人教B版（新）必修三 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 三角恒等變換 兩角和與差的正弦正切

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換《兩角和與差的正弦、正切》課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式、正切公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、證明.3.會利用輔助角公式化asinα+bcosα為一個角的三角函數(shù)的形式.重點：兩角和與差的正弦、正切公式的應(yīng)用.難點：利用兩角和的正弦公式變asinα+bcosα為一個角的三角函數(shù)的形式.Sα+β：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； Sα-β：sin（α-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ. 兩角和的正弦公式兩角差的正弦公式你發(fā)現(xiàn)這兩組公式有何結(jié)構(gòu)特征？

正余余正，符號相同.知識梳理一、兩角和與差的正弦1.兩角和與差的正弦公式及其推導(dǎo)根據(jù)兩角和與差的余弦公式（即Cα+β與Cα-β）可以證明如下的

兩角和與差的正弦公式.公式的證明：而且sin（α-β）＝sin［α+（-β）］＝sinαcos（-β）+cosαsin（-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ.2.輔助角公式輔助角公式實質(zhì)上就是兩角和與差的余弦、正弦公式的逆用.

二、兩角和與差的正切公式思考：在兩角和與兩角差的正弦、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能用tanα，tanβ表示tan（α+β）和tan（α-β）嗎？其中α，β應(yīng)該滿足什么條件？

歸納總結(jié)：兩角和的正切公式兩角差的正切公式公式的結(jié)構(gòu)特征：（1）公式的右邊為分式形式，其中分子為tanα，tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和.（2）公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同，與分母上的加減號相反.符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.注意：當(dāng)α，β，α±β角的正切值不存在時，不能使用上述公式，但可以用誘導(dǎo)公式或其他方法解題.

想一想：對于兩角和與差的正切公式，你能寫出它的幾種變形嗎？提示：tanαtanβ，tanα±tanβ，tan（α±β）三者知二求一.?？碱}型一、化簡與求值【解題提示】（1）利用誘導(dǎo)公式將角變形后再拆分成特殊角；（2）由式子聯(lián)想到兩角和的正弦公式，先利用誘導(dǎo)公式把sin76°cos74°變形，使待求的式子轉(zhuǎn)化為符合兩角和的正弦公式形式，逆用公式；（3）把1變?yōu)閠an45°逆用兩角和的正切公式；（4）根據(jù)10°與35°的和是45°變形使用兩角和的正切公式.B【解題提示】將7°轉(zhuǎn)化為15°與8°的差，利用兩角差的正、余弦公式展開化簡，最后再把15°轉(zhuǎn)化為特殊角45°與30°的差，得三角函數(shù)值.2.化簡◆三角函數(shù)式的化簡思路1.一看“角”：通過看角之間的差別和聯(lián)系，合理拆分或合成，再正確使用公式；2.二看“函數(shù)名”：看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”等；3.三看“結(jié)構(gòu)特征”：分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形方向，如：通分、輔助角公式等.

1二、條件求值1.給值求值◆給值求值問題的解法在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角.具體做法如下：（1）當(dāng)條件中有兩角時，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.（2）當(dāng)已知角有一個時，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.（3）常見的變角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.

C2.給值求角◆給值求角問題的解答步驟第一步，求角的某一個三角函數(shù)值；第二步，確定角所在的范圍；第三步，根據(jù)角的取值范圍寫出所求的角.

【方法技巧】至于選取角的哪一個三角函數(shù)值，應(yīng)根據(jù)所求角的取值范圍確定，最好是角的取值范圍在該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣可以使得求得的角唯一，而不需要討論解的情況.

訓(xùn)練題

三、兩角和與差的三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用例5

［2019·貴州遵義四中高一檢測］在△ABC中，tanAtanB>1，判斷△ABC的形狀.【解題提示】由三角形內(nèi)角和為π以及誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式進行化簡，判斷三個角正切值的符號即可得到三角形形狀.

B四、輔助角公式的應(yīng)用例6函數(shù)f（x）＝sinx+cosx-3的最大值為

.【解題提示】運用輔助角公式統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱，再根據(jù)正弦型（或余弦型）函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.

B五、和（差）角公式與平面向量的綜合問題

【解題歸納】1.與三角函數(shù)聯(lián)系比較緊密的向量運算（1）向量的坐標(biāo)運算；（2）向量共線的坐標(biāo)表示；（3）向量模的坐標(biāo)表示；（4）向量數(shù)量積運算.2.解決途徑（1）轉(zhuǎn)化：利用向量定義、性質(zhì)、坐標(biāo)運算等轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運算，結(jié)合三角恒等變換公式、輔助角公式等化簡；（2）數(shù)形結(jié)合：利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解.

C

小結(jié)2．應(yīng)用公式需注意的三點(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表