新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第一章數(shù)列4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用課后訓練北師大版選擇性必修第二冊

§4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用課后訓練鞏固提升1.《九章算術》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為().A.1升 B.6766C.4744升 D.37解析設所構成的等差數(shù)列{an}的公差為d,則有a解得a則a5=a1+4d=6766故第5節(jié)的容積為6766升答案B2.(2022·新高考Ⅱ卷,3)中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處,更是美學和哲學的體現(xiàn).如圖1是某古建筑物中的舉架結構,AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步的比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3圖1圖2(第2題)A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9解析不妨設OD1=DC1=CB1=BA1=1,則DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.由題意得DD1+C即0.5+k1+∵k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,∴0.5+k3-解得k3=0.9.故選D.答案D3.《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法,西方稱之為“中國剩余定理”,這是一個關于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1至2022這2022個數(shù)中,能被3除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構成數(shù)列{an},則此數(shù)列共有項,這些項的和為.

解析能被3除余1且被7除余1的數(shù)就只能是被21除余1的數(shù),故an=21n-20,由1≤an≤2022得1≤n≤97521又n∈N+,故此數(shù)列共有97項,這些項的和為(1+2017)×答案97978734.一卷卷筒紙,其內(nèi)圓直徑為4cm,外圓直徑為12cm,一共卷60層.若把各層都視為同心圓,π取3.14,則這個卷筒紙的長度約為m.(結果精確到個位)

解析因為各層同心圓的直徑構成等差數(shù)列,所以l=πd1+πd2+…+πd60=60π×4+122=480π≈1507.2(cm)≈15m答案155.某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金,數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),因此,歷年所交納的儲備金數(shù)目a1,a2,…是一個公差為d的等差數(shù)列,與此同時,國家給予優(yōu)惠的計息政策,不僅采用固定利率,而且計算復利.這就是說,如果固定年利率為r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1,第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,……以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.(1)寫出Tn與Tn-1(n≥2)的遞推關系式;(2)求證:Tn=An+Bn,其中{An}是一個等比數(shù)列,{Bn}是一個等差數(shù)列.(1)解根據(jù)題意知Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).(2)證明T1=a1,對n≥2反復使用上述關系式,得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an,①在①式兩端同乘1+r,得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r),②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an=dr[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an即Tn=a1r+dr2(1