2022年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（三模）（附答案詳解）

2022年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(三)(三模)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.若復(fù)數(shù)z滿足z+3i=W,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A3n3-3.3.

A.-B.--C.D.——I

-i2

2.設(shè)集合知={%|14%V3},N={x|log2(x—1)<1},則()

A.N曝MB.M&NC.MCN=MD.MUN=N

3.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程是()

A.%=：B.x=C.y=：D.i

22z8

4.，兒何原本少是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為

等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為4位兀，圓錐的底

面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為()

OQO

A.-JrB.y/rC.167rD.327r

5.(%+2y)5(%-3y)的展開式中/y3項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-120B.-40C.80D.200

6.已知sin(a+g)=言，則sin(2a+.)的值為()

A.\B.C.迎D.一逗

9929

7.已知函數(shù)/(x)=。0)的導(dǎo)函數(shù)為/''(x),若a>b,且ab#：0,則()

A./(?)>/(b)B./(a)</(b)

C.f(-a)+/'(b)>0D./⑷+/'(-b)>0

8.2021年4月12日，四川省三星堆遺址考古發(fā)據(jù)3號(hào)坑出土一件完整的圓口方尊，這

是經(jīng)科學(xué)考古發(fā)據(jù)出土的首件完整圓口方尊(圖1).北京冬奧會(huì)火種臺(tái)“承天載物”

的設(shè)計(jì)理念正是來源于此，它的基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開翩，寓

意迎接純潔的奧林匹克火種，一種圓口方尊的上部(圖2)外形近似為雙曲線的一部

分繞著虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面，該曲面的高為50cm,上口直徑為—cm,

下口直徑為25cm,最小橫截面的直徑為20cm,則該雙曲線的離心率為()

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.新冠肺炎疫情防控中，測量體溫是最簡便，最快捷，也是篩查成本比較低、性價(jià)比

很高的篩查方式，是更適用于大眾的普通篩查手段.某班級體溫檢測員對某一周內(nèi)

甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學(xué)的體溫的極差為0.5國

B.甲同學(xué)的體溫的眾數(shù)為36.3久

C.乙同學(xué)的體溫的中位數(shù)與平均數(shù)不相等

D.乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定

10.已知實(shí)數(shù)m,n滿足0<rl<n^<l,則下列結(jié)論正確的是（）

An,n+111

A/〈即B.TTld-m->71d—n

nm

C.m>nD.logmn<lognm

11.在平面四邊形ABC。中，|荏|=|前|=|萬|反=1，麗?近=9,則（）

A.|^4C|=1B.\CA+CD\=\CA-CD\

C.AD=>f2'BCD.BD-CD=^-

第2頁，共19頁

D.

12.在直四棱柱力BCD-4/GD1中，所有棱長均2,,C

乙BAD=60°,P為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形DCC1D1

內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD】上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體&BPQ的體積為

定值

B.若AQ〃平面&BP,貝IJ4Q的最小值為6

C.若△&BQ的外心為M,則碩?而i?為定值2

D.若A、Q=小,則點(diǎn)Q的軌跡長度為年

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知隨機(jī)變量4?N(〃Q2),<4)=I，P(f>3)=3,P(3<f<5)=.

14.命題“mxeR,(a2-4)/+(a+2)x-120”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

15.某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為1200,計(jì)劃以后每年存欄數(shù)的增長率為20%,且

在每年年底賣出100頭牛，按照該計(jì)劃預(yù)計(jì)年初的存欄量首次超過8900頭.(

參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010,lg3,0.4771)

16.已知函數(shù)/'(x)=a*+/-xm?a>0且a41),若對任意的x2G[1,2],不等

式f(xi)-/(%2)<a2-a+1恒成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,月力sinC=ccos(B一

(1)求角B；

(2)若b=4,求△4BC周長的最大值.

18.設(shè)數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足%=2即-2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

f唇,n為奇數(shù),

(2)若，求數(shù)列｛%｝的前15項(xiàng)的和?

〃:h二為偶數(shù),

kv1002an+Jlog?an+2

19.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，踐行“更快更高更強(qiáng)”的奧林匹克格言，落實(shí)全民健

身國家戰(zhàn)略.某校高二年級發(fā)起r“發(fā)揚(yáng)奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主

題活動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，

(1)為了解活動(dòng)效果，該年級對開展活動(dòng)以來近6個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查,

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖.

悻H超■:人敷

i

012345673份)

根據(jù)上面的散點(diǎn)圖可以認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線y=ebx+a的附近，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)

求出該年級體重超重人數(shù)y與月份*之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)a和b的最終結(jié)果精確

到0.01),并預(yù)測從開展活動(dòng)以來第幾個(gè)月份開始該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至10人

以下？

月份工123456

體重超標(biāo)人數(shù)y987754483227

z=Iny4.584.343.983.873.463.29

(2)在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由4隊(duì)員控制，此后足球僅在4,B.C三名隊(duì)員之

間傳遞，假設(shè)每名隊(duì)員控球時(shí)傳給其他隊(duì)員的概率如表所示：

控球隊(duì)員ABC

接球隊(duì)員BCACAB

112121

概率

223333

若傳球3次，記B隊(duì)員控球次數(shù)為X,求X的分布列及均值.

附；經(jīng)驗(yàn)回歸方程;上;中，/,=空喀叵，2--2-

2

y=bx+au^=1xl-nxa-y-bx

參考數(shù)據(jù)：々=23.52,￡豈々々=77.72,=91,InlO?2.30.

20.已知四邊形ABCO為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，4B=4,AAOE為等邊三角形,

將三角形4DE沿4E折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面力PE平面4BCE.

第4頁，共19頁

DEP

(1)求證：AP1BE；

(2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F,使得平面4EF與平面4EP的夾角為45。.若存在,

試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由.

21.已知橢圓C：捺+，=l(a>b>0)的離心率為圣左頂點(diǎn)為左焦點(diǎn)為居，上

頂點(diǎn)為當(dāng),下頂點(diǎn)為巳，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，△M4F1面積的最大值為近-1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過P(0,2)的直線I交橢圓C于D,E兩點(diǎn)(異于點(diǎn)名，B2),直線當(dāng)E,%。相交于點(diǎn)

Q.證明：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求該直線方程.

已知函數(shù)f(x)=alnx—bx,g(x)=xex—(m4-l)x—l(a,b,m6/?).

(1)當(dāng)b=1時(shí)，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(%)在x=:處的切線方程為y=(e-1)%-2,且不等式f(x)<g(x)恒成立，

求實(shí)數(shù)ZH的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：設(shè)2=。+兒，a,b&R,

<z+3i=z,

a+bi+3i=a—bi,即2bi=-33解得b=—|.

故選:B.

結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:由N={x|log2(x-1)<1}={x|l<x<3},

M={x|l<x<3},

所以MnN=N,MUN=M,N些M,

故選：A.

化簡集合N,利用集合的運(yùn)算，集合與集合的關(guān)系即可判斷答案.

本題主要考查了集合的運(yùn)算，集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，拋物線y=2/的標(biāo)準(zhǔn)方程為％2=2y,

其焦點(diǎn)在y軸上，且2P=

則P=

則拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=G

O

故選：D.

根據(jù)題意，將拋物線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析拋物線的焦點(diǎn)以及p的值，由拋物線

的準(zhǔn)線方程即可得答案.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，注意將拋物線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程.

4.【答案】B

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【解析】解：設(shè)球半徑為R，圓錐的底面半徑為r,若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為4位兀,

設(shè)母線為2，則D+I2=4r2=>I=V2r,

所以直角圓錐的側(cè)面積為：|x2nr-/=|x2nr-V2r=4也兀，

可得：r=2/=四?"=2夜，圓錐的高BO】=VE一八=歷*=2,

由N+(2-/?)2=”，解得：R=2,

所以球。的體積等于3兀/?3=17rx8=等，

故選：B.

設(shè)球半徑為R,圓錐的底面半徑為r,母線為/,由直角圓錐的側(cè)面積為4位兀可求出r=

2J=V2r=2V2.再求出圓錐的高即可知"+(2-R)2=R2,解得R=2,即可求出球

的體積.

本題考查了球的體積的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：(x+2y)5(%-3y)=x(x+2y)5-3y(%+2y)5,

所以展開式中％3y3的系數(shù)為：f323_3C222=一40,

故選：B.

利用二項(xiàng)式定理展開式，即可解出.

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式，系數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閟in(a+9=乎，

所以cos(2a+爭=1-2sin2(a4--)=1-2x(乎/=一'

所以sin(2a+巴)=-cos(2a4--+

6629

故選：A.

利用二倍角公式求出cos(2a+爭，再利用誘導(dǎo)公式求sin(2a+§的值.

本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：對于4當(dāng)a=2,匕=一3時(shí)，e12l<e.31,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)a=2,b=l時(shí)，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

由于/。)=僅廣;2,則/口)=性5二球易知函數(shù)/'⑴為定義在(一8,0)U

(0,+8)上的奇函數(shù)，且在(一8,0)U(0,+8)上單調(diào)遞增，

???+/")=f[b)-/'(a)<0,r(a)+=f(a)-f<b)>0,故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤，選項(xiàng)O正確；

故選：D.

對于選項(xiàng)A,8取特殊值判斷即可；對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，易判斷導(dǎo)函數(shù)為定義域上的奇函

數(shù)，且單調(diào)遞增，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C,D.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：以最小直徑所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則可得雙曲線方程為(a>0,b>0),

a2b2

則2a=20,a=10,4譚，i，(yi>0),B(y,y2),(y2<

0)在雙曲線上，且月一丫2=50,

(幽一/=1(城="1Q

由］9X100b2即"29Z1_A2.V_

田j三—理=］，即j或=2,九9，??、1—32,

<4X100b2—\b2-16

222222

y2=-18,所以6=24,c=a+/>=10+24=26,c=26,

離心率e=-=^13

a105

故選：D.

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出雙曲線的方程，可求離心率.

本題考查雙曲線離心率的求法，屬中檔題.

第8頁，共19頁

9.【答案】ABD

【解析】解：對于4甲同學(xué)的體溫的極差為：

36.6-36.1=0.5℃,故A正確；

對于B,甲同學(xué)的體溫從低到高依次為：

36.1℃,36.1℃,36.3℃,36.3℃,36,3℃,36.5℃,36.6℃,

眾數(shù)為36.3。。，故B正確；

對于C,乙同學(xué)的體溫從低到高依次為：

36.2℃,36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.5℃,36.5℃,36.6℃,

中數(shù)為36.4K,平均數(shù)為36.4。。,故C錯(cuò)誤；

對于D,從折線圖上可以看出，乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故。正確.

故選：ABD.

由折線圖求出極差判斷4由折線圖求出眾數(shù)判斷B；求出中位數(shù)的平均數(shù)判斷C；由折

線圖的性質(zhì)判斷D.

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4,因?yàn)?<n<m<1,所以0<mn+n<mn+m,即0<n(m+1)<

m(n+1),所以巴<史?，選項(xiàng)4正確；

對于B,當(dāng)租=：,九=:時(shí)，滿足但：+2<；+4,所以m+工>九十工不

244224771n

成立，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C,0<n<1時(shí)，暮函數(shù)y=尤”在(0,+8)上單調(diào)遞增，且0<n<m,所以n"<mn,

又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)丫="在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且0<7i<m,所以nm<n",

所以即7n選項(xiàng)C正確；

對于D,令n=；,m=；,滿足0<；<；<1,則/。以；=2>的J=之，所以logmn<

lognni不成立，選項(xiàng)￡)錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷選項(xiàng)A正確；利用特殊值代入法判斷選項(xiàng)8、力錯(cuò)誤；根據(jù)

函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)C正確.

本題考查了不等式的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔

題.

11.【答案】ABD

【解析】解：選項(xiàng)4,由施2=瓦^=1，林?近=

=\BA\■\BC\cosB,知cosB=

所以B=60°,所以△4BC為等邊三角形，所以前2=

1,即|而|=1，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,設(shè)4。=x,

2

在△ACD中，由余弦定理知，4。2=AD2+CD2_2AD,CDcosD,BRI=%+1-2x-1■

cosD,所以cosD=j,

由方4-DC=1=\DA\-\DC\cosD=x-1.得比=魚,

=AC2+CD2,即△AC。為等腰直角三角形，所以|5+而|=|不一加I，

即選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,因?yàn)閆BCD=NACB+4ACD=60。+90。=150。，D=45°,

所以力。與BC不平行，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,BDCD=(BC+CD')-W=BCW+'CD2=lxlxcos30°+l2=等，即

選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

選項(xiàng)A,根據(jù)平面向量數(shù)量積可得COSB=T，知△ABC為等邊三角形，得解；

選項(xiàng)B,在△4CD中，利用余弦定理可得cos。再由a.比=1，求得4D的長，

進(jìn)而知△力CD為等腰直角三角形，然后根據(jù)平面向量的加法和減法法則，得解；

選項(xiàng)C,計(jì)算可得4BCD=150。，￡>=45。，知AD與BC不平行；

選項(xiàng)力，I1JBDCD=(BC+CD)CD，結(jié)合平面向量數(shù)量積，展開運(yùn)算即可.

本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4因?yàn)閆$〃DiC,又因?yàn)?Bu面4BP,DiCC面4BP,

所以久?！?BP,所以直線CD1到平面&BP的距離相等，

又AA/P的面積為定值，故A正確；

第10頁，共19頁

AG

對于B,取DDi，OC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,MN,AN,

貝lj易證明：AM//C,力MU面NiBP,PCC面AiBP,所以4M//面AiBP,

又因?yàn)?B〃MN,MNU面4BP,4BC面4BP,所以MN〃面4BP,

MNCtAM=M,所以平面&BP〃面4MN,4Qu面AMN,所以4Q〃平面&BP,

當(dāng)4QJ.MN時(shí)，4Q有最小值，則易求出4M=遍,MN=應(yīng)，

AN=y/AD2+DN2-2AD-DNcosl200=J4+1-2X2x1x(-|)=V7.

對于C,若A4BQ的外心為M,過M作MHL&B于點(diǎn)福|=后不源=2四,

則硒?彳下=［項(xiàng)?=4,故C錯(cuò)誤：

小

Q

對于。，過4作公。1G5于點(diǎn)0,易知從。_L平面CiDiRODi=&DiCOsg=1,

在DDpDiCi上取點(diǎn)A3，M，使得D1&=遮,=1，

^)\A1A3=A1A2=V7,0A3=0A2=>/7—3=2,所以若4iQ=V7，則Q在以。為圓心、,

2為半徑的圓弧/心上運(yùn)動(dòng)，

又因?yàn)椤?。=1,?；?=百，所以乙43。42=a則圓弧&&等于g，故。正確.

故選：ABD.

由題易證得DiC〃面&BP,所以直線CD1到平面4BP的距離相等，又的面積為

定值，可判斷4;取DC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,MN,AN,由面面平行的

判定定理可得平面&BP〃面4MM因?yàn)?Qu面4MN,所以4Q〃平面&8P,當(dāng)4Q1MN

時(shí)，AQ有最小值可判斷B；由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在DA，

DiG上取點(diǎn)&,人2，使得。送3=%,54=1，易知點(diǎn)Q的軌跡為圓弧力仆可判斷以

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：<4)=|,

?，?〃=4，

???P(3<"4)=>瀉，

9

???P(3<f<5)=2P(3<<<4)=j.

故答案為：|.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】［一2,$

第12頁，共19頁

【解析】解：命題“mxWR,(a2-4)x2+(a+2)x-lN0”是假命題，

則它的否定命題“VxeR,(a2-4)x2+(a+2)x-l<0,(是真命題，

a=—2時(shí)，不等式為一1<0,顯然成立；

a=2時(shí)，不等式為4x-1<0,顯然不恒成立(舍去)：

a，±2時(shí),應(yīng)滿足｛：：；：)14X(-1)3一4)<0,解得

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故答案為：［―2,|).

根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查了命題與它的否定命題應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】2036

【解析】解：設(shè)牧場從2022年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為J,C2,C3,…，cn,

其中nGN*,

由題意得q=1200,并且d+i=1.2cn-100,

設(shè)Cn+i—x=1.2(7—%)，則%+】=1.2c”—0.2x,則0.2x=100,則久=500,

???cn+1—500=1.2(%—500),

即數(shù)列｛%-500｝是首項(xiàng)為q-500=700,公比為1.2的等比數(shù)列，

則。-500=700X1.2nT,

則d=500+700X

令d=500+700x1.2"-1>8900,

則1.2"-】>12,即“-1>黑看=會(huì)小13.6422,

所以n>14.6422,因此n>15.

2022+14=2036年年初存欄數(shù)首次突破8900,

故答案為：2036.

可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為20%”和“每年年底賣出100頭”建立相鄰兩年的關(guān)

系，用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可求解.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，也考查了對數(shù)的基本運(yùn)算，難點(diǎn)在于得到數(shù)列｛%-

500｝是等比數(shù)列，屬于中檔題.

16.【答案】佃2,+8)

【解析】解：/z(x)=axlna+2x-Ina=(ax—l)Zna+2x,xG［1,2］,

當(dāng)0Va<1時(shí)，Q*—1V0,Ina<0,2x>0,則/'(%)>0；

當(dāng)a>1時(shí)，Q”—1>0,Ina>0,2x>0,則/'(x)>0；

???函數(shù)/(%)在［1,2］上單調(diào)遞增，

2

fMmin=/(I)=a+1-Ina,f(x)max=/(2)=a+4-2Ina,

依題意，a2+4—2lna—a—1+Ina<a2—a+1,恒成立，即)a>2恒成立，解得a>

e2.

故答案為：［e2,+oo).

分析可知，函數(shù)f(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，由此可求得其最值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為a?+4一

2Ina—a—1+Ina<a2—a+1恒成立，再解出a的取值范圍即可.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)演技函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

17.【答案】解：(1)由正弦定理及bs譏C=ccos(B-，)，^］sinBsinC=sinCcos(B

因?yàn)閟inC*0,所以sinB=cos(B-￡)=jcosB+即sin(B-g)=O,

因?yàn)?6(0,兀)，所以B=U

(2)由余弦定理知,b2=a2+c2—2accosB,

所以16=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac>(a+c)2—3?(a+c)2>(a+c)2,

所以(a+c)2±64,即a+cW8,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以△ABC周長為a+b+c<8+4=12,

故44BC周長的最大值為12.

【解析】(1)利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角差的余弦公式與輔助角公式，得解；

(2)結(jié)合余弦定理與基本不等式，推出a+cW8,得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，兩角差的余弦公式是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)當(dāng)n=l時(shí)，%=Si=2%-2,???%=2,

當(dāng)？1>2時(shí)，cin=S”-S“_1=(2an-2)-(2an_x-2),

*?*ciji=2。八—2@九一1,

1，

.??｛。"｝是以首項(xiàng)為2,公比為2的一個(gè)等比數(shù)列，

第14頁，共19頁

n

an=2x2"T=2；

711

(2)???當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn==72^==(VZ)--

、吊+：訴

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn==Vn+2-Vn,

設(shè)數(shù)列｛匕｝的前15項(xiàng)的和為As，

則715=(瓦+83+力5T-------------------------------------------------------卜瓦4)

=(V2)°+(V2)2+(V2)4+…+(&)14+[(V4-V2)+(V6-V4)+(V8-V6)+…

+(V16—V14)]

=(1+2+22+…+27)+(V16-V2)

=—+4-V2

1-2

=259-V2.

【解析】(1)利用又與斯關(guān)系，等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式即可求解；

(2)利用分組求和，公式法求和，裂項(xiàng)相消求和即可求解.

本題考查％與斯關(guān)系，等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式，分組求和，公式法求和，裂項(xiàng)相消求

和，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)由y=e〃x+a得z=Iny=bx+a,

由題意得以=：(1+2+3+4+5+6)=3.5,z=*1X14=：x23.52=3.92,

.,_X?=i&z「6拓_77.72-6x3.5x3.92_八二

‘-91-6X3.52-=-9的

a=z—bx=3.92—(—0.26)x3.5=4.83,

??.z=Iny=—0.26x+4.83,即y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=e-0,26x+4-83,

令？-0.26/4.83v10=einio=〃?3,???_。26%+4.83<2.3,

解得%>9,73,

又??,xEN,/.x>10,

即從第十個(gè)月份開始，該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至10人以下.

(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=0)=-x-x-=-,P(X=1)=1----=—,p(X=2)=-x-x-+-x-xi=

,72326k76918八7232233

2

9’

???x的分布列為:

X012

1112

P6189

【解析】(1)令z=biy=bx+a,求出，W的值，將參考數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求

出b,a的值，即可得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，然后解不等式y(tǒng)<10,即可求解.

(2)分析可知隨機(jī)變量X的可能取值有0,1,2,可得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而求出E(X)

本題主要考查了可線性化的回歸方程，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中

檔題.

20.【答案】(1)證明：因?yàn)樗倪呅?8CD為平行四邊形，且aADE為等邊三角形，

所以4BCE=120°,

又E為CD的中點(diǎn)，所以CE=ED=ZM=CB,即△BCE為等腰三角形，

所以NCEB=30°,

所以〃EB=180°-^AED-乙BEC=90°,

即BE1AE,

又因?yàn)槠矫鍭EPJ_平面力BCE,

平面ZPEC平面ABCE=4E,BEu平面ABCE,

所以BE_L平面APE,

又4Pu平面APE,所以BEJ.4P；

(2)解：取4E的中點(diǎn)。，連接P。，由于A/1PE為正三角形，貝IJP0L4E,

又平面APEJL平面ABCE,平面2PEn平面4BCE=AE,POu平面E4P,

所以P。_L平面ABCE,P。=?BE=2V3,

取4B的中點(diǎn)G,貝i」OG〃BE,

由(1)得BE1AE,所以0G14E,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以04OG,OP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系。一xyz,

第16頁，共19頁

則0(0,0,0),a(i,0,0),B(-l,2K,0),P(0,0,V5),E(—l,0,0),

則說=(2,0,0),麗=(0,2%,0),麗=(-1,2百,一8),前=(1,0,V3).

假設(shè)存在點(diǎn)F,使平面4EF與平面4EP的夾角為45。，

設(shè)兩=ARB=(-A,2V3A,-V3A),26[0,1]

則前=EP+PF=(1,0,V3)+(-A,2V3A,-V3A)=(1一九2痘人,遮-V3A),

設(shè)平面4EF的法向量為沅=(x,y,z),

-m-0得，(1-A)x+2V3Ay+(V3-V3A)z=0,取z=24,

"rn=0=0

得<沅=(0,4-1,24),

由(1)知竊為平面4EP的一個(gè)法向量,

2例;1-1|V2

于是,COS45。=\cos(m,EB)\==

2x/3-V5A2-2A+l2

解得4=5或4=一1(舍去)，

所以存在點(diǎn)心且當(dāng)點(diǎn)廣為線段PB的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時(shí)，平面4EF與平面4EP的夾角

為45。.

【解析】(1)由BELAE結(jié)合平面4EP_L平面4BCE得出8E_1平面42￡\再由線面垂直的

定義得出APIBE；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

本題考查了線線垂直的證明和二面角的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由橢圓C的離心率為當(dāng)?shù)胊=V^c①.

由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，△M&F1面積最大,

所以,(a-c)b=魚-1.②

由小=力2+及①②得=4,b?=2,

故橢圓C的方程為。