橢圓講義-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

橢圓【考綱解讀】理解橢圓，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓參數(shù)方程的定義，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的基本方法，能夠熟練地根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解并掌握橢圓簡單的幾何性質(zhì)，理解橢圓離心率的定義，掌握求橢圓離心率和弦長的基本方法?！局R精講】一、橢圓的定義與方程：1、橢圓的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)動點P到兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡，叫做橢圓；0yy0P00p00Xx如圖這里兩個定點分別是橢圓的焦點，，常數(shù)為橢圓的長軸長2a(2a＞||=2c)（2）第二定義：平面內(nèi)動點P到定點F的距離與它到定直線L的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡，叫做橢圓；QlF0yyF0PQ0F00F0xxl如圖這里的定點是橢圓的一個焦點，定直線是橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線x=（焦點在X軸上）或y=（焦點在Y軸上），常數(shù)e是橢圓的離心率（0＜e＜1)『思考問題』（1）在第一定義中，兩個定點，之間的距離||，叫做橢圓的焦距，用2c表示；（2）在第一定義中，動點P到兩個定點，的距離和|P|+|P|為常數(shù)，這個常數(shù)叫做橢圓的長軸，用2a表示；（3）在第一定義中，動點P的軌跡是橢圓必須滿足2a>2c，當(dāng)2a=2c時，動點P的軌跡是線段||；當(dāng)2a<2c時，動點P的軌跡不存在；（4）在第二定義中，動點P到定點F與定直線L的距離的比值是一個常數(shù)，這個常數(shù)叫做橢圓的離心率，它的取值范圍是（0，1）；（5）在第二定義中，動點P到定點F的距離|PF|的取值范圍是[ac，a+c]（6）過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦叫做橢圓的通徑，它的長為。2、橢圓的方程：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸）：①焦點在x軸上②焦點在y軸上0Yy0P00p00Xx=1（a＞b＞0）=1（a＞b＞0）（2）橢圓的參數(shù)方程：x=acosy=bsin(為參數(shù))3、點P（，）與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：①=1（或=1）點P（，）在橢圓上；②＞1（或＞1）點P（，）在橢圓外；③＜1（或＜1）點P（，）在橢圓內(nèi)；4、直線y=kx+m與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：由=1（或=1）A+Bx+C=0，①若＞0，則直線與橢圓有兩個公y=kx+m共點；②若=0，則直線與橢圓有一個公共點；③若＜0，則直線與橢圓沒有公共點?！核伎紗栴}』這里的a、b、c分別是橢圓的長半軸，短半軸和半焦距，且a，b，c滿足：=+；（2）在實際問題中，如果橢圓的焦點位置不確定，則可設(shè)橢圓的方程為A+B=1，這里的A、B必須滿足：A>0，B>0，再根據(jù)條件求出A、B的值即可。二、橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的yy0xPP0x0Xxx0X圖像橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1=1x，y的取值范圍a≤x≤a，b≤y≤b，a≤y≤a，b≤x≤b對稱性既是中心對稱又是軸對稱圖形既是中心對稱又是軸對稱圖形頂點、焦點坐標(biāo)（a，0），（a，0），（0，b），（b，0），（b，0），（0，a），（0，b），（c，0），（c，0），（0，a），（0，c），（0，c），離心率e=e=橢圓的準(zhǔn)線方程x=y=焦半徑公式：設(shè)P（，）是橢|P|=a+e，|P|=ae，|P|=a+e，|P|=ae，圓上的任意一點弦長公式：設(shè)A（，），B|AB|=|AB|=（，）是直線L：y=kx+b與橢圓的兩個不同交點【探導(dǎo)考點】考點1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程：熱點=1\*GB3①根據(jù)橢圓定義求軌跡方程；熱點=2\*GB3②根據(jù)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；熱點=3\*GB3③根據(jù)橢圓定義解答“焦點三角形”問題；考點2橢圓幾何性質(zhì)及運(yùn)用：熱點=1\*GB3①與橢圓相關(guān)的最值問題；熱點=2\*GB3②求橢圓離心率的值（或取值范圍）；考點3直線與橢圓：熱點=1\*GB3①求直線斜率（或直線方程）；熱點=2\*GB3②求多邊形的面積（或面積的最值）；熱點=3\*GB3③求直線過定點的坐標(biāo)?！镜淅馕觥俊镜淅?】解答下列問題：DPOFPOFM是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM相交于點P，則點P的軌跡是（）A橢圓B雙曲線C拋物線CD圓2、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在x軸上，且過點（2,0）和點（0,1）；（2）焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P（0，10），P到它較近一個焦點的距離等于2；（3）已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別是和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；（4）已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A（3,0），并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為x=2，求橢圓的方程；4、橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=，橢圓上各點到直線L：xy++=0的最短距離為1，求橢圓的方程。5、若橢圓a+b=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為坐標(biāo)原點）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程；『思考題1』（1）【典例1】是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，解答這類問題應(yīng)該注意掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的基本方法：①定義法；②待定系數(shù)法；（2）采用定義法，需要注意2a>2c這一條件，【典例1】中的1是通過求點的軌跡方程來求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，在實際解答問題時，運(yùn)用橢圓的定義，采用定義法會使解答更簡捷。（3）【典例1】中的2求橢圓的方法稱為待定系數(shù)，待定系數(shù)法的基本步驟是：①作判斷，判斷橢圓焦點所在的坐標(biāo)軸；②設(shè)方程，=1（a＞b＞0）或=1（a＞b＞0）或A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；③找關(guān)系建立方程或方程組；④解方程或方程組，將結(jié)果代入假設(shè)方程；其中設(shè)橢圓方程時可以按照如下思路進(jìn)行：①如果明確橢圓的焦點在X軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；②如果明確橢圓的焦點在Y軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；③如果橢圓中心在原點，焦點位置不確定在X軸上還是在Y軸上，方程設(shè)為A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；（4）【典例1】中的3，4，5是利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)求橢圓方程的問題，解答基本方法是：①根據(jù)動點滿足等式的幾何意義設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②建立關(guān)于a、b、c、e的方程或方程組；③求解方程或方程組求出a，b的值；④將結(jié)果代入假設(shè)方程。〔練習(xí)1〕解答下列問題：1、已知圓A：=36，圓A內(nèi)一點B（2,0），圓P過點B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程；2、一動圓與已知圓：+=1外切，與圓：+=81內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程；3、⊿ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別是（6,0）、（6,0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程；4、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2；（2）和橢圓=1共準(zhǔn)線，且離心率為；（3）和橢圓+=1共準(zhǔn)線，且離心率為。5、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線方程為x=16求橢圓的方程?！镜淅?】解答下列問題：1、橢圓+=1的焦距是（）A4B8C2D與m有關(guān)2、已知橢圓+（m+3）=m（m＞0）的離心率是，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長，焦點和頂點的坐標(biāo)；3、已知F是橢圓5+9=45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是一定點。（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出P點的坐標(biāo)；（2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。4、o0如圖設(shè)曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點為yPo0，，且P∈C，=2。x求證：的面積。『思考題2』（1）【典例2】涉及到橢圓上的點到焦點或準(zhǔn)線距離的問題，解決這類問題常?？芍苯永脵E圓的定義與性質(zhì)；（2）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)解答問題時，需要認(rèn)真理解橢圓的兩個定義，注意兩個定義之間的相互關(guān)系；（3）在實際解答該類問題時，應(yīng)該根據(jù)題給的條件和問題的特征正確選擇橢圓兩個定義中的某一個或兩個。〔練習(xí)2〕解答下列問題：MOP1、如圖所示，已知橢圓C：+=1，yDNMOP的左右焦點分別為，，點M與C的焦點不重合，分別延長M，M到xQ，使得=，=，QD是橢圓C上一點，延長MD到N，若=+，則|PN|+|QN|=（）A10B5C6D32、設(shè)橢圓=1上一點P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，若點M滿足=，則||=；3、已知P是橢圓=1上的一點，、是兩個焦點，且，求的面積；【典例3】解答下列問題：1、已知、是橢圓兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若AB是正三角形，則這個橢圓的離心率是（）ABCD2、橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P，滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（）A(0，〕B(0，〕C〔1，1）D〔，1)003、如圖所示從橢圓=1（a＞b＞0）上一點MMyBQ00向x軸作垂線恰好通過橢圓的左焦點，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB∥OM，（O為橢圓A的中心）。求橢圓的離心率；（2）設(shè)Q是橢圓上一點，當(dāng)Q⊥AB時，延長QP與橢圓交于另一點P，若的面積為20，求此橢圓的方程。『思考題3』 （1）【典例3】是求橢圓離心率的問題，這類問題主要包括兩種題型：①求橢圓離心率的值；②求橢圓離心率的取值范圍；（2）若給定橢圓的方程，可根據(jù)橢圓的焦點位置確定，，進(jìn)一步求出a，c，再運(yùn)用公式e=求解；（3）若橢圓方程未知，應(yīng)根據(jù)題給條件與幾何圖形建立a，b，c滿足的等式，進(jìn)一步化為關(guān)于a，c的齊次方程求出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解。〔練習(xí)3〕解答下列問題：1、已知橢圓兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為（）ABCD2、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若P為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）ABC2D13、橢圓焦點為，，過的最短弦PQ長為10，PQ的周長為36，則此橢圓的離心率為（）ABCD4、已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分別是橢圓C左右頂點，P為橢圓C上一點，且PFX軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與Y軸交于點E，若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）ABCD5、已知，是橢圓的兩個焦點，滿足.=0，的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A(0，1〕B(0，〕C（0，〕D〔,1)6、已知P是以，為焦點的橢圓=1（a＞b＞0）上的一點，若.=0，tanP=，則此橢圓的離心率為?！镜淅?】解答下列問題：1、已知，是橢圓+2=2的左右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|+|的最小值是（）A0B1C2D2O2、如圖已知橢圓=1上兩個相鄰的頂點yCOA，C，B，D為橢圓上兩個動點且分別在直線ACB的異則，求四邊形ABCD面積的最大值。AxDNQOM3、如圖P為圓M：+=24上的動點，定點Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N。yPNQOM（1）求動點N的軌跡方程；（2）記動點N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：yP+=2的切線l交曲線C于A，B兩點，求|OA|.|OB|的最大值。『思考題4』（1）【典例4】是求橢圓中的最值問題，解決這類問題的基本思路是：①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的取值范圍，離心率的取值范圍），②數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的問題；（2）解決橢圓中的最值問題的常用方法有：①數(shù)形結(jié)合，幾何意義，尤其是橢圓的幾何性質(zhì)，②利用函數(shù)，尤其是一元二次函數(shù)，③不等式，尤其是一元二次不等式，④利用一元二次方程根的判別式；（3）解答與橢圓相關(guān)的最值問題，常用的基本方法是將橢圓上的動點表示成關(guān)于參數(shù)的形式，得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式，利用求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出問題所求的最值。〔練習(xí)4〕解答下列問題：1、過原點的直線與橢圓=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點，求FAB面積的最大值；2、設(shè)P是橢圓=1上任意一點，，是橢圓的左右焦點，求cosP的最小值；3、過橢圓2+=2的一個焦點的直線交橢圓于A、B兩點，求AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）；【典例5】解答下列問題：1、已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，直線ax+y+1=0平分橢圓的一條斜率為的弦，求a的取值范圍；2、已知橢圓C的中心在原點，焦點在X軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值是3，最小值為1.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓通過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。3、一動圓過定點A（，0）且與定圓B=12相切。（1）求動圓圓心C的軌跡方程；（2）過點P（0,2）的直線l與軌跡C交于不同兩點E、F，求的取值范圍?！核伎碱}5』（1）【典例5】是橢圓與直線相交的綜合問題，解答這類問題需要理解直線和橢圓相交的定義，掌握直線方程和橢圓方程的求法，明確處理直線與橢圓相交問題的基本思路是聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再運(yùn)用設(shè)而不求，整體代入數(shù)學(xué)思想；（2）如果問題中涉及到過定點的直線時，注意需要對直線的斜率存在還是不存在的兩種情況分別考慮；在實際解答該類問題時，為避免直線的斜率存在還是不存在分別考慮的繁雜過程，也可以直接設(shè)過定點的直線方程為：x=my+n。〔練習(xí)5〕解答下列問題：1、直線l過點M（1,1）與橢圓=1相交于A、B兩點，若AB的中點是M，求直線l的方程；2、動橢圓C以坐標(biāo)原點為左焦點，以直線x=8為左準(zhǔn)線，點B是橢圓C的短軸的一個端點，線段BO的中點為M。（1）求點M的軌跡方程；（2）已知k∈R，=（1,0），=（0,1）經(jīng)過點（1，0））且以+k為方向向量的直線L與M的軌跡相交于E、F兩點，又點D的坐標(biāo)為（1,0）若為鈍角，求k的取值范圍?！纠讌^(qū)警示】【典例6】解答下列問題：平面內(nèi)存在一動點M到兩定點，距離之和為2a(2a≥||)，則點M的軌跡是（）A橢圓B圓C線段D橢圓或線段給定四條曲線：①+=；②+=1；③+=1；④+=1。其中與直線x+y=0有且僅有一個交點的曲線是（）A①②③B②③④C①②④D①③④橢圓+=1的焦點為和，點P在橢圓上，若P的中點在y軸上，則|P|是|P|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍已知方程+=1表示橢圓，求實數(shù)k的取值范圍。已知橢圓+=1的焦距為2，求m的值?！核伎碱}6』【典例6】是解答橢圓問題時，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包括：①忽視橢圓定義的正確理解，導(dǎo)致解答問題出現(xiàn)錯誤；②忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的取值范圍，導(dǎo)致解答問題出現(xiàn)錯誤；③忽視橢圓焦點的位置，導(dǎo)致解答問題出現(xiàn)錯誤；解答橢圓問題時，為避免忽視橢圓定義的正確理解的雷區(qū)，需要正確理解橢圓的第一和第二定義，尤其注意第一定義中(2a>||）的隱形條件；解答橢圓問題時，為避免忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的取值范圍的雷區(qū)，需要注意橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b必須滿足（a>0，b>0）的隱形條件；解答橢圓問題時，為避免忽視橢圓焦點的位置的雷區(qū)，需要根據(jù)問題條件確定橢圓焦點所在的坐標(biāo)軸，如果問題中不含這樣的條件，那么注意考慮橢圓焦點在x軸（或y軸）兩種情況分別求解。〔練習(xí)6〕解答下列問題：已知橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。已知方程+=1表示橢圓，求實數(shù)m的取值范圍。3、已知橢圓+=1的焦距為2，求k的值?！咀粉櫩荚嚒俊镜淅?】解答下列問題：1、（理）已知橢圓+=1，，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cosP=，則|PO|=（）ABCD（文）設(shè)，為橢圓C：+=1的兩個焦點，點P在C上，若.=0，則|P|.|P|=（）（2023全國高考甲卷）A1B2C4D52、設(shè)橢圓：+=1（a＞1），：+=1的離心率分別為，，若=，則a=（）（2023全國高考新高考I）ABCD3、已知橢圓C：+=1（a＞0,b＞0）的左，右焦點分別為，，直線y=x+m與C相交于A，B兩點，若AB的面積是AB的面積的2倍，則m=()(2023全國高考新高考II)ABCD4、已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左，右焦點分別為，，以坐標(biāo)原點O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A，若|A|2|A|，則橢圓C的離心率的取值范圍為（成都市2020級高三零診）5、已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左，右焦點分別是（c，0），（c，0），直線y=kx（k0）與橢圓C相交于A，B兩點，有下列結(jié)論：①四邊形AB為平行四邊形；②若AEx軸，垂足為E，則直線BE的斜率為k；③若|OA|=c（O為坐標(biāo)原點），則四邊形AB的面積為；=4\*GB3④若|A|=2|A|，則橢圓的離心率可以是。其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）（成都市高2020級高三三珍）A1B2C3D06、（理）橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱，若直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（）ABCD（文）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，，分別為C的左，右頂點，B為C的上頂點，若.=1，則C的方程為（）（2022全國高考甲卷）A+=1B+=1C+=1D+=17、已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），C的上頂點為A，兩個焦點為，，；離心率為，過且垂直于A的直線與C相交于D，E兩點，|DE|=6,則ADE的周長是（2022全國高考新高考I卷）8、已知直線l與橢圓+=1在第一象限相交于A，B兩點，l與X軸，Y軸分別相交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=2，則直線l的方程為（2022全國高考新高考II卷）9、已知，為橢圓C：+=1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=||，則四邊形PQ的面積為（2021全國高考甲卷）10、設(shè)B是橢圓C：=1（a＞b＞0）的上頂點，C上的任意一點P都滿足|PB|2b，則C的離心率的取值范圍是（）（2021全國高考乙卷）A［，1）B［，1）C（0，］D（0,］11、設(shè)B是橢圓C：+=1的上頂點，點P在橢圓C上，則|PB|的最大值為（）（2021全國高考乙卷）ABCD212、已知，是橢圓C：+=1的兩個焦點，點M在C上，則|M|.|M|的最大值為（）（2021全國高考新高考I）A13B12C9D613、（理）已知斜率為的直線與橢圓+=1相交于不同的兩點A，B，M為Y軸上一點，且滿足|MA|=|MB|，則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是。（文）已知斜率為且不經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線與橢圓+=1相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則直線OM的斜率為（成都市2019級高三一診）14、已知點P在橢圓+=1（a>b>0）上，是橢圓的左焦點，線段P的中點在圓+=上，記直線P的斜率為k，若k1，則橢圓離心率的最小值為（2021成都市高三零珍）15、如圖，橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為e，F(xiàn)是C的右焦點，點P是C上第一象限內(nèi)任意一點，且sinPOF<cosPOF，=(>0)，.=0，若>e，則離心率e的取值范圍是（2021成都市高三二診）16、（理）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左，右頂點為A，B，P是橢圓上不同于A，B的一點，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)（3）++3（ln|m|+ln|n|）取得最小值時，橢圓C的離心率為（）ABCD（文）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左，右頂點為A，B，P是橢圓上不同于A，B的一點，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)+ln|m|+ln|n|取得最小值時，橢圓C的離心率為（）ABCD17、已知曲線C：x=2cos，（為參數(shù)），若點P在曲線C上運(yùn)動，點Q為直y=sin，線l：x+2y4=0上的動點，則|PQ|的最小值為。18、（理）如圖，在ABC中，已知BAC=，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，延長BA到E，使BE=BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦B點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為DA，則當(dāng)+取最大值時，的值為；CE（文）如圖，在ABC中，已知BAC=，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，AD：DC=1：5，延長BA到E，使BE=BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則+的值為?！核伎碱}7』【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高二期末考試）試卷中關(guān)于橢圓的問題，歸結(jié)起來橢圓問題主要包括：①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②橢圓定義與幾何性質(zhì)的運(yùn)用；③求橢圓離心率的值或取值范圍；④與橢圓相關(guān)的最值問題；⑤直線與橢圓位置關(guān)系問題等幾種類型；解答橢圓問題的基本方法是：①根據(jù)問題結(jié)構(gòu)特征，判斷問題所屬類型；②運(yùn)用解答該類型問題的解題思路和基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結(jié)果?！簿毩?xí)7〕解答下列問題：設(shè)，是橢圓+=1的焦點，P是橢圓上的一點，且滿足.=0，則P的內(nèi)切圓面積為（成都市高2020級20212022學(xué)年度上期期末考試）2、設(shè)，為橢圓C：+=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若M為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為（2019全國高考新課標(biāo)III）3、已知橢圓C的焦點為（1，0），（1，0），過的直線與C交于A，B兩點，若|A|=2|B|，|AB|=|B|，則C的方程為（）（2019全國高考新課標(biāo)I）A+=1B+=1C+=1D+=14、已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則（）（2019全國高考北京（理））A=2B3=4Ca=2bD3a=4b5、（理）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1相交于A，B兩點，若線段AB的中點為M（1，1），則k的值是；（文）已知斜率為k的直線l與雙曲線C：=1相交于A，B兩點，若線段AB的中點為M（2，1），則k的值是。（2018—2019成都市高二上期調(diào)研考試）6、“4＜k＜6”是“+=1為橢圓方程”的（）（2017—2018成都市高二上期質(zhì)量檢測）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7、在平面內(nèi)，已知理定點A，B間的距離為2，動點P滿足|PA|+|PB|=4，若APB=，則APB的面積為（）（2017—2018成都市高二上期質(zhì)量檢測）ABC2D38、（理）已知橢圓C的焦點（1，0），（1，0），都P（1，）在橢圓C上。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，點Q滿足=2，求ABQ面積的最大值。（文）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在X軸上，拋物線C上一點P（4，m）到焦點F的距離為。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點M（2，1），過點N（2，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，記直線AM與直線MB的斜率分別為，，證明：+為定值（2018—2019成都市高二上期調(diào)研考試）橢圓【考綱解讀】理解橢圓，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓參數(shù)方程的定義，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的基本方法，能夠熟練地根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解并掌握橢圓簡單的幾何性質(zhì)，理解橢圓離心率的定義，掌握求橢圓離心率和弦長的基本方法?！局R精講】一、橢圓的定義與方程：1、橢圓的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)動點P到兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡，叫做橢圓；0yy0P00p00Xx如圖這里兩個定點分別是橢圓的焦點，，常數(shù)為橢圓的長軸長2a(2a＞||=2c)（2）第二定義：平面內(nèi)動點P到定點F的距離與它到定直線L的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡，叫做橢圓；QlF0yyF0PQ0F00F0xxl如圖這里的定點是橢圓的一個焦點，定直線是橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線x=（焦點在X軸上）或y=（焦點在Y軸上），常數(shù)e是橢圓的離心率（0＜e＜1)『思考問題』（1）在第一定義中，兩個定點，之間的距離||，叫做橢圓的焦距，用2c表示；（2）在第一定義中，動點P到兩個定點，的距離和|P|+|P|為常數(shù)，這個常數(shù)叫做橢圓的長軸，用2a表示；（3）在第一定義中，動點P的軌跡是橢圓必須滿足2a>2c，當(dāng)2a=2c時，動點P的軌跡是線段||；當(dāng)2a<2c時，動點P的軌跡不存在；（4）在第二定義中，動點P到定點F與定直線L的距離的比值是一個常數(shù)，這個常數(shù)叫做橢圓的離心率，它的取值范圍是（0，1）；（5）在第二定義中，動點P到定點F的距離|PF|的取值范圍是[ac，a+c]（6）過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦叫做橢圓的通徑，它的長為。2、橢圓的方程：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸）：①焦點在x軸上②焦點在y軸上0Yy0P00p00Xx=1（a＞b＞0）=1（a＞b＞0）（2）橢圓的參數(shù)方程：x=acosy=bsin(為參數(shù))3、點P（，）與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：①=1（或=1）點P（，）在橢圓上；②＞1（或＞1）點P（，）在橢圓外；③＜1（或＜1）點P（，）在橢圓內(nèi)；4、直線y=kx+m與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：由=1（或=1）A+Bx+C=0，①若＞0，則直線與橢圓有兩個公y=kx+m共點；②若=0，則直線與橢圓有一個公共點；③若＜0，則直線與橢圓沒有公共點?！核伎紗栴}』這里的a、b、c分別是橢圓的長半軸，短半軸和半焦距，且a，b，c滿足：=+；（2）在實際問題中，如果橢圓的焦點位置不確定，則可設(shè)橢圓的方程為A+B=1，這里的A、B必須滿足：A>0，B>0，再根據(jù)條件求出A、B的值即可。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的yy0xPP0x0Xxx0X圖像橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1=1x，y的取值范圍a≤x≤a，b≤y≤b，a≤y≤a，b≤x≤b對稱性既是中心對稱又是軸對稱圖形既是中心對稱又是軸對稱圖形頂點、焦點坐標(biāo)（a，0），（a，0），（0，b），（b，0），（b，0），（0，a），（0，b），（c，0），（c，0），（0，a），（0，c），（0，c），離心率e=e=橢圓的準(zhǔn)線方程x=y=焦半徑公式：設(shè)P（，）是橢|P|=a+e，|P|=ae，|P|=a+e，|P|=ae，圓上的任意一點弦長公式：設(shè)A（，），B|AB|=|AB|=（，）是直線L：y=kx+b與橢圓的兩個不同交點【探導(dǎo)考點】考點1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程：熱點=1\*GB3①根據(jù)橢圓定義求軌跡方程；熱點=2\*GB3②根據(jù)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；熱點=3\*GB3③根據(jù)橢圓定義解答“焦點三角形”問題；考點2橢圓幾何性質(zhì)及運(yùn)用：熱點=1\*GB3①與橢圓相關(guān)的最值問題；熱點=2\*GB3②求橢圓離心率的值（或取值范圍）；考點3直線與橢圓：熱點=1\*GB3①求直線斜率（或直線方程）；熱點=2\*GB3②求多邊形的面積（或面積的最值）；熱點=3\*GB3③求直線過定點的坐標(biāo)?！镜淅馕觥縋OF【典例1】解答下列問題：POF1、如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，MM是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM相交于點P，則點P的軌跡是（）CA橢圓B雙曲線C拋物線D圓【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②圓的定義與性質(zhì)；③求點的軌跡方程的基本方法?！窘忸}思路】設(shè)點P（x，y），運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件可知點P的軌跡是一個橢圓，從而得出選項?！驹敿?xì)解答】設(shè)點P（x，y），紙片折疊后M與F重合，折痕為CD，CD與OM相交于點P，|PM|=|PF|，|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圓O的半徑為一個定值，點P的軌跡是以2c=|OF|，2a=|OM|的橢圓，A正確，選A。2、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在x軸上，且過點（2,0）和點（0,1）；（2）焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P（0，10），P到它較近一個焦點的距離等于2；（3）已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別是和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；（4）已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A（3,0），并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法。【解題思路】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），根據(jù)問題條件得到關(guān)于，的方程組，求解方程組求出，的值就可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），根據(jù)問題條件得到關(guān)于a，c的方程組，求解方程組求出a，c的值，運(yùn)用橢圓的性質(zhì)求出b的值就可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）問題沒有確定橢圓焦點在哪個坐標(biāo)軸上，應(yīng)該分焦點在X軸上或在Y軸上兩種情況考慮，分別求出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（4）問題沒有確定橢圓焦點在哪個坐標(biāo)軸上，可設(shè)橢圓的方程為：A+B=1，（A＞0，B＞0，AB），根據(jù)問題條件得到關(guān)于A，B的方程組，求解方程組求出A，B的值，代入假設(shè)式得到橢圓的方程，再把方程化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），橢圓過點（2,0）和點（0,1），+0=1①，0+=1②，聯(lián)立①②解得：=4，=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（2）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），橢圓與y軸的一個交點為P（0，10），P到它較近一個焦點的距離等于2，a=10，且ac=2，c=8，==10064=36，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（3）若焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），點P到兩焦點的距離分別是和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，2a=+=2，且4=，a=，c=，==5=，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；若焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（4）由題意設(shè)橢圓的方程為：A+B=1，（A＞0，B＞0，AB），橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A（3，0），9A+0=1，A=，①若A>B，則=9=81，B=；②若A<B，則9=，B=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1或+=1。3、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為x=2，求橢圓的方程；【解析】【知識點】①橢圓離心率，準(zhǔn)線的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓離心率，準(zhǔn)線的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，c的方程組，求解方程組求出a，c的值，從而求出的值就可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），e==，=2，a=，c=1，==21=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1。4、橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=，橢圓上各點到直線L：xy++=0的最短距離為1，求橢圓的方程?！窘馕觥俊局R點】①橢圓離心率的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；③點到直線的距離公式及運(yùn)用。【解題思路】如圖，運(yùn)用橢圓離心率的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，b的等式，根據(jù)橢圓上各點到直線l：xy++=0的最短距離為1求出點P的坐標(biāo)，由點P在橢圓上得到關(guān)于，的方程，聯(lián)立之前的等式求出，的值就可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】如圖，由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：yBO+=1（a>b>0），點P（acos，bsin）是橢O圓上任意一點，e==，=，Ax==，點P到直線l：xy++=0的最短距離為1，d==（其中tan==2），=1，=，+=5=5或+=5=13+4，=4，=1或=，=，<=7+2，=4，=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1。5、若橢圓a+b=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為坐標(biāo)原點）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程；【解析】【知識點】①直線與橢圓相交的定義與性質(zhì)；②已知直線上兩點的坐標(biāo)，求直線斜率的基本方法?！窘忸}思路】設(shè)A（，），B（，），M（，），由橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合問題條件求出，關(guān)于a，b的表達(dá)式，從而得出點M的坐標(biāo)，利用已知直線上兩點的坐標(biāo)，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組得出a，b的值就可求出橢圓的方程?！驹敿?xì)解答】設(shè)A（，），B（，），M（，），聯(lián)立橢圓a+b=1，與直線x+y=1得：（a+b）2bx+b1=0，+=，.=，+=2（+）=2=，==，==，M（，），OM（O為坐標(biāo)原點）的斜率為，且OA⊥OB，=，.=.+.=2.（+）+1=+1==0，a=2（1），b=2（2），橢圓的方程為：2（1）+2（2）=1，即：+=1·?！核伎碱}1』（1）【典例1】是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，解答這類問題應(yīng)該注意掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的基本方法：①定義法；②待定系數(shù)法；（2）采用定義法，需要注意2a>2c這一條件，【典例1】中的1是通過求點的軌跡方程來求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，在實際解答問題時，運(yùn)用橢圓的定義，采用定義法會使解答更簡捷。（3）【典例1】中的2求橢圓的方法稱為待定系數(shù)，待定系數(shù)法的基本步驟是：①作判斷，判斷橢圓焦點所在的坐標(biāo)軸；②設(shè)方程，=1（a＞b＞0）或=1（a＞b＞0）或A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；③找關(guān)系建立方程或方程組；④解方程或方程組，將結(jié)果代入假設(shè)方程；其中設(shè)橢圓方程時可以按照如下思路進(jìn)行：①如果明確橢圓的焦點在X軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；②如果明確橢圓的焦點在Y軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；③如果橢圓中心在原點，焦點位置不確定在X軸上還是在Y軸上，方程設(shè)為A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；（4）【典例1】中的3，4，5是利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)求橢圓方程的問題，解答基本方法是：①根據(jù)動點滿足等式的幾何意義設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②建立關(guān)于a、b、c、e的方程或方程組；③求解方程或方程組求出a，b的值；④將結(jié)果代入假設(shè)方程?！簿毩?xí)1〕解答下列問題：1、已知圓A：=36，圓A內(nèi)一點B（2，0），圓P過點B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程；（答案：圓心P的軌跡方程為+=1（3≤x≤3））2、一動圓與已知圓：+=1外切，與圓：+=81內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程；（答案：動圓圓心的軌跡方程為+=1（5≤x≤5））3、⊿ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別是（6,0）、（6,0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程；（答案：點C的軌跡方程為+=1（6≤x≤6））4、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2；（答案：+=1或+=1）（2）和橢圓=1共準(zhǔn)線，且離心率為；（答案：+=1；）（3）和橢圓+=1共準(zhǔn)線，且離心率為。；（答案：+=1。）已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線方程為x=16求橢圓的方程。（答案：橢圓的方程為+=1。）【典例2】解答下列問題：1、橢圓+=1的焦距是（）A4B8C2D與m有關(guān)【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求橢圓焦距的基本方法?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出，從而求出c的值，利用橢圓焦距的定義求出橢圓的焦距就可得出選項?！驹敿?xì)解答】橢圓+=1，=+12，=4，==+12（4）=16，c=4，2c=8，B正確，選B。2、已知橢圓+（m+3）=m（m＞0）的離心率是，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長，焦點和頂點的坐標(biāo)；【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與性質(zhì)；③求橢圓長軸，短軸，焦距和頂點坐標(biāo)的基本方法。【解題思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出，，，從而求出a，b，c的值，利用橢圓長軸，短軸，焦距，頂點坐標(biāo)的定義就可求出橢圓的長軸，短軸，焦距和頂點的坐標(biāo)?！驹敿?xì)解答】橢圓+（m+3）=m，+=1，m＞0，=m，=，==m=，橢圓的離心率e==，====，m=1，a=1，b=，c=，橢圓的長軸為2a=2，短軸為2b=1，焦距為2c=，頂點坐標(biāo)分別為：（1，0），（1，0），（0，），（0，）。3、已知F是橢圓5+9=45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是一定點。（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出P點的坐標(biāo)；（2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值?！窘馕觥俊局R點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與性質(zhì)；③三角形三邊關(guān)系定理及運(yùn)用。【解題思路】（1）如圖，運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，橢圓離心率的定義與性質(zhì)得到|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|，就可求出|PA|+|PF|的最小值和P點的坐標(biāo)；（2）如圖，取橢圓的右焦點，連接P，A，根據(jù)橢圓的定義得到|P|=6|PF|，利用三角形三邊關(guān)系定理得到關(guān)于|PA|+|PF|的不等式，求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值?！驹敿?xì)解答】（1）如圖，橢圓5+9=45，yAFO0+=1，=9，=5，==95PAFO0=4，a=3，c=2，e==，|PA|+|PF|x=|PA|+=|PA|+|PQ|，當(dāng)P，A，Q三點共線時，|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|=|AQ|=1+=為|PA|+|PF|的最小值，此時點P的坐標(biāo)為（，1），（2）如圖，取橢圓的右焦點，連接P，A，|PF|+|P|=6，|A|==，|P|=6|PF|，在AP中，||PA||P||=||PA|+|PF|6||A|，6|PA|+|PF|6+，|PA|+|PF|的最大值為6+，最小值為6。4、o0如圖設(shè)曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點為yPo0，，且P∈C，=2。x求證：的面積。【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②余弦定理及運(yùn)用；③三角形面積公式及運(yùn)用。【解題思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于|P|，||P|的等式，從而求出|P|.||P|關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角形面積公式通過運(yùn)算就可證明結(jié)論?！驹敿?xì)解答】曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點為，，且P∈C，=2，|P|+||P|2|P|.||P|cos2=||，2|P|.||P|（cos2+1）=4，|P|.||P|===，=|P|.||P|son2=sincos=?！核伎碱}2』（1）【典例2】涉及到橢圓上的點到焦點或準(zhǔn)線距離的問題，解決這類問題常常可直接利用橢圓的定義與性質(zhì)；（2）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)解答問題時，需要認(rèn)真理解橢圓的兩個定義，注意兩個定義之間的相互關(guān)系；（3）在實際解答該類問題時，應(yīng)該根據(jù)題給的條件和問題的特征正確選擇橢圓兩個定義中的某一個或兩個?！簿毩?xí)2〕解答下列問題：MOP1、如圖所示，已知橢圓C：+=1，yDNMOP的左右焦點分別為，，點M與C的焦點不重合，分別延長M，M到xP、Q，使得=，=，QD是橢圓C上一點，延長MD到N，若=+，則|PN|+|QN|=（）（答案：A）A10B5C6D32、設(shè)橢圓=1上一點P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，若點M滿足=，則||=；（答案：||=）3、已知P是橢圓=1上的一點，、是兩個焦點，且，求的面積；【典例3】解答下列問題：1、已知、是橢圓兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若AB是正三角形，則這個橢圓的離心率是（）ABCD【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②正三角形的定義與性質(zhì)；③勾股定理及運(yùn)用?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，正三角形的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到|A|，||A|關(guān)于a的式子，利用勾股定理得到關(guān)于a，c的等式，從而求出橢圓的離心率就可得出選項?！驹敿?xì)解答】如圖，、是橢圓兩個焦點，過yo0且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，ABAo0是正三角形，|A|=a，||A|=a，在RtAx中，|A|+||A|=||，+4=，B==，e=，C正確，選C。2、橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P，滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（）A(0，〕B(0，〕C〔1，1）D〔，1)【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與求法；③線段垂直平分線的定義與性質(zhì)；【解答思路】題中焦點在X軸上已經(jīng)確定，由問題條件得到關(guān)于a，c的齊次不等式，進(jìn)一步化為關(guān)于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根據(jù)橢圓離心率的取值范圍得出結(jié)果；OF0OF0點F，|PF|=|FA|，|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|=，AxP是橢圓上一點，ac|PF|a+c，a|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|a+2c，aa+2c，acac+2，e12+e，e1或e1，橢圓離心率e滿足：0<e<1，e<1，D正確，選D。3、如圖所示從橢圓=1（a＞b＞0）上一點M00向x軸作垂線恰好通過橢圓的左焦點，且它的長MyBQ00軸端點A及短軸端點B的連線AB∥OM，（O為橢圓的中心）。（1）求橢圓的離心率；AX（2）設(shè)Q是橢圓上一點，當(dāng)Q⊥AB時，延長QP與橢圓交于另一點P，若的面積為20，求此橢圓的方程?！窘馕觥俊局R點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與求法；③兩線段平行的充分必要條件；④三角形面積公式與計算的基本方法?！窘獯鹚悸贰浚?）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出點M，A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩線段平行的充分必要條件得到關(guān)于a，c的等式，從而求出橢圓的離心率；（2）根據(jù)問題條件求出直線PQ的方程，利用三角形面積公式得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值，從而求出的值就可求出橢圓的方程?！驹敿?xì)解答】（1）如圖，M垂直于X軸，點M在橢圓=1（a＞b＞0）上，A，B分別是橢圓長軸，短軸的端點，M（c，），A（a，0），B（0，b），AB∥OM，==，b=c，=，==e=；（2）設(shè)P（，），Q（，），由（1）知e=，==，在橢圓=1，+=1，Q⊥AB，延長Q與橢圓交于另一點P，直線PQ的方程為：y=xa，由y=xa，得54ax+=0，+=a，.，=，|PQ|+=1，==.=a，==，=|PQ|.=a==20，=50，==25，橢圓的方程為：+=1?！核伎碱}3』 （1）【典例3】是求橢圓離心率的問題，這類問題主要包括兩種題型：①求橢圓離心率的值；②求橢圓離心率的取值范圍；（2）若給定橢圓的方程，可根據(jù)橢圓的焦點位置確定，，進(jìn)一步求出a，c，再運(yùn)用公式e=求解；（3）若橢圓方程未知，應(yīng)根據(jù)題給條件與幾何圖形建立a，b，c滿足的等式，進(jìn)一步化為關(guān)于a，c的齊次方程求出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解?！簿毩?xí)3〕解答下列問題：1、已知橢圓兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為（）（答案：D）ABCD2、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若P為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）（答案：D）ABC2D13、橢圓焦點為，，過的最短弦PQ長為10，PQ的周長為36，則此橢圓的離心率為（）（答案：C）ABCD4、已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分別是橢圓C左右頂點，P為橢圓C上一點，且PFX軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與Y軸交于點E，若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）（答案：A）ABCD5、已知，是橢圓的兩個焦點，滿足.=0，的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是（）（答案：D）A(0，1〕B(0，〕C（0，〕D〔，1)6、已知P是以，為焦點的橢圓=1（a＞b＞0）上的一點，若.=0，tanP=，則此橢圓的離心率為。（答案：此橢圓的離心率為）【典例4】解答下列問題：1、已知，是橢圓+2=2的左右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|+|的最小值是（）A0B1C2D2【解析】【知識點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法；③求三角函數(shù)最值的基本方法?！窘獯鹚悸贰窟\(yùn)用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法，結(jié)合問題條件得到點P含參數(shù)的坐標(biāo)，從而得到|+|關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式，利用求三角函數(shù)最值的基本方法求出|+|的最小值就可得出選項?！驹敿?xì)解答】設(shè)點P（cos，sin）是橢圓+2=2上的一個動點，+2=2，+=1，，是橢圓+2=2的左右焦點，（1，0），（1，0），=（1cos，sin），=（1cos，sin），+=（2cos，2sin），|+|==，當(dāng)且僅當(dāng)=k+（kZ）時，|+|=2為最小值，|+|的最小值為2，C正確，選C。O2、如圖已知橢圓=1上兩個相鄰的頂點yCOA，C，B，D為橢圓上兩個動點且分別在直線ACB的異則，求四邊形ABCD面積的最大值?！窘馕觥緼x【知識點】①橢圓的定義與幾何性質(zhì)；②橢圓標(biāo)準(zhǔn)D方程與參數(shù)方程互化的基本方法；③求三角函數(shù)最值的基本方法；④三角形面積公式及運(yùn)用?！窘獯鹚悸贰窟\(yùn)用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法，結(jié)合問題條件得到點B，D分別含參數(shù)，的坐標(biāo)，從而得到，分別關(guān)于，的三角函數(shù)式，利用三角形面積公式得到四邊形ABCD面積關(guān)于，的三角函數(shù)式，根據(jù)求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出四邊形ABCD面積的最大值?！驹敿?xì)解答】設(shè)點B（4cos，5sin），D（4cos，5sin）（其中2k<<2k+，2k+<<2k+2），如圖，A，C為橢圓=1上兩個相鄰的頂點，A(4，0)，C(0，5)，|AC|==，直線AC的方程為：5x+4y20=0，==，==，=+=|AC|（+）=（+）=（+），當(dāng)且僅當(dāng)=2k+，=2k+，（kZ）時，=（2020+20+20）=20為最大值，的最大值為20。NQOM3、如圖P為圓M：+=24上的動點，定點Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N。yPNQOM（1）求動點N的軌跡方程；（2）記動點N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：yP+=2的切線l交曲線C于A，B兩點，求|OA|.|OB|的最大值?！窘馕觥俊局R點】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求點軌跡的基本方法；③圓的定義與性質(zhì)；④求已知圓切線的基本方法；⑤求三角函數(shù)最值的基本方法?！窘獯鹚悸贰浚?）運(yùn)用求點軌跡的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出點N的軌跡方程；（2）由（1）得到曲線C的方程，運(yùn)用求已知圓切線的基本方法求出切線l的方程，根據(jù)設(shè)而不求，整體代入的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合圖形和平面幾何知識就可求出|OA|.|OB|的最大值。【詳細(xì)解答】（1）如圖，設(shè)點P（x，y），P為圓M：+=24上的動點，定點Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N，|PN|=|QN|，|QN|+|NM|=|PN|+|NM|=|PM|=2，動點N的軌跡是以Q，M為焦點的橢圓，2a=2，2c=2，a=，c=，==63=3，動點N的軌跡方程為：+=1（x）；y（2）如圖，設(shè)切線l與圓+=2的切點為M（cos，AOsin），A（，），B（，），由（1）xO知曲線C的方程為：+=1，切線l的方程為：Bxcos+ysin2=0，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得：（1+）4x+6=0，=xcos+ysin2=0，=，+==，直線l與圓O：+=2相切，當(dāng)且僅當(dāng)M為線段AB的中點，即=2cos，2cos(1)=0，cos=0或cos=1，=k+或=k（kZ）時，直線l的方程為：y=或x=，A（，），B（，），或A（，），B（，），|OA|===2，|OB|===2，|OA|.|OB|=22=4，|OA|.|OB|的最大值為4?！核伎碱}4』（1）【典例4】是求橢圓中的最值問題，解決這類問題的基本思路是：①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的取值范圍，離心率的取值范圍），②數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的問題；（2）解決橢圓中的最值問題的常