基本不等式的十五種類型-解析版

十五種類型解決基本不等式TOC\o"1-1"\h\z\u類型1:基本不等式的直接運(yùn)用與取等條件 2類型2:換“1”法求最值 3類型3:代換法與解不等式法求最值 4類型4:恒成立問(wèn)題 5類型5:齊次化處理后用基本不等式 6類型6:換元—較難 7類型7:萬(wàn)能k 8類型8:兩次均值不等式—較難 9類型9:配湊后用基本不等式求最值—難 10類型10:整理與代換—難 11類型11:多變量代換減少變量后運(yùn)用基本不等式—較難 12類型12:湊系數(shù)問(wèn)題使基本不等式滿足取等條件—難 12類型13:雙勾函數(shù)的應(yīng)用—較難 13類型14:利用x2+y2≥-2xy求范圍 14類型15:三元均值不等式 15類型1:基本不等式的直接運(yùn)用與取等條件典型例題例1.設(shè)某同學(xué)從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a<b則()A.v=aba+bB.v=abC.ab<v解析:設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s，則全程所需的時(shí)間為sa∴v=2ssa∵b>a>0，由基本不等式可得ab<a+b2，∴v=∵v-a=2ab∴v>a，則a<v<ab，D故選：D．例2.(多選)若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式A.a+4a≥4B.a2+16a解析:取a=-2，a+a2>0，a2+16取a=-2，b=-2，1aab>0，則ba>0，b故選：BD．例3.已知x,y∈R+,且滿足3x+4y=1,解析:3x+4y≥2即xy的最大值為148例4.若0<x<12,則x(解析:因?yàn)?<x<12，所以1-2x>0，所以x(1-2x)=當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x，即x=14時(shí)取等號(hào)，所以x(1-2x)的最大值為跟蹤練習(xí)1.(多選)已知實(shí)數(shù)a,b,下列不等式一定成立的是()A.a+b2≥abB.a+1a≥2C.解析:當(dāng)a<0，b<0時(shí)，a+b2≥ab當(dāng)a<0時(shí)，a+1a≥2∵ab+b∵2a故2a2+故選：CD.2.(多選)下列說(shuō)法正確的有()A.不等式a+b≥2ab恒成立B.存在C.若a>0,b>0,則ba+ab≥2解析:當(dāng)a<0,b<0時(shí)，不等式a+b≥2ab不成立，A當(dāng)a=-2時(shí)，a+1a=-52≤-2，即存在若a,b∈(0,+∞)，則ab>0,ba>0y=x2+2+1x2+2≥2x故選：BC.3.設(shè)x>0,則x1-4解析:x1-4x2=44.若x>0,y>0,x+2y=5,則x+1解析:(x+1)(2y+1)xy因?yàn)閤>0，y>0，所以2xy當(dāng)且僅當(dāng)2xy=6xy，即{xy=9所以(x+1)(2y+1)xy的最小值為45.若x>0,y>0,(x+3)(y+1)=12,則x+3y的解析:(x+3)(y+1)=12，則當(dāng)且僅當(dāng)x+3=3y+3=6時(shí)取等，x+3y≥6類型2:換“1”法求最值典型例題例1.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1，求1x+1y的最小值∵x>0,y>0∴答:不正確，正確解法見(jiàn)解析.解析:不正確，解答過(guò)程中兩次利用基本不等式，取等條件不一樣，1當(dāng)2yx=xy所以1x+1例2.若x>0,y>0,x+2y=2,則1x+1解析:1x當(dāng)yx=x2y例3.若實(shí)數(shù)a>1,b>2,且滿足2a+b-6=0,則解析:2a+b-12+2b-2a所以1a-1+例4.若x>0,y>0,1x+2y=1解析:x+2y=當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2xy時(shí)取等，例5.若整數(shù)x,y滿足x+y+15=1xA.x為定值,但y的值不確定B.x不為定值,但y是定值C.x,y均為定值D.x,y的值均不確定解析:由題得(x+y)(1x+y≤1，則有x+y+15=1x+9y解方程組x+y=11x+9y=16，得x=1跟蹤練習(xí)1.已知0<x<1,則1x+1解析:1x當(dāng)且僅當(dāng)1-xx=x12.若x>0,y>0,1x+1y=1解析:1x+1所以4xx-113+241-1y1-1x·93.(多選)已知兩個(gè)不等的正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說(shuō)法正確的是()A.ab<14B.1a+1b<4C.解析:對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閍>0，b>0且a+b=1，則ab≤a+b22=14對(duì)于選項(xiàng)B：1a+1b=a+bab對(duì)于選項(xiàng)C：a+b2=a+b+2ab=1+2ab≤1+2對(duì)于選項(xiàng)D：a2+b故選：ACD4.已知a>0,b>0,且4a+b=ab,A.ab≥16B.2a+b≥6+42C.a解析:因?yàn)閍>0，ab=4a+b≥24ab=4ab，當(dāng)且僅當(dāng)4a=b時(shí)等號(hào)成立，所以ab≥16由4a+b=ab得b=4aa-1>0，a>12a+b=2a+4aa-1=2(a-1)+4a-1+6≥22(a-1)×a=5,b=5滿足題意，但a-b=0，C錯(cuò)；由4a+b=ab得1a+4b=1，所以21a2+故選：C5.若x>0,y>0,x+y=1,則yx+解析:yx+4所以yx+4y6.若正數(shù)a,b,c滿足1a+4b解析:12ca?9ac+而1a+4b+9c類型3:代換法與解不等式法求最值典型例題1.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+x+2y=6,則xy的最大值為_(kāi)____.解析:∵xy+x+2y=6，且x,y>0，∴x+2y=6-xy≥22xy，∴xy+22xy-6≤0∴xy≤2當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號(hào).故答案為：22.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最大值為_(kāi)____.解析:∵正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4，∴y=4-2x∴x+y=x+4-2x當(dāng)且僅當(dāng)x=6-1跟蹤練習(xí)1.已知x>0,y>0,x2+4y2+x+解析:x2+4y2≥4xy，1=x2所以xy≤2-34，2.已知x>0,y>0,滿足x2+2xy-1=0,A.2B.3C.23D解析:由x2+2xy-1=0，得y=1-x2因此，3x+2y=3x+1-x2x=2x+1x所以3x+2y的最小值為22.故選：D3.已知5x2y2+解析:x2=115y2=4y4.若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab+a+b=8A.ab≤4 B.a+bC.a+2b≥62-3D解析:對(duì)于A，由ab+a+b=8可得a+b=8-ab≥2ab，即ab+2可得ab+4ab-2≤0，解得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立；所以A正確；對(duì)于B，由ab+a+b=8可得ab=8-a+b≤a+b所以a+b4-1a+b+8≥0，解得a+b≥4對(duì)于C，由ab+a+b=8可知a=8-bb+1=-1+9b+1a+2b=-1+9當(dāng)且僅當(dāng)9b+1=2b+1，即對(duì)于D，由ab+a+b=8可得，1=181+bab+a+ab+ab類型4:恒成立問(wèn)題典型例題1.已知x>0,y>0,且x+y=2,若4x+1-m解析:4x+1-mxy≥0恒則4x+1xy=所以m的最大值為4.跟蹤練習(xí)1.正數(shù)a,b滿足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+解析:∵9a+b=ab,∴1a+9b∴a+b=(a+b)(1當(dāng)且僅當(dāng)ba=9ab，即若不等式a+b≥-x2+2x+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)則16≥-x2+2x+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即m≥-x∵-x∴m≥3.2.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y+xy-7=0,3t2-2t≥解析:因?yàn)閤+2y+xy-7=0所以xy-x=x?7-x-2x2+5x由于3t2-2t≥xy-x恒成立,所以3t2-2類型5:齊次化處理后用基本不等式典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,x2-3xy+4y2解析:∵x∴z=x∴xyz=xyx2∴xyzmax2.已知x>0,y>0,x+解析:已知x>0，y>0，x+2y=3，則x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2時(shí)，即當(dāng)故x2+3yxy跟蹤練習(xí)1.設(shè)a>0,b>0,a+b=1解析:由3a當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，即a=12.已知a>0,b>0,且a+3b=解析:1a2+2a9b2所以1a2+3.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,y>0，不等式2x+xy≤a(2x+y)恒成立，則實(shí)數(shù)aA．2-14 B．6+24 C．6解析:由題意可得，a≥2x+xy2x+y對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，則只需求2x+xy2x+y的最大值即可，2x+xy2x+y=2+當(dāng)且僅當(dāng)m=6m所以a≥6+24，即實(shí)數(shù)a的最小值為6類型6:換元—較難典型例題1.若x>0,y>0,則yx+16解析:令2x+y=t則yx+16所以yx+16x2.設(shè)a>b>0,則a解析:令m=a+2bn=則aa+2b所以aa+2b3.設(shè)a>b>0,若a2+3b2+4解析:a2+3b2+4ab則5a+9b=53n-m2+9m-n4.若x>0,y>0,3(解析:3(x+2y)y+所以2xy=3xx+2y+8y5.設(shè)a,b,c為?ABC的三邊的長(zhǎng),求證:abc≥(a+解析:令b+c-a=mc+a-b=na+而n+t2≥nt跟蹤練習(xí)1.已知x>0,y>0,5x解析:5x2+4xy-y2=(5x-y)(x+y)所以mn=1當(dāng)且僅當(dāng)m2所以12x2+8xy-y22.已知正數(shù)a,b滿足ab+a+3b解析:∵ab+a+3b=13，∴a所以mn=16,2a當(dāng)且僅當(dāng)2m所以2a+3b的最小值為3.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2xy-x-y=A.xy的最小值為3+12B.xC.x+2y的最小值為6+32解析:因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù)，選項(xiàng)A：因?yàn)?xy-x-y=1，則x+y=2xy-1≥2xy，即2解得xy≥1+32，xy≥2+選項(xiàng)B：因?yàn)閤+y=2xy-1，所以x+ymin當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1+32選項(xiàng)C：由2xy-x-y=1得x2y-1=y+1，當(dāng)y=1則x=y+12y-1>0，得y>則x+2y=y+1當(dāng)且僅當(dāng)34y-2=124y-2選項(xiàng)D：x2令xy=t，由A可知t≥2+則x2當(dāng)且僅當(dāng)t=2+32時(shí)等號(hào)成立，故故選：BCD4.設(shè)a,b,c為?解析:令b+c-a=mc+a-b=n即證ab+c-a而nm+mn≥10.設(shè)a,b,c解析:令b+c=mc+a=na所以即證a即證nm+tm+mn類型7:萬(wàn)能k典型例題1.已知x,y∈R,x2+2解析:令t=2x+y，則y=t-2x，代入整理可得,7x可知Δ=解之得，t2≤4，所以2x+y的最小值為-2跟蹤練習(xí)2.已知x,y∈R,4x2+解析:令t=x+y，則y=t-x，代入4x2整理可得，6x可知Δ=解之得，t2≤8所以x+y的范圍為-類型8:多次均值不等式—較難典型例題1.若m>0,n>0,則n+1m解析:n+1當(dāng)且僅當(dāng){1m=4mn22.若a,b∈R,ab解析:∵a4+4∴aba4+4當(dāng)且僅當(dāng)4ab=1ab時(shí)，即a∴a2=2b2所以aba4+43.若x>y>0,則xy解析:xy+x+2yy所以xy+x+2跟蹤練習(xí)1.設(shè)a>b>0，求a2解析:a2+16當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b，a2所以a2+16b(a-b)2.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則解析:由于a4b+則a4當(dāng)且僅當(dāng)a4b=b，32b4a所以a4b+3.已知正數(shù)x,y滿足x2+2y解析:法一:2y1-y+x1-x=21所以2y1-y+所以2y1-y+法二:2y1-y+當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí)取等，所以類型9:配湊后用基本不等式求最值—難典型例題1.若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且aa+b+c+bc=4-23解析:aa+b+c+=a+ba+c≤2a+b+c≥2(3-1),所以2a+b+c的最小值是2.若2a2+b2=4a+4解析:兩邊同時(shí)除以ab,2ab則41a+此時(shí)a=1+2，所以1a+1b3.若x,y均為正實(shí)數(shù),(x-y)2=(xy)3解析:(x-y)2=(xy)3,可得:則(1x+所以1x+1y跟蹤練習(xí)1.正實(shí)數(shù)a,b,c滿足ab+bc解析:由ab+bc+ca即a+ba+c=a所以2a+b+c所以2a+b+2.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2b2+ab-4ba+2解析:2b2+ab-即4=2b+a2所以a+2a+b3.若x>0,y>0,x2+y解析:x2+y1x2+1y2當(dāng)且僅當(dāng)xy=4所以1x+1類型10:整理與代換—難典型例題1.設(shè)ab=14,a,b∈解析:由題：ab=14，a，b∈（0，1），1==1當(dāng)且僅當(dāng)(4a-1)4-4a解得當(dāng)a=38時(shí)，取的最小值2.已知a>0,b>0,a+解析:1a2令t=3-ab，則1當(dāng)且僅當(dāng)t=8所以1a2+1跟蹤練習(xí)1.已知a>b>0,a+b=1解析:將b=1-a代入得,2aa則a+1a2-所以2aa2+b2.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=2abc,則a+bc解析:a+bc當(dāng)且僅當(dāng)ab+ac+bc所以a+bcb+c3.已知x>0,y>0,4xy(x+y)=(x-y解析:將y=x-y4x所以3x-y-故3x當(dāng)且僅當(dāng)x+所以3x-y類型11:多變量代換減少變量后運(yùn)用基本不等式—較難典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,x2+解析:1+zxyz≥當(dāng)且僅當(dāng)xy=z,1-所以S=1+zxyz跟蹤練習(xí)2.設(shè)a>0,b>0,c>0,d>0,a+b=1解析:1abc+1而4c當(dāng)且僅當(dāng)4d所以1abc+13.設(shè)a>0,b>0,c>0,b+c≥解析:b+c≥當(dāng)且僅當(dāng)12所以bc+c類型12:湊系數(shù)問(wèn)題使基本不等式滿足取等條件—難典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,則xy+yz解析:x取2λ=21-則x2+y2+z此時(shí)xy+yzx所以xy+yzx2+2.已知x>0,y>0,z>0,則x解析:法一:柯西不等式,xy+2yz=5yx此時(shí)x2所以x2+y法二:5當(dāng)且僅當(dāng)x=55此時(shí)x2所以x2+y跟蹤練習(xí)1.正數(shù)a,b,c,a2+解析:a2當(dāng)且僅當(dāng)a2=λb取2λ=2此時(shí)232a所以2ab+bc法二:2ab+bc=(當(dāng)且僅當(dāng),21=ac,a2此時(shí)232a所以2ab+bc2.命題P:?x>0,y>0,使得不等式(2xy+4y)λ>xA.λ|λ>52B.λ|λ>53解析:尋找充要條件,?x>0,y>0,使得不等式(2xy+4y則λ>法一:待定系數(shù)配湊,x+y+5令2μ=1所以x+y+5≥53(2