1.1.2集合的基本關(guān)系課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.2集合的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)給定集合A={1，3}，B=

{1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素。一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記作1.子集對(duì)應(yīng)地，如果A不是B的子集，則記作AB(或BA)讀作“A不包含于B”(或“B

不包含A”).A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”).嘗試與發(fā)現(xiàn)根據(jù)子集的定義判斷，如果A={1，2，3}，那么A?A

嗎?(2)你認(rèn)為可以規(guī)定空集?是任意一個(gè)集合的子集嗎？為什么?不難看出，依據(jù)子集的定義，任意集合A都是它自身的子集，即A?A.因?yàn)榭占话魏卧?，所以我們?guī)定：空集是任意一個(gè)集合A的子集，即??A.一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A

稱為集合B

的真子集，記作A?B

(或B?A)，讀作“A

真包含于B”(或“B真包含A”)。1.真子集例如，分析集合A={1，2)，B={1，2,3，4}之間的關(guān)系，可知A

是B的子集(即A?B)，而3∈B且3?A，因此A是B的真子集，即A?B.BA如果用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來表示集合，那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間的關(guān)系，這種示意圖通常稱為維恩圖，例如，A是B的真子集，可用右圖表示。根據(jù)子集、真子集的定義可知:對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，B?C，則A?C；對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，B?C，則A?C.典例精析例1.寫出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集。分析：如何才能一個(gè)不漏地寫出這個(gè)集合的所有子集呢？注意到集合A含有3個(gè)元素，因此它的子集含有的元素個(gè)數(shù)為0，1，2，3?？梢老铝胁襟E來完成此題：寫出元素個(gè)數(shù)為0的子集，即?；(2)寫出元素個(gè)數(shù)為1的子集，即{6}，{7}，{8};(3)寫出元素個(gè)數(shù)為2的子集，即______________________;(4)寫出元素個(gè)數(shù)為3的子集，即______________________.解：集合A的所有子集是?，{6}，{7}，{8}

，{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}。在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集。{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}例2.已知區(qū)間A=(－∞，2]和B=(－∞，a)，且B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：因?yàn)榧螧的元素都是集合A的元素，所以可用數(shù)軸表示它們的關(guān)系，如圖所示。從而可知a≤2.3.集合的相等與子集的關(guān)系情境與問題已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={－1，－2}，這兩個(gè)集合的元素有什么關(guān)系？S?T嗎？T?S嗎？你能由此總結(jié)出集合的相等與子集的關(guān)系嗎?上述問題中，組成S的元素與組成T的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定義可知S?T且T?S.一般地，由集合相等以及子集的定義可知：如果A?B且B?A，則A=B；(2)如果

A=B，則A?B

且B?A.典例精析例3.寫出下列每對(duì)集合之間的關(guān)系：(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5};(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；(3)E=(－∞，3)，F(xiàn)=(－1，2];(4)G={x|x是對(duì)角線相等且互相平分的四邊形}，

H={x|x是有一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形).分析：因?yàn)榧现g的關(guān)系是通過元素來定義的，

所以只要針對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析即可。解：(1)因?yàn)锽的每個(gè)元素都屬于A，而4∈A且4?B，所以B?A(2)不難看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C=D.(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E

和F，如圖所示由圖可知F?E(4)如果x∈G，則x是對(duì)角線相等且互相平分的四邊形，所以x是矩形，從而可知x是有一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形，所以x∈H，因此G?H.反之，如果x∈H，則x是有一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形，所以x是矩形，從而可知x是對(duì)角線相等且互相平分的四邊形，所以x∈G，因此H?G.綜上可知，G=H.由上可以看出，當(dāng)A是B的子集時(shí)，要么A是B的真子集，要么A與B相等?；A(chǔ)自測1．已知A＝{1,2}，則A的子集共____個(gè)．解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有?，{1}，{2}，{1,2}，共4個(gè)。2．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，則這三個(gè)集合中具有相等關(guān)系的是__________.解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的為在函數(shù)y＝(x－1)(x＋2)圖像上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，故M＝N.4

M和N

3．設(shè)a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，則a＝______.解析：由題意知1－a＝2，∴a＝－1.4．若A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，試用Venn圖表示它們之間的關(guān)系．解析：根據(jù)幾何圖形的相關(guān)知識(shí)明確各元素所在集合之間的關(guān)系，再畫Venn圖．如圖所示．－1

集合間關(guān)系的判斷下列各個(gè)關(guān)系式中，正確的是(

)D

歸納提升：1.判斷集合間關(guān)系的常用方法2．已知集合相等求參數(shù)的方法從集合相等的概念入手，尋找兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系。首先分析一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合中哪個(gè)元素相等，共有幾種情況，然后通過列方程或方程組求解。當(dāng)集合中未知元素不止一個(gè)時(shí)，往往要分類討論。求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是(

)B

－2

確定集合的子集、真子集集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)是(

)A．16

B．8

C．7

D．4C

解析：因?yàn)?≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，

所以A的真子集的個(gè)數(shù)為23－1＝7.歸納提升：求解有限集合的子集的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)確定所求集合。(2)合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出。(3)注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身。另外，一般地，若集合A中有n個(gè)元素，則其子集有2n個(gè)，真子集有(2n－1)個(gè)，非空真子集有(2n－2)個(gè)。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知集合A＝{－1,0,1}，則含有元素0的A的子集的個(gè)數(shù)為(

)A．2

B．4

C．6

D．82.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集。B

解析：1.根據(jù)題意，含有元素0的A的子集為{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4個(gè)．2.∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，∴A的子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．混淆集合間的屬于和包含關(guān)系誤區(qū)警示：判斷集合之間的關(guān)系不能僅憑表面的理解，應(yīng)當(dāng)注意觀察集合中元素之間的關(guān)系．集合之間一般為包含或相等關(guān)系，但當(dāng)以集合為元素組成集合時(shí)，集合間也可能為屬于關(guān)系。解題時(shí)要思考兩個(gè)問題：(1)兩個(gè)集合中的元素分別是什么；(2)兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系是什么。根據(jù)子集的關(guān)系，確定參數(shù)的值對(duì)于兩個(gè)集合A、B，若A或B中含有待確定的參數(shù)(字母)，且A?B或A＝B，則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關(guān)系”，解決這類問題時(shí)常采用分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法。1．分類討論是指：(1)A?B在未指明集合A非空時(shí)，應(yīng)分A＝?和A≠?兩種情況來討論。(2)因?yàn)榧现械脑厥菬o序的，由A?B或A＝B得出的兩個(gè)集合中的元素對(duì)應(yīng)相等的情況可能有多種，因此需要分類討論。2．?dāng)?shù)形結(jié)合是指對(duì)A≠?這種情況，在確定參數(shù)時(shí)，需要借助數(shù)軸來完成，將兩個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，分清實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)，確定兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，列不等式(組)