新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列的概念及其通項公式課件北師大版選擇性必修第二冊

第1課時等差數(shù)列的概念及其通項公式第一章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式及運用.3.會判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列.4.加強數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、等差數(shù)列的定義【問題思考】1.下列數(shù)列有什么共同特點?(1)-2,0,2,4,6,…;(2)-9,-9,-9,-9,…;(3)5,0,-5,-10,-15,….提示:(1)an+1-an=2;(2)an+1-an=0;(3)an+1-an=-5.故共同點為每一個數(shù)列從第2項開始,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù).2.對于一個數(shù)列,如果從第2項起,每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù),那么稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列,稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差,通常用字母

d表示.對于等差數(shù)列{an},有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d.3.下列數(shù)列是等差數(shù)列的有

.(填序號)

①1,-1,1,-1,1,-1;②m,m,m,m,…;③-,1,2,3,4,…;④-2,-5,-8,-11,-15.答案:②

4.若把等差數(shù)列概念中“同一個”去掉,那么這個數(shù)列還是等差數(shù)列嗎?提示:(1)一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差都等于常數(shù),若這些常數(shù)相等,則這個數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不相等,則這個數(shù)列不是等差數(shù)列.二、等差數(shù)列的通項公式【問題思考】1.已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,如何求得它的通項公式?提示:由等差數(shù)列的定義得a1=a1+0d;a2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;……歸納得,an=a1+(n-1)d.2.若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.3.已知等差數(shù)列:5,…,14,17,…,則an=

;a3=

.

解析:d=17-14=3,故an=5+(n-1)×3=3n+2,a3=3×3+2=11.答案:3n+2

114.若數(shù)列{an}的通項公式為an=試問數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?提示:不是.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(×)(2)若一個無窮數(shù)列{an}的前4項分別是1,2,3,4,則它一定是等差數(shù)列.(×)(3)等差數(shù)列的公差d可以是正數(shù)也可以是負數(shù),但不能為0.(×)(4)首項a1=4,公差d=-2的等差數(shù)列的通項公式為an=6-2n.(√)合作探究釋疑解惑探究一求等差數(shù)列的通項公式【例1】

在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.分析

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d,由條件可建立關(guān)于a1,d的二元一次方程組解出a1,d.在等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中有四個量,只要已知其中三個量便可求得另外一個量.【變式訓(xùn)練1】

(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a4=7,a10=25,求{an}的通項公式;(1)解法一:設(shè){an}的首項為a1,公差為d.∴an=-2+(n-1)×3=3n-5,∴等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-5.解法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a4=7,a10=25,∴a10-a4=6d=18.∴d=3.∴an=a4+(n-4)d=3n-5.(2)解法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.解法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a7=a3+(7-3)d,探究二等差數(shù)列的定義及判定【例2】

已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,在數(shù)列{bn}中,bn=3an+4,試判斷{bn}是不是等差數(shù)列.分析

可以利用a1和d寫出bn的通項公式,也可以直接利用定義判斷bn+1-bn是不是常數(shù).解法一:由題意可知an=a1+(n-1)d(a1,d為常數(shù)),則bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常函數(shù),當d=0時),故{bn}是等差數(shù)列.解法二:根據(jù)題意,知bn+1=3an+1+4,則bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常數(shù)).由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.等差數(shù)列的判定方法主要有以下兩種:(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}為等差數(shù)列;(2)通項公式法:an=an+b(a,b是常數(shù))?{an}為等差數(shù)列.【變式訓(xùn)練2】

已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q為常數(shù)).(1)當p和q滿足什么條件時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列?(2)求證:對任意實數(shù)p和q,數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(1)解:要使{an}是等差數(shù)列,則an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以只有當2p=0,即p=0時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)證明:因為an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,2p為一個常數(shù),所以{an+1-an}是等差數(shù)列.探究三等差數(shù)列的實際應(yīng)用【例3】

某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4km(不含4km)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需要支付多少車費?解:根據(jù)題意,當該市出租車的行程大于或等于4

km時,每增加1

km,乘客需要支付1.2元.所以,可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費.令a1=11.2,表示4

km處的車費,公差d=1.2,那么當出租車行至14

km處時,n=11,此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付車費23.2元.在實際問題中,若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降,則可考慮建立等差數(shù)列模型解決.在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.【變式訓(xùn)練3】

在通常情況下,從地面到10km高空,高度每增加1km,氣溫就下降某一個固定數(shù)值.如果1km高度的氣溫是8.5℃,5km高度的氣溫是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的氣溫.解:用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列,設(shè)首項為a1,公差為d,則a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5.故an=15-6.5n.從而a2=2,a4=-11,a8=-37,即2

km,4

km,8

km高度的氣溫分別為2

℃,-11

℃,-37

℃.【易錯辨析】

因?qū)忣}不透致誤

【典例】

已知等差數(shù)列{an}的首項a1=,a10是第一個比1大的項,求此等差數(shù)列公差d的取值范圍.錯解:由題意得a10>1,以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:將題設(shè)誤解為a10>1,而忽視了“a10是第一個比1大的項”,即“a9≤1”,從而造成條件遺漏.在設(shè)置條件時,注意第一個比1大的項有兩個意思:一個表示此項大于1,另一個表示它是第1個比1大的項.【變式訓(xùn)練】

已知首項為-24的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù),求公差d的取值范圍.解:設(shè)an=-24+(n-1)d,隨堂練習(xí)解析:設(shè)該數(shù)列為{an},其首項為a1,公差為d.答案:B2.在首項為81,公差為-7的等差數(shù)列中,值最接近零的項是(

).A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項解析:由an=a1+(n-1)d,得an=-7n+88.答案:C3.在等差數(shù)列{an}中,a3+3a8+a13=120,則a3+a13-a8=

.

解析:由a3+3a8+a13=120,得5a1+35d=120,a1+7d=24,故a3+a13-a8=a1+7d=24.答案:244.等差數(shù)列的第1項是1,第7項是-1,則它的第4項是

.

解析:a1=1,a7=-1,由an=a1+(n-1)d,得-1=1+6