新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2函數(shù)的極值課件北師大版選擇性必修第二冊(cè)

6.2函數(shù)的極值第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解函數(shù)極值的定義.掌握函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件.2.掌握求函數(shù)極值的方法與步驟.3.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,加強(qiáng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)(1)f(x)的極大值在哪里取得?極大值是多少?(2)對(duì)任意x0∈(-1,0)∪(0,1),f(x0)與f(0)的大小關(guān)系怎樣?提示:(1)在x=0處取得;極大值是f(0)=0.(2)f(x0)<f(0).一、函數(shù)極值的概念【問(wèn)題思考】1.函數(shù)f(x)=-x2,x∈(-1,1)的圖象如圖2-6-1,觀察圖象回答下面問(wèn)題.圖2-6-12.在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)上,函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點(diǎn)處的函數(shù)值都小于(或大于)點(diǎn)x0處的函數(shù)值,稱(chēng)點(diǎn)

x0為函數(shù)y=f(x)的極大(或極小)值點(diǎn),其函數(shù)值

f(x0)為函數(shù)的極大(或極小)值.函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)極值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值.3.極值點(diǎn)是否定義在函數(shù)的整個(gè)定義域上?提示:不是.答案:1

24.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖2-6-2,由此可知函數(shù)有

個(gè)極大值,

個(gè)極小值.

圖2-6-2提示:f'(x0)=0,且當(dāng)x∈(a,x0)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(x0,b)時(shí),f'(x)<0.二、函數(shù)極值的求法【問(wèn)題思考】1.結(jié)合圖2-6-3,試分析:若x0是區(qū)間(a,b)上函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),則導(dǎo)數(shù)f'(x)在區(qū)間(a,b)上有何特點(diǎn)?圖2-6-32.若x0是區(qū)間(a,b)上函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)呢?提示:f'(x0)=0,且當(dāng)x∈(a,x0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,b)時(shí),f'(x)>0.3.(1)關(guān)于極大值與極小值有以下結(jié)論:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,b)上單調(diào)遞減,則x0是極大值點(diǎn),f(x0)是極大值.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,b)上單調(diào)遞增,則x0是極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.(2)一般情況下,在極值點(diǎn)x0處,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=0.因此,可以通過(guò)如下步驟求出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn):①求出導(dǎo)數(shù)f'(x).②解方程f'(x)=0.③對(duì)于方程f'(x)=0的每一個(gè)實(shí)數(shù)根x0,分析f'(x)在x0附近的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點(diǎn):(ⅰ)若f'(x)在x0附近的符號(hào)“左正右負(fù)”,則x0為極大值點(diǎn);(ⅱ)若f'(x)在x0附近的符號(hào)“左負(fù)右正”,則x0為極小值點(diǎn);(ⅲ)若f'(x)在x0附近的符號(hào)相同,則x0不是極值點(diǎn).4.若f'(x0)=0,x0是否一定是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)?提示:不一定.5.函數(shù)f(x)=x+的極大值點(diǎn)為

,極大值為

;極小值點(diǎn)為

,極小值為

.

答案:-1

-2

1

2【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上一定有極值.(×)(2)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值的充要條件是關(guān)于x的方程f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.(×)(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,切線(xiàn)與x軸平行或重合.(√)(4)同一函數(shù)的極大值必大于其極小值.(×)合作探究釋疑解惑探究一求函數(shù)的極值【例1】

求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.分析

先確定函數(shù)的定義域,再求f'(x),然后利用極值的定義求出f(x)的極值點(diǎn)及極值.解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=2xe-x+x2·(-e-x)=e-x(-x2+2x).解方程f'(x)=0,得x1=0,x2=2.根據(jù)x1,x2分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn),列表2-6-2如下:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘根據(jù)上表可知,x1=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極小值為f(0)=0;x2=2為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),極大值為f(2)=.表2-6-21.函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大的或是最小的.2.在定義域的某個(gè)區(qū)間上極大值或極小值并不唯一,也可能不存在,并且極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.【變式訓(xùn)練1】

求函數(shù)f(x)=x+cosx,x∈(0,2π)的極值.根據(jù)x1,x2分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn),列表2-6-3如下:表2-6-3探究二根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值答案:3在例2條件下,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:由上例知f(x)=x3+2x2-4x+2,f'(x)=3x2+4x-4.∵x1=-2,x2=是方程f'(x)=0的兩根,∴根據(jù)x1,x2列表分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性如下:已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組.(2)驗(yàn)證:因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以求解后必須檢驗(yàn).【變式訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-2.(1)若函數(shù)的極大值點(diǎn)是-1,求a的值;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.解:(1)f'(x)=x2-2x+a,由題意得f'(-1)=1+2+a=0,解得a=-3,則f'(x)=x2-2x-3,經(jīng)驗(yàn)證可知,f(x)在x=-1處取得極大值,故a=-3.(2)由題意,方程x2-2x+a=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,所以Δ=(-2)2-4a>0,解得a<1,故a的取值范圍是(-∞,1).探究三極值的綜合應(yīng)用【例3】

已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=-x3+3x+a.(1)求函數(shù)f(x)的極值,并畫(huà)出其大致圖象.(2)當(dāng)a為何值時(shí)方程f(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?解:(1)由f(x)=-x3+3x+a,得f'(x)=-3x2+3.解方程f'(x)=0,得x1=-1,x2=1.根據(jù)x1,x2列表2-6-4分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn)如下:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘表2-6-4所以函數(shù)f(x)的極小值為f(-1)=a-2;極大值為f(1)=a+2.當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x趨于-∞時(shí),f(x)趨于+∞;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x趨于+∞時(shí),f(x)趨于-∞.a+2>a-2,即函數(shù)的極大值大于其極小值.可畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖2-6-4.圖2-6-4(2)結(jié)合圖2-6-5,當(dāng)極大值a+2=0,即a=-2時(shí),極小值小于0,此時(shí)曲線(xiàn)y=f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a=-2滿(mǎn)足條件;結(jié)合圖2-6-6,當(dāng)極小值a-2=0,即a=2時(shí),極大值大于0,此時(shí)曲線(xiàn)y=f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a=2滿(mǎn)足條件.綜上,當(dāng)a=±2時(shí),方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.圖2-6-5圖2-6-6在例3條件下,若曲線(xiàn)y=f(x)與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值a+2>0且極小值a-2<0時(shí),曲線(xiàn)y=f(x)與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).解:結(jié)合例3(1),知函數(shù)f(x)的大致圖象如圖2-6-7.圖2-6-7作函數(shù)圖象需先研究函數(shù)的定義域、極值、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)作圖.確定方程根的個(gè)數(shù)時(shí),可用數(shù)形結(jié)合法.【變式訓(xùn)練3】

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)f'(x)=3x2-6.根據(jù)x1,x2列表2-6-5分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn)如下:表2-6-5(2)由(1)的分析知函數(shù)y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖2-6-8.圖2-6-8【易錯(cuò)辨析】

對(duì)函數(shù)取極值的充要條件把握不準(zhǔn)致誤【典例】

已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0,求常數(shù)a,b的值.錯(cuò)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=-1處有極值0,且f'(x)=3x2+6ax+b.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:未將所得a,b值代回原函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證看是否滿(mǎn)足條件.正解:(在上述解法之后繼續(xù))當(dāng)a=1,b=3時(shí),f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí),等號(hào)成立,所以f(x)在R上為增函數(shù),無(wú)極值,不符合題意,故舍去;當(dāng)a=2,b=9時(shí),f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)·(x+3),當(dāng)x∈(-3,-1)時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=-1處取得極小值.因此a=2,b=9.

在求函數(shù)極值時(shí),由f'(x)=0求得x0值后,還需研究f(x)在點(diǎn)x0左、右兩側(cè)的單調(diào)性,只有f(x)在x0左、右兩側(cè)增減相反時(shí),函數(shù)f(x)在x0處才取得極值,否則x0不是極值點(diǎn).【變式訓(xùn)練】

判斷函數(shù)f(x)=x3+4(x∈R)有無(wú)極值,若有,請(qǐng)求出極值.解:f'(x)=x2.解方程f'(x)=0,得x=0.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表2-6-6:x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)+0+f(x)↗無(wú)極值↗由上表可知函數(shù)f(x)無(wú)極值.表2-6-6隨堂練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)上的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在(a,b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

).A.1 B.2 C.3 D.4(第1題)解析:由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,f'(x)的圖象在(a,b)上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,但是在原點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值均大于零,故x=0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn),其中有2個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù),故極大值點(diǎn)有2個(gè).答案:Bx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為-.答案:B解析:f'(x)=x2-4.解方程f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的