第三章-第4節(jié)-4.2-第1課時

2023/12/27第三章第4節(jié)4.2第1課時學(xué)習(xí)目標1.了解線性規(guī)劃的意義.2.理解約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.3.掌握線性規(guī)劃問題的圖解法.問題導(dǎo)學(xué)達標檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，求2x＋3y②的最大值.以此為例，嘗試通過下列問題理解有關(guān)概念.知識點一線性約束條件及目標函數(shù)1.在上述問題中，不等式組①是一組對變量x，y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x，y的

次不等式，故又稱線性約束條件.2.在上述問題中，②是要研究的目標，稱為目標函數(shù).因為它是關(guān)于變量x，y的

次解析式，這樣的目標函數(shù)稱為線性目標函數(shù).一一知識點二線性規(guī)劃問題一般地，在線性約束條件下求

的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.線性目標函數(shù)知識點三可行解、可行域和最優(yōu)解滿足線性約束條件的解(x，y)叫作可行解.由所有可行解組成的集合叫作可行域.其中，使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫作線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.在上述問題的圖中，陰影部分叫

，陰影區(qū)域中的每一個點對應(yīng)的坐標都是一個

，其中能使②式取得所求最值的可行解稱為

.可行域可行解最優(yōu)解[思考辨析判斷正誤]1.可行域內(nèi)每一個點都滿足約束條件.(

)2.可行解有無限多個，最優(yōu)解只有一個.(

)3.不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)√××題型探究類型一最優(yōu)解問題解答解設(shè)區(qū)域內(nèi)任一點P(x，y)，z＝2x＋3y，此時2x＋3y＝14.反思與感悟圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，基本步驟(1)確定線性約束條件，線性目標函數(shù)；(2)作圖——畫出可行域；(3)平移——平移目標函數(shù)對應(yīng)的直線z＝ax＋by，看它經(jīng)過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域或最后離開可行域，確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置；(4)求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值.解析

約束條件所表示的可行域如圖陰影部分所示.當直線x＋2y＝0平移到經(jīng)過點(0,1)時，x＋2y取到最大值2.答案解析√解答解作出可行域如圖陰影部分所示.作直線l：2y－2x＝0，即y＝x，平移直線l，當l經(jīng)過點A(0,2)時，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；當l經(jīng)過點B(1,1)時，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.反思與感悟

(1)求ax＋by＋c的最值，只需求ax＋by的最值，最后加上常數(shù)c.跟蹤訓(xùn)練2已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范圍.解答當直線截距最大時，z的值最小.由圖可知，當直線z＝2x－3y經(jīng)過可行域上的點A時，截距最大，即z最小.∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.當直線z＝2x－3y經(jīng)過可行域上的點B時，截距最小，即z最大.∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范圍是[－5,7].類型二問題的最優(yōu)解有多個解答解約束條件所表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當a＝0時，最優(yōu)解只有一個，過A(1,1)時取得最大值；當a＞0，y＝－ax＋z與x＋y＝2重合時，最優(yōu)解有無數(shù)個，此時a＝1；當a<0，y＝－ax＋z與x－y＝0重合時，最優(yōu)解有無數(shù)個，此時a＝－1.綜上，a＝1或a＝－1.反思與感悟當目標函數(shù)取最優(yōu)解時，如果目標函數(shù)與平面區(qū)域的一段邊界(實線)重合，則此邊界上所有點均為最優(yōu)解.跟蹤訓(xùn)練3給出平面可行域(如圖陰影部分所示)，若使目標函數(shù)z＝ax＋y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a等于解析答案√達標檢測1234√解析

畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.答案解析1234解析答案解析

作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.由圖可知，z＝2x＋3y經(jīng)過點A(2,1)時，z有最小值，z的最小值為7.√3.在如圖所示的坐標平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為A.－3 B.3C.－1D.11234解析答案√1234解析答案√1234解析

作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，由z＝3x－y，可得y＝3x－z，則－z為直線y＝3x－z在y軸上的截距，截距越大，z越小，結(jié)合圖形可知，當直線y＝3x－z平移到B時，z最小，平移到C時，z最大，1.用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；(2)作圖——畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l；(3)平移——將直線l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置；(4)求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值