湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022年衡陽市高一年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共四道大題，滿分150分．2．測(cè)試時(shí)量：120分鐘，請(qǐng)同學(xué)們科學(xué)、合理地安排好答題時(shí)間．3．本卷為試題卷，答案必須答在答題卡的指定位置，答在試題卷上無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，可知，故A、B、C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理即可得答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，，而，，由，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知零點(diǎn)，故選：C.3.的值為（）A.10 B. C.1 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】令，兩邊取常用對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】令，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得，解得，故選：A.4.如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象的特征及選項(xiàng)中的解析式，利用排除法進(jìn)行選擇.【詳解】∵，∴.由圖知，排除A；由圖知，進(jìn)而排除C；對(duì)于D中解析式，顯然，與圖不符，排除D，所以函數(shù)的解析式可能為B.故選：B.5.已知θ為第三象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】已知條件式切化弦，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，又θ為第三象限角，，可解得，，化簡(jiǎn)所求式子即可得出答案.【詳解】，即，又，θ為第三象限角，，∴，，∴，故選：C.6.，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值0和1求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，，，∴.故選：B.7.若，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由題可知，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題可知：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：C.8.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】令，，若在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則需使是上的增函數(shù)且，則且，解得.因?yàn)椋适堑谋匾怀浞謼l件，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、C，利用特殊值判斷D.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確，因?yàn)?，所以，又，∴，故C正確；對(duì)于D：令，，，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.能正確表示圖中陰影部分的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得.【詳解】因?yàn)殛幱安糠衷贐中不在A中，根據(jù)集合的運(yùn)算分析可知ACD正確.故選：ACD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（）A.θ的值可為B.若，則k為奇數(shù)C.若，則D.若，則的最大值要大于【答案】BCD【解析】【分析】由圖象確定函數(shù)的周期求得，再由零點(diǎn)求得，從而得函數(shù)解析式，然后由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、輔助角公式，判斷各選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A，，，是的零點(diǎn)，由圖象得，得，（以下只要取即可），A錯(cuò)；選項(xiàng)B，，則，，，故k為奇數(shù)，B對(duì)；選項(xiàng)C，由，可得，即對(duì)稱軸為，，為其對(duì)稱軸，C對(duì)；選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，，設(shè)，易知的最大值是，所以的最大值為，大于，D對(duì)．故選：BCD．12.奇函數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的一個(gè)周期為2 B.C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由得的對(duì)稱軸為，結(jié)合的奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.【詳解】，的對(duì)稱軸為，，∴，A正確；，故，，關(guān)于時(shí)稱，故，B錯(cuò)誤；，偶函數(shù)，C正確；，為奇函數(shù)，D正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)與互為反函數(shù)，則___________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互反函數(shù)求解即可.【詳解】與互為反函數(shù)，，故，∴.故答案為：14.命題p：，的否定為___________；使命題p成立的一個(gè)x的值為___________．【答案】①.，②.【解析】【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗(yàn)證時(shí)，命題p成立，即得第二空答案.【詳解】解：因?yàn)槊}p：，，所以命題p：，；當(dāng)時(shí)，成立，所以命題p成立的一個(gè)x的值為1.故答案為：，，1.15.2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)，直角三角形中較小的銳角為θ，若，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為___________．【答案】5【解析】【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長(zhǎng)為，由解出，即可求大正方形與小正方形的面積之比.【詳解】如圖所示，設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為1，則，，小正方形的邊長(zhǎng)為，由，兩邊同時(shí)平方得，，所以，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為.故答案為：516.已知函數(shù)，若函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】令，則可得，結(jié)合的圖象，即可得答案.【詳解】解：令，則有，∴，如圖，當(dāng)或，，滿足題意．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）若，求a；（2）用定義法證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接解方程可得；（2）根據(jù)定取值、作差、定號(hào)、下結(jié)論的步驟證明即可.【小問1詳解】由，得故，解得或【小問2詳解】證：任取則∵，∴，故，即故在區(qū)間上單調(diào)遞減18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可；（2）先求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】因，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，由知，所以要求在區(qū)間上的最值，即求在上的最值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.19.如圖為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日燈內(nèi)點(diǎn)上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)．輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動(dòng)，因剪細(xì)圖像為古代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)看起來好像幾個(gè)人你追我趕一樣，故名走馬燈，現(xiàn)打算做一個(gè)體積為96000的如圖長(zhǎng)方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細(xì))．（1）若底面大矩形的周長(zhǎng)為160cm，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，底面面積最大？（2）若燈籠高為40cm，現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，框架用料最少？【答案】（1）當(dāng)長(zhǎng)、寬皆為20cm時(shí)，底面矩形面積最大（2）當(dāng)長(zhǎng)為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少【解析】【分析】(1)設(shè)大矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則有，借助基本不等式計(jì)算面積的最大值；(2)易得底面面積，借助基本不等式計(jì)算底面周長(zhǎng)最小值.【小問1詳解】設(shè)大矩形的長(zhǎng)為x，寬為y依題有：，即，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，底面矩形面積最大【小問2詳解】依題有，框架用料最少等價(jià)于底面用料為最小即可，，當(dāng)，即取等故當(dāng)長(zhǎng)為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由題意可得，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求解即可；(2)由題意可得，將所求式子重新結(jié)合，即可得答案.【小問1詳解】解：由題知：，∴，所以，∴，其定義域?yàn)?【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，，…，，所?21.m，n為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且．（1）若，求不等式的解集；（2）比較a，b，1的大小關(guān)系．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由韋達(dá)定理聯(lián)立消去得，從而求得的值，得到的解集；（2）解法一：根據(jù)零點(diǎn)的分布列出滿足的不等式組求解即可；解法二：根據(jù)不等式及韋達(dá)定理得，求解即可.【小問1詳解】由換底公式得，依題意得，兩式相乘得代入，得由，得，而故不等式解集為【小問2詳解】解法一：因，故，化簡(jiǎn)得，故或，即或.解法二：∵，∴即，故，即故或，即或.22.二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．（1）求的解析式；（2），記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【