2024屆廣東省深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中高三年級(jí)第一次模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題

2024屆廣東省深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中高三年級(jí)第一次模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．132．三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，則過(guò)點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線(xiàn)或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線(xiàn)；②x、y是直線(xiàn)，z是平面；③z是直線(xiàn)，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②4．如圖，在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，，且滿(mǎn)足，則等于（）A．2 B． C． D．5．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．6．如圖所示，為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上，再開(kāi)回處，由向西開(kāi)百海里到達(dá)處，測(cè)得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．7．設(shè)集合則（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a，b9．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)11．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，那么該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn)，的面積為3，則的值是______.15．某中學(xué)舉行了一次消防知識(shí)競(jìng)賽，將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是80，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________．16．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)：.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與直線(xiàn)的參數(shù)方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線(xiàn)的斜率20．（12分）已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．21．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大?。唬?）求的值.22．（10分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長(zhǎng)為1，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．（1）證明：直線(xiàn)與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【題目詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時(shí)，.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【題目詳解】如圖，設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以O(shè)D=.則過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.3、C【解題分析】

①舉反例，如直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行判斷.③用垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【題目詳解】①當(dāng)直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€(xiàn)平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€(xiàn)的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【題目點(diǎn)撥】此題考查立體幾何中線(xiàn)面關(guān)系，選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.4、D【解題分析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算．【題目詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線(xiàn)向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明確，易于操作．5、A【解題分析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【題目詳解】滿(mǎn)足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等題.6、B【解題分析】

先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度，最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【題目詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形中的角度問(wèn)題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

直接求交集得到答案.【題目詳解】集合，則.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.8、A【解題分析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線(xiàn)平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【題目詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線(xiàn)的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

依據(jù)線(xiàn)性約束條件畫(huà)出可行域，目標(biāo)函數(shù)恒過(guò)，再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系，即可求解【題目詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不等式表示直線(xiàn)及其左邊的區(qū)域，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，不等式表示直線(xiàn)下方的區(qū)域，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，不等式表示直線(xiàn)上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，只需直線(xiàn)的斜率，解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題10、B【解題分析】

圓心在的中垂線(xiàn)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，圓心在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓．【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，又焦點(diǎn)，，由拋物線(xiàn)的定義知，過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，故過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線(xiàn)上，且在垂直平分線(xiàn)上．11、C【解題分析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，求出，由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【題目詳解】解：由拋物線(xiàn)，可得，則，故其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，，又，，則雙曲線(xiàn)的離心率為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【題目詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的共線(xiàn)定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，以及向量的共線(xiàn)定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．14、【解題分析】

對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線(xiàn)方程，令，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由的面積為3，求解即得.【題目詳解】由題，，切線(xiàn)斜率，則切線(xiàn)方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)，難度不大.15、30【解題分析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量，再計(jì)算成績(jī)?cè)?0～100分的頻率，繼而得解.【題目詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績(jī)?cè)?0～100分的頻率是，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是．故答案為：30【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)形運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、11【解題分析】

由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得，由即可求出公差，即可求解；【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又因?yàn)?，解得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（t為參數(shù)）；（Ⅱ）或或.【解題分析】

試題分析:本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，用，化簡(jiǎn)表達(dá)式，得到曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，由已知點(diǎn)和傾斜角得到直線(xiàn)的參數(shù)方程；第二問(wèn)，直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消參，解出的值.試題解析：（1）即,.（2）,符合題意考點(diǎn)：本題主要考查：1.極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化；2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系.18、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）如圖，作，交于，連接.因?yàn)?，所以是的三等分點(diǎn)，可得.因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又，平面，平面，所以平面.因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，所以平?（2）因?yàn)槭堑冗吶切?，，所?又因?yàn)?，，所以，所?又，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?在平面內(nèi)作平面.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.所以，則，所以二面角的正弦值為.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線(xiàn)的斜率．【題目詳解】（1）由題意，得，直線(xiàn)（）設(shè)，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的右側(cè)．（2）由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．即．所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為：．令，得；令，得．所以的面積，的面積．因?yàn)榕c的面積相等，所以，解得．所以當(dāng)與的面積相等時(shí)，直線(xiàn)的斜率．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，以及三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解題分析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過(guò)證，并說(shuō)明平面，來(lái)證明平面（2）采用建系法以、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則，，，又平面，平面，平面；，，，，，，可得，又，則以、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得．設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)面平行的判定定理的使用，利用建系法來(lái)求解線(xiàn)面夾角問(wèn)題，整體難度不大，本題中的線(xiàn)面夾角的