2023-2024學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)九年級(jí)上冊期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期階段性學(xué)業(yè)水平檢測九年級(jí)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘；滿分120分）說明：1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共25題．第I卷為選擇題，共10小題，30分；第Ⅱ卷為填空題、作圖題、解答題，共15小題，90分．2．所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效．第Ⅰ卷（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．方程－5x2＝1的一次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．－5 B．1 C．－1 D．02．某小區(qū)有人，隨機(jī)調(diào)查了人，其中人觀看了杭州亞運(yùn)會(huì)的比賽．在該小區(qū)隨便問一個(gè)人，他觀看了杭州亞運(yùn)會(huì)比賽的概率是（

）A． B． C． D．3．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．4．如圖，在矩形中，兩條對角線與相交于點(diǎn)，已知，，則的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)，，，則四邊形的對角線的長為（

）

A． B．3 C．4 D．56．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值可以是（

）A． B．0 C．2 D．37．按照如下步驟進(jìn)行作圖：如圖，已知線段，過點(diǎn)作，使，連接，在上截取，在上截取．則的值為（

）A． B． C． D．8．某新能源汽車銷售公司，在國家減稅政策的支持下，原價(jià)25萬元每輛的純電動(dòng)新能源汽車兩次下調(diào)相同費(fèi)率后售價(jià)為16萬元，求每次下調(diào)的百分率．設(shè)每次下調(diào)的百分率為x，則可列方程為（

）A． B． C． D．9．如圖，已知是中的邊上的一點(diǎn)，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE10．如圖，將圖①中的菱形紙片沿對角線剪成4個(gè)直角三角形，拼成如圖②所示的四邊形ABCD(相鄰紙片之間不重疊，無縫隙)．設(shè)直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，若，四邊形的面積為13，則中間空白處的四邊形的面積為（

）

A．l B．2 C．3 D．4第П卷（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．若，則的值是．12．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：00.51212可求得關(guān)于的方程的解是．13．一個(gè)不透明的袋子中有個(gè)白球和若干個(gè)黑球，這些球除顏色外其它都相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，如果摸到白球的概率為，由此可估計(jì)黑球的個(gè)數(shù)為．14．如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個(gè)燈泡(看作一個(gè)點(diǎn))，它發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成圓形陰影，經(jīng)測量得，地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米，桌面的直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡到桌面的距離為米．15．如圖，把長、寬的矩形紙板剪掉個(gè)小正方形和個(gè)小矩形(陰影部分即剪掉部分)，將剩余的部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形的邊長為(紙板的厚度忽略不計(jì))，若折成長方體盒子的表面積是，則的值是．

16．如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，延長，分別交于點(diǎn)，，連接，，與相交于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的是．(只填寫序號(hào)即可)

三、作圖題（本題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．已知：在中，．求作：點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在邊上，并且以點(diǎn)A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與相似．

四、解答題（本大題共8小題，共68分）18．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)19．如圖，矩形中，與相交于點(diǎn)．若，，求矩形的面積．

20．閱讀下列材料，并解答問題：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程，即的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．

(1)參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠用幾何法求解方程的正確構(gòu)圖是．(從序號(hào)①②③中選擇)

(2)請你結(jié)合上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)用幾何法求解方程的構(gòu)圖(類比圖1標(biāo)明相關(guān)數(shù)據(jù)，不需寫出解答過程)．

21．在校內(nèi)課后托管服務(wù)實(shí)施過程中，某校設(shè)置了多種社團(tuán)活動(dòng)供同學(xué)們選擇．小明喜歡的社團(tuán)有：籃球社團(tuán)、足球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)．分別用字母А，В，С，D依次表示，并寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面，然后將這四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上．(1)小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是；(2)由于受資源的限制，學(xué)校規(guī)定，本學(xué)期每人最多可報(bào)兩個(gè)社團(tuán)參加活動(dòng)．小明打算從四張卡片中一次性抽取兩張卡片決定自己的最終志愿．請你用列表法或畫樹狀圖法，求出小明抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率．22．已知不等臂蹺蹺板AB長為3米，當(dāng)AB的一端點(diǎn)A碰到地面時(shí)，（如圖1）點(diǎn)B離地高1.5米；當(dāng)AB的另一端點(diǎn)B碰到地面時(shí)，（如圖2）點(diǎn)A離地高1米，求蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的距離為多少米？23．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形為菱形?請說明理由．24．為解決山區(qū)蘋果滯銷的難題，鎮(zhèn)助農(nóng)直播間發(fā)起了“愛心助農(nóng)”蘋果直銷活動(dòng)，某水果批發(fā)商響應(yīng)號(hào)召，以市場價(jià)每千克元的價(jià)格收購了千克蘋果，并立即將其冷藏，請根據(jù)下列信息解答問題：①該蘋果的市場價(jià)預(yù)計(jì)每天每千克上漲元；②這批蘋果平均每天有千克損壞，不能出售；③每天的冷藏費(fèi)用為元；④這批蘋果最多保存天．若將這批蘋果存放一定天數(shù)后按當(dāng)天市場價(jià)一次性出售．(1)多少天后這批蘋果的市場價(jià)為每千克元?(2)求天后一次性全部售出所得的利潤為多少元?(3)若天后一次性出售所得利潤為元，求的值．25．如圖，在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度都是．連接，，．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形?(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形?(3)是否存在某一時(shí)刻，使得若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案與解析1．D【分析】方程整理為一般形式，找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】方程整理得：-5x2-1=0，則一次項(xiàng)系數(shù)為0，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．2．A【分析】本題考查概率公式和用樣本估計(jì)總體，根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小．解題的關(guān)鍵是掌握概率的公式：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件A的概率．【詳解】解：∵隨機(jī)調(diào)查了人，其中人觀看了杭州亞運(yùn)會(huì)的比賽，∴該小區(qū)隨便問一個(gè)人，他觀看了杭州亞運(yùn)會(huì)比賽的概率是：．故選：A．3．C【詳解】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意，D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．4．C【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理，利用矩形的性質(zhì)可知對角線互相平分且，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，，∴，，∴，故選：C．5．B【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理根據(jù)，，可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)，為的中點(diǎn)，則，則平行四邊形為菱形，由，，，可得，證明四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】解：，，四邊形為平行四邊形，又，為的中點(diǎn)，，平行四邊形為菱形，∴，∴又∴四邊形是平行四邊形，，，，，∴．6．C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式及定義，根據(jù)題意，利用一元二次方程根的判別式及定義，列出不等式即可求解，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，且，解得：，且，則實(shí)數(shù)m的值可以是2，故選C．7．B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算；由勾股定理求得的長，由題意可得的長，從而得的長，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∴；故選：B．8．D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系：現(xiàn)價(jià)=原價(jià)下調(diào)的百分率），正確列出方程是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得第一次下調(diào)費(fèi)率后的售價(jià)為，第二次下調(diào)費(fèi)率后的售價(jià)為，得到方程，故選：D．9．C【分析】根據(jù)相似三角形的判定，采用排除法，逐項(xiàng)分析判斷．【詳解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正確．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正確．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正確．而不能證明△BDF∽△BEC，故C錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．10．A【分析】由菱形的性質(zhì)可得四邊形是正方形，可得，求出，中間空白處的四邊形也是正方形，其面積，即可求解．【詳解】解：由題意得：四邊形和四邊形是正方形，∵正方形的面積為，∴，∵，∴，∴中間空白處的四邊形的面積為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式等知識(shí)，掌握菱形的性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．11．##【分析】本題考查分式的運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則即可解題．除分式運(yùn)算法則之外，還可設(shè)未知數(shù)，給出，表達(dá)式解此題．【詳解】解：，．故答案為：．12．【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的解，關(guān)鍵是觀察表格，確定時(shí)x的值．從表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程的解是：或?！驹斀狻拷猓骸弋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于x的方程的解是：或，故答案為：．13．【分析】本題考查了概率的應(yīng)用，設(shè)黑球有個(gè)，根據(jù)概率公式列出方程，解方程，即可求解．【詳解】設(shè)黑球有個(gè)，根據(jù)題意得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解故答案為：．14．3【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)題意畫出幾何模型如圖，米、（米）、米、，可得，即，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可解答．【詳解】解：構(gòu)造幾何模型如圖：依題意知：米，（米），米，∵,∴∴，即，解得：，故：燈泡距離桌面3米．故答案為：3．15．【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，觀察圖形可知小矩形的長為，根據(jù)去除陰影部分后的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去），∴的值是．故答案為：．16．①②③【分析】利用正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：是等邊三角形，，，在正方形中，，，，∴在和中，，，，，故①正確；，，，，，②的結(jié)論正確；，，．，，，．，，③的結(jié)論正確；，，，④的結(jié)論錯(cuò)誤，綜上，正確的結(jié)論的序號(hào)為：①②③，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，再以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E和點(diǎn)C，連接，與相交與點(diǎn)D，即為的高，此時(shí)．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，再以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E和點(diǎn)C，連接，與相交與點(diǎn)D，即為的高，即，此時(shí)．

點(diǎn)D即為所求．∵，，∴，∵，∴．18．(1)，(2)，(3)或(4)，【分析】（1）利用直接平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得，，兩邊除以2得，，開平方得，，∴，；（2）解：，配方得，，即，開平方得，，∴，；（3）解：，移項(xiàng)得，，分解因式得，，∴或，∴或；（4）解：，分解因式得，，移項(xiàng)得，，因式分解得，，即，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．19．【分析】根據(jù)四邊形為矩形，得出，，又因?yàn)?，則，利用勾股定理求出，最后求出面積即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對邊相等，矩形的對角線相等且互相平分，題目比較典型，難度適中．【詳解】解:四邊形為矩形，，，，，在中，，，，矩形的面積是．20．(1)②(2)圖見詳解【分析】本題是材料閱讀題，考查了構(gòu)造圖形解一元二次方程，關(guān)鍵是讀懂材料中提供的構(gòu)圖方法，并能正確構(gòu)圖解一元二次方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．（1）仿照閱讀材料構(gòu)造圖形，即可判斷出構(gòu)圖方法；（2）仿照閱讀材料構(gòu)造大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，即可解決問題．【詳解】（1）解：應(yīng)構(gòu)造面積是的大正方形，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，大正方形的面積又可表示為，大正方形的邊長為8，所以，，故正確構(gòu)圖②，故答案為：②；（2）解：如圖2所示的圖形，

圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．21．(1)；(2)．【分析】本題考查了概率公式求概率與列表法法求概率；（1）直接根據(jù)概率公式求解；（2）利用列表法展示所有種等可能性結(jié)果，再找出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）解：小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是，故答案為：．（2）一共有種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)的結(jié)果有種；小明抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)的概率22．蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的距離為0.6米．【分析】過點(diǎn)B作BN⊥AH于點(diǎn)N，AM⊥BH于點(diǎn)M，直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別得出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)B作BN⊥AH于點(diǎn)N，AM⊥BH于點(diǎn)M，可得HO∥BN，則△AOH∽△ABN，故，∵AB長為3米，BN長為1.5米，∴，∴同理可得：△BOH∽△BAM，則，∵AB長為3米，AM長為1米，∴，即∴OH＝0.6，答：蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的距離為0.6米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出比例式，建立方程是解題關(guān)鍵．23．(1)詳見解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，詳見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合角度和角平分線的定義可得，問題得解；（2）先證明與是等邊三角形，可得，，再證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，可得，問題得解．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，，∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∴；（2）時(shí)，四邊形為菱形，∵四邊形是平行四邊形，∴，由（1）得，，∴與是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．24．(1)天(2)元(3)天【分析】本題考查了一元一次方程