2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）已知a→=(2，5，A．（5，1，4） B．（3，9，12） C．（﹣1，1，4） D．（﹣1，9，4）2．（5分）雙曲線x2A．1 B．2 C．3 D．63．（5分）過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝04．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，則a9+a10＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）如果圓x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則有（）A．D+E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F6．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°．若M是PC的中點(diǎn)，則|BMA．34 B．34 C．33 7．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，則an的最小值是（）A．﹣15 B．﹣14 C．﹣11 D．﹣68．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過F1的直線交橢圓于A，B，△ABF2的內(nèi)切圓的圓心為A．23 B．55 C．34 二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）（多選）9．（5分）下列說法中，正確的有（）A．直線y＝a（x+2）+3（a∈R）必過定點(diǎn)（2，3） B．直線y＝2x﹣1在y軸上的截距為﹣1 C．直線3x-y+2=0的傾斜角為60°D．點(diǎn)（1，3）到直線y﹣2＝0的距離為1（多選）10．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是（）A．若S5＝S9，則必有S14＝0 B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項(xiàng) C．若S6＞S7，則必有S7＞S8 D．若S6＞S7，則必有S5＞S6（多選）11．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，則（）A．AG⊥平面PBD B．直線FG和直線AB所成的角為π4C．當(dāng)點(diǎn)T在平面PBD內(nèi)，且TA+TG＝2時(shí)，點(diǎn)T的軌跡為一個(gè)橢圓 D．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐P﹣ABCD表面交線的周長(zhǎng)為22（多選）12．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）與圓O：x2+y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，直線l過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若直線l的斜率為33，則|MN|＝8B．|MF|+2|NF|的最小值為3+22C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為(0，62)D．若點(diǎn)G（2，2），則△GFM周長(zhǎng)的最小值為3+三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）等差數(shù)列{an}中a2＝2，a4＝8，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝．14．（5分）若空間向量a→=(1，1，1)，15．（5分）寫出與兩圓（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一條直線方程為．16．（5分）橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，圓心是橢圓的中心．已知長(zhǎng)方形R的四條邊均與橢圓C：x26+y23=1相切，則C的蒙日?qǐng)A方程為四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設(shè)圓的方程為x2+y2﹣4x﹣5＝0，（1）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P（3，1），求直線AB的方程．18．（12分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，且an，Sn，an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an，n為奇數(shù)1ana19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M為線段A1C1上一點(diǎn)．（1）求證：BM⊥AB1；（2）若直線AB1與平面BCM所成角為π4，求點(diǎn)A1到平面BCM20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD為等邊三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．（1）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．21．（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bm為{an}在區(qū)間（0，m]（m∈N*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前50項(xiàng)和S50．22．（12分）如圖，已知橢圓C：x2a2+y2=1(a＞1)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)S(0，-13)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)

2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）已知a→=(2，5，A．（5，1，4） B．（3，9，12） C．（﹣1，1，4） D．（﹣1，9，4）【解答】解：根據(jù)題意可得a→故選：D．2．（5分）雙曲線x2A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：由雙曲線x25-y24=1可知：a2＝∴c2＝a2+b2＝9，解得c＝3，∴雙曲線的焦距2c＝6，故選：D．3．（5分）過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝0【解答】解：設(shè)過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，故所求直線方程為2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．故選：A．4．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，則a9+a10＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，a5+a則a9+a10＝2（a5+a6）＝2×4＝8．故選：D．5．（5分）如果圓x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則有（）A．D+E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F【解答】解：由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線y＝x上，故有-E2=-D2故選：B．6．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°．若M是PC的中點(diǎn)，則|BMA．34 B．34 C．33 【解答】解：∵AB＝AD＝1，PA＝1，BP→∴BM→=12[AD→+∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴BM→2=（=14（AB→=14（1+1+1）-12×1×1×=3∴|BM→|=故選：D．7．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，則an的最小值是（）A．﹣15 B．﹣14 C．﹣11 D．﹣6【解答】解：∵an+1﹣an＝2n﹣11，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an+1﹣an＜0，當(dāng)n＞5時(shí)，an+1﹣an＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＜a7＜a8＜???，顯然an的最小值是a6，又an+1﹣an＝2n﹣11，∴a6＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）＝10+（﹣9）+（﹣7）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）＝﹣15，即an的最小值是﹣15，故選：A．8．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過F1的直線交橢圓于A，B，△ABF2的內(nèi)切圓的圓心為A．23 B．55 C．34 【解答】解：因?yàn)?IB→+4IA→+5在BF2上取一點(diǎn)M，使得|BM|：|MF2|＝5：3，連接IM，則IM→則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以S△IAF2：S△IF2B：S△IBA所以|AF2|：|F2B|：|AB|＝3：4：5，不妨設(shè)|AF2|＝3，則|F2B|＝4，|AB|＝5，則|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝6，所以|AF1|＝3，|BF1|＝2，設(shè)|F1F2|＝x，由余弦定理得cos∠ABF2=|B即22+42解得e=2c故選：B．二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）（多選）9．（5分）下列說法中，正確的有（）A．直線y＝a（x+2）+3（a∈R）必過定點(diǎn)（2，3） B．直線y＝2x﹣1在y軸上的截距為﹣1 C．直線3x-y+2=0的傾斜角為60°D．點(diǎn)（1，3）到直線y﹣2＝0的距離為1【解答】解：對(duì)于A，直線y＝a（x+2）+3（a∈R）必過定點(diǎn)（﹣2，3），故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，直線y＝2x﹣1在y軸上的截距為﹣1，故B正確，對(duì)于C，直線3x-y+2=0的斜率為3，其傾斜角為60°，故C對(duì)于D，點(diǎn)（1，3）到直線y﹣2＝0的距離為1，故D正確．故選：BCD．（多選）10．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是（）A．若S5＝S9，則必有S14＝0 B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項(xiàng) C．若S6＞S7，則必有S7＞S8 D．若S6＞S7，則必有S5＞S6【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，則a7+a8＝0，S14=14×(a1+對(duì)于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，則必有S7是Sn中最大的項(xiàng)，B正確；對(duì)于C，若S6＞S7，則a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，則a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正確；對(duì)于D，若S6＞S7，則a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符號(hào)無法確定，故S5＞S6不一定正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC．（多選）11．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，則（）A．AG⊥平面PBD B．直線FG和直線AB所成的角為π4C．當(dāng)點(diǎn)T在平面PBD內(nèi)，且TA+TG＝2時(shí)，點(diǎn)T的軌跡為一個(gè)橢圓 D．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐P﹣ABCD表面交線的周長(zhǎng)為22【解答】解：將該正四棱錐補(bǔ)成正方體，可知AG位于其體對(duì)角線上，則AG⊥平面PBD，故A正確；設(shè)PB中點(diǎn)為H，則FG∥AH，且∠HAB=π4∵TA+TG＝2，∴T在空間中的軌跡為橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球，又平面PBD與其長(zhǎng)軸垂直，∴截面為圓，故C錯(cuò)誤；設(shè)平面EFG與PB，PD交于點(diǎn)M，N，連接PE，EC，PF，F(xiàn)C，EM，MG，GN，NF，∵PA＝BC，AE＝BE，∠PAE＝∠CBE，∴△PAE≌△CBE，∴PE＝CE，而PG＝GC，故EG⊥PC，同理FG⊥PC，而FG∩EG＝G，∴PC⊥平面EFG，而EM?平面EFG，則PC⊥EM，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵EM⊥平面PBC，而PB?平面PBC，則EM⊥PB，∴BM＝EM=22BE=22，同理，F(xiàn)N又PG=3，PM＝22-22=3而EF=12BD∴交線長(zhǎng)為EF+EM+MG+GN+FN＝22+6，故故選：ABD．（多選）12．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）與圓O：x2+y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，直線l過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若直線l的斜率為33，則|MN|＝8B．|MF|+2|NF|的最小值為3+22C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為(0，62)D．若點(diǎn)G（2，2），則△GFM周長(zhǎng)的最小值為3+【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）與圓O：x2+y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，由圓和拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)（1，2）在拋物線C：y2＝2px（p＞0）上，所以4＝2p，解得p＝2，所以拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)（1，0），設(shè)直線l：x＝my+1，與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=1+m2|y1﹣y2|=1+m2直線l的斜率為33，所以m=3，此時(shí)|MN|＝16，所以1|MF|+則|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|當(dāng)且僅當(dāng)|MF|＝1+2，|NF|＝1+22如圖，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，交y軸于M1，取MF中點(diǎn)為D，過D作y軸的垂線，垂足為D1，則MM1∥OF，DD1為梯形OFMM1的中位線，由拋物線的定義可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，所以|DD1|=|OF|+|M所以點(diǎn)（0，62）為直徑的圓與y所以點(diǎn)（0，62）為圓與y軸的切點(diǎn)，所以D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6又D為MF中點(diǎn)，所以M點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，又點(diǎn)M在拋物線上，所以M點(diǎn)橫坐標(biāo)為32，所以C過G作DH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，所以△GFM的周長(zhǎng)為|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MM′|+5≥|GH|+5當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)取等號(hào)，所以D正確．故答案為：BCD．三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）等差數(shù)列{an}中a2＝2，a4＝8，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝2，a4＝8可得：a1+d=2a所以an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣4，所以a5＝3×5﹣4＝11，所以S5故答案為：25．14．（5分）若空間向量a→=(1，1，1)，【解答】解：由題可知，c→=λa→+μb→，故（1，2，m）＝λ（1，1，1）+μ有λ+μ=1λ=2λ+μ=m，解得故答案為：1．15．（5分）寫出與兩圓（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一條直線方程為y＝1．【解答】解：由（x﹣1）2+y2＝1，圓心為（1，0），半徑為1，由（x﹣5）2+（y+3）2＝16，圓心為（5，﹣3），半徑為4，所以圓心距為(5-公切線斜率存在，設(shè)為y＝kx+m，所以|k+m|1+所以|5k+3+m|＝4|k+m|，所以5k+3+m＝4k+4m或5k+3+m＝﹣4k﹣4m，所以k＝3m﹣3或k=-代入|k+m|=1+k2，解得k=0m=1或所以公切線方程有y＝1或4x﹣3y﹣9＝0或24x+7y+1＝0．故答案為：y＝1（答案不唯一）16．（5分）橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，圓心是橢圓的中心．已知長(zhǎng)方形R的四條邊均與橢圓C：x26+y23=1相切，則C的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2＝9【解答】解：設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為P（x0，y0），當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（±a，b），或（±a，﹣b）．當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0）（x0≠±a，且y0≠±b），所以可設(shè)曲線C的過點(diǎn)P的切線方程是y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0）．由x2a2由其判別式的值為0，得(x因?yàn)閗PA，kPB（kPA，kPB為過P點(diǎn)互相垂直的兩條直線的斜率）是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，所以kPA由此，得kPA即C的蒙日?qǐng)A方程為：x2+y2＝9；因?yàn)槊扇請(qǐng)A為長(zhǎng)方形的外接圓，設(shè)r＝|OA|＝3，∠AOB＝θ，則矩形面積公式為S=4?12r2?sinθ=18sinθ即矩形四條邊都相等，為正方形時(shí)，Smax＝18．故答案為：x2+y2＝9；18．四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設(shè)圓的方程為x2+y2﹣4x﹣5＝0，（1）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P（3，1），求直線AB的方程．【解答】解：（1）將x2+y2﹣4x﹣5＝0配方得：（x﹣2）2+y2＝9∴圓心坐標(biāo)為C（2.0），半經(jīng)為r＝3．…（6分）（2）設(shè)直線AB的斜率為k．由圓的知識(shí)可知：CP⊥AB，∴kCP?k＝﹣1又Kcp=1-03-2=1，∴k∴直線AB的方程為y﹣1＝﹣1（x﹣3）即：x+y﹣4＝0…（12分）18．（12分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，且an，Sn，an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an，n為奇數(shù)1ana【解答】解：（1）由題意n≥1，n∈N*時(shí)，an+an2=2Sn，令n＝1，得a所以n≥2，n∈N*時(shí)，an﹣1+an﹣12＝2Sn﹣1，兩式相減得：n≥2，n∈N*時(shí)，an+an2-（an﹣1+an﹣12）＝∴an2-an﹣12＝an+an﹣1，∵an＞0，∴an﹣an﹣1∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴an＝n；（2）由（1）得1ana∴T20＝（b1+b3+?b19）+（b2+b4+?b20）＝（1+3+5+?+19）+12[（12-14）=(1+19)?102+1219．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M為線段A1C1上一點(diǎn)．（1）求證：BM⊥AB1；（2）若直線AB1與平面BCM所成角為π4，求點(diǎn)A1到平面BCM【解答】（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1）（a∈[0，1]），BM→=(-1，所以BM→⊥AB1→（2）解：設(shè)平面BCM的法向量為n→=(x，所以有n→?BM→=-x+ay+z=0n→?BC→=-x+y=0，取x＝1因?yàn)橹本€AB1與平面BCM所成角為π4所以|cos?解得a=12，即n→所以點(diǎn)A1到平面BCM的距離為d=|20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD為等邊三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．（1）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OB，因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝2BC，所以O(shè)D∥BC，OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥CD，因?yàn)镃D⊥平面PAD，所以O(shè)B⊥平面PAD，又OA?平面PAD，OP?平面PAD，所以O(shè)B