉一%

令y=0,則巧,=*(a-&)+占

二必當(dāng)+x?X

乂+%

_2kx]x2+m(x)+x2)

k(x、+w)+2m

一,4m2-4-8km

2k?——丁+”一一r

1+4/1+4/

一8km

k---------+2tn

1+4公

-4k-m.

因此P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值4.

方法二：設(shè)直線A8的方程為：工=用），+洶加。0）,???。5,0）

x=my+n°

聯(lián)立《22消去工得（W+4）V+2〃叼+優(yōu)一4=0.

x+4y-4=0、）

A=4m2722-4（機(jī)2+4）（/?一4）＞0.

設(shè)則

A&，x）,y2）,*（%，-%），

2mn〃2-4

乂+必=——

“2—+47，y-1,%人=加—2——+4，

??力的方程為：—=口，

X+%玉一X2

令y=0,貝也,=里=1+七=以±e

y+為7+%

2mx%+〃(y+)3)

cn2-4

2m—5-

—^-^+n

2mn

m2+4

4

=-

n

:.x-x=--n=4.

PQn

因此P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值4.

方法三：

設(shè)A（X