新教材適用2024版高考數學二輪總復習第1篇專題1三角函數與解三角形第2講三角恒等變換與解三角形核心考點3恒等變換與解三角形的綜合問題教師用書

核心考點3恒等變換與解三角形的綜合問題多維題組·明技法角度1：向量與解三角形的綜合問題1．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，(a＋c)(sinA－sinC)＋bsinB＝asinB，b＋2a＝4，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CB,\s\up6(→))，則線段CD長度的最小值為(D)A．2 B．eq\f(2\r(2),3)C．3 D．eq\f(2\r(3),3)【解析】由(a＋c)(sinA－sinC)＋bsinB＝asinB及正弦定理，得(a＋c)(a－c)＋b2＝ab，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).由eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，兩邊平方，得eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(CB,\s\up6(→))2，即eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)b2＋eq\f(4,9)a2＋eq\f(4,9)abcosC＝eq\f(1,9)b2＋eq\f(4,9)a2＋eq\f(2,9)ab＝eq\f(1,9)(b＋2a)2－eq\f(2,9)ab≥eq\f(1,9)(b＋2a)2－eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2a,2)))2＝eq\f(1,12)(b＋2a)2，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2a，,b＋2a＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))時取等號，即eq\o(CD,\s\up6(→))2≥eq\f(1,12)(b＋2a)2＝eq\f(4,3)，∴線段CD長度的最小值為eq\f(2\r(3),3).故選D．2.(2023·廣東模擬)在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\r(3)，則△ABC的面積是_6__.【解析】由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\r(3)，得到ac·coseq\f(π,3)＝4eq\r(3)，解得：ac＝8eq\r(3)，則S△ABC＝eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)·8eq\r(3)·eq\f(\r(3),2)＝6.故答案為6.角度2：數列與解三角形相結合問題3.(2023·鷹潭二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數列，C＝2(A＋B)，則eq\f(b＋c,a)＝(B)A．eq\f(7,5) B．4C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,4)【解析】由C＝2(A＋B)，A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(2π,3)，由a，b，c成等差數列，得2b＝a＋c，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋b2－2b－a2,2ab)，整理，得5ab－3b2＝0，由b≠0得5a－3b＝0，由a≠0得eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，則a＝3k，b＝5k，c＝2b－a＝7k，所以eq\f(b＋c,a)＝eq\f(12k,3k)＝4.故選B．4.(2023·南昌二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2，b2，c2成等差數列，且△ABC的面積為eq\f(b2,3)，則tanB＝(C)A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)【解析】若a2，b2，c2成等差數列，則a2＋c2＝2b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴accosB＝eq\f(b2,2)①，又△ABC的面積為eq\f(b2,3)，∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(b2,3)，∴acsinB＝eq\f(2b2,3)②，由②÷①得tanB＝eq\f(4,3).故選C．方法技巧·精提煉1．解三角形與向量的綜合題時，一般通過向量的運算把向量問題轉化為三角函數或解三角形問題，再利用三角變換或正(余)弦定理綜合解決．2．處理解三角形和數列問題，要充分利用三角形中的邊角關系及正、余弦定理．加固訓練·促提高1.(2023·武漢期中)如圖，O是銳角三角形ABC的外心，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A＝eq\f(π,3)，若eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2meq\o(AO,\s\up6(→))，則m＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．1【解析】因為O為△ABC外接圓的圓心，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AO,\s\up6(→))|cos∠BAO＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2)c2，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AO,\s\up6(→))|cos∠CAO＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2)b2，由正弦定理知，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sin∠BAC)＝2R(其中R為外接圓半徑)，所以b＝2RsinB，c＝2RsinC，因為eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2meq\o(AO,\s\up6(→))，所以eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝2meq\o(AO,\s\up6(→))2，所以eq\f(1,2)·eq\f(c,sinC)·ccosB＋eq\f(1,2)·eq\f(b,sinB)·bcosC＝2mR2，即eq\f(1,2)·2R(ccosB＋bcosC)＝2mR2，又b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以2RsinCcosB＋2RsinBcosC＝2mR，即sin(B＋C)＝sinA＝m，所以m＝sinA＝eq\f(\r(3),2).故選C．2.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數列，則(C)A．a，b，c依次成等差數列B．eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差數列C．a2，b2，c2依次成等差數列D．a3，b3，c3依次成等差數列【解析】△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數列，則：eq\f(2,tanB)＝eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)，利用tanα＝eq\f(si