余角補角與三角恒等式的證明教案設(shè)計

第頁共頁余角補角與三角恒等式的證明教案設(shè)計余角補角與三角恒等式的證明教學目標：掌握余角與補角的定義；理解三角恒等式的概念；熟悉余角補角與三角恒等式的證明過程；提高學生的數(shù)學證明能力。教學重難點：掌握余角與補角的定義及計算；理解三角恒等式的概念，并能運用它們來解決問題；理解余角補角與三角恒等式的證明過程，并掌握其中的方法。教學方法：授課講解：通過PPT課件和黑板講解，向?qū)W生介紹余角補角與三角恒等式的定義和證明過程；互動問答：老師與學生互動，引導學生思考和探究；小組討論：將學生分成小組，讓他們共同探討和解決問題；知識綜合應(yīng)用：讓學生運用所學知識解決實際問題。教學步驟：一、導入環(huán)節(jié)引導學生回顧正弦定理、余弦定理及其推導過程；讓學生思考：觀察下圖，AB是射線，點C與D在同側(cè)，$∠ACD=x$，$∠BCD=90^\circ$，求出$∠BCD$的度數(shù)。二、新課講解余角與補角的定義若一個角的大小為$x$度，則它的余角的大小為$90-x$度，它的補角的大小為$180-x$度。三角恒等式的定義三角恒等式是指在三角形中，兩個角和它們的對邊之間的關(guān)系式。主要包括正弦、余弦和正切三種形式。其中，三角形的三條邊又分別對應(yīng)三個角度，因此稱其為三角恒等式。余角補角的證明對于三角形ABC，連$BD\perpAC$，$∠BAD=y$，$∠ACB=x$，由三角形ABD、CBD可得：$\because∠ACD=∠ADB+∠CBD=y+x$$\therefore∠CBD=x，∠ACB=x，∴∠BAD=y$即證明了$\angleBAC+\angleBDC=180^{\circ}$。三角恒等式的證明正弦定理的證明：假設(shè)三角形ABC中，$a,b,c$分別為邊AB、BC、AC的長，則根據(jù)正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$設(shè)$\DeltaH$為垂足，則$sinB=\frac{AH}{c},sinA=\frac{BH}{a}$$\frac{a}{c}=\frac{BH}{AH}，sin^2B=1-cos^2B=\frac{AH^2}{c^2}$$∴(sinA)^2=\frac{(ah)^2}{c^2(a^2+b^2-2abcosC)}$$∴\frac{a^2}{(sinA)^2}=\frac{b^2}{(sinB)^2}=\frac{c^2}{(sinC)^2}$余弦定理的證明：在三角形ABC中，假設(shè)$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2),C=(x_3,y_3)$，計算三角形的兩邊之間夾角$∠ACB$為余弦定理提供了計算方法：$\cosC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\timesAC}$在適當?shù)淖鴺溯S下，求出了每個點的平面坐標，將它們代入余弦定理，就可以得到相應(yīng)的結(jié)果。正切定理的證明：三角形ABC中：$\tanA=\frac{b\sinC}{a-b\cosC},\tanB=\frac{a\sinC}{b-a\cosC}$其中，A對邊為b，B對邊為a，C是對應(yīng)的角度。三角形中，四出角相等，所以$∠A+\frac{\pi}{2}+∠B+\frac{\pi}{2}=π$$∴∠A+∠B=π-\frac{\pi}{2}=90^°$$∴\tanA\tanB=\frac{\sinA\sinB}{\cosA\cosB}=\tanA+\tanB=\frac{a}$三、實例演示問題1：若$A,B,C$分別為三角形ABC的內(nèi)角，則證明：$\sinA-\sinB=\frac{b-a}{2R}\cosC$證明：$\sinA-\sinB=\sin(C-B)-sin(C-A)$$=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{C}{2}-2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A}{2}$$=2cos\frac{A+B}{2}[\sin\frac{C}{2}-\sin\frac{A}{2}]$$\because\frac{b-a}{2}=\sinA$$\therefore\sinA-\sinB=\frac{b-a}{2R}\cosC$問題2：能否構(gòu)成三角形的條件是什么？能否構(gòu)成三角形有兩個判斷的條件，化為清單如下：任意兩邊之和大于第三邊；任意一邊之差小于第三邊。四、總結(jié)評價老師引導學生，講解了余角與補角的定